第15讲函数的单调性-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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这是一份第15讲函数的单调性-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册），文件包含第15讲函数的单调性解析版docx、第15讲函数的单调性原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页，欢迎下载使用。

第15讲函数的单调性

1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，
2．理解单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．

知识点一增函数、减函数的概念
1．设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1 (2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数(图②)，I称为y＝f(x)的减区间．

2．对函数单调性的再理解
(1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝它的定义域为R，但不具有单调性；
(2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．
如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．
知识点二函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
知识点三函数的最大(小)值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.
(1)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；
(2)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0).

考点一：充分条件、必要条件的判断
例1 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

【总结】
利用定义证明函数单调性的4个步骤

变式 (多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋

考点二：求函数的单调区间

例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

【总结】
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．

变式画出函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象，并指出函数的单调区间．

考点三：函数单调性的应用
例3 　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是_____；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

【总结】
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围；
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．

变式（1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．

（2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．

（3）已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

考点四：复合函数的单调性
例4 已知函数f(x)＝，x∈[2，6].
(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．

【总结】
一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”．
g(x)
f(x)
f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增

变式求函数f(x)＝的单调区间．

考点五：利用函数的图象求最值
例5 函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)

【总结】

用图象法求最值的3个步骤

考点六：利用单调性求函数的最值
例6 函数y＝2x＋的最小值为________．

【总结】
函数最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)；
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间(b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)；
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．

变式已知函数f(x)＝则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．

考点七：利用函数的最值解决恒成立问题
例7 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

【总结】
分离参数法的应用
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求【解析】若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a 变式已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.
(1)求a，b的值；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

1. 如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4

2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝－|x|

3．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．

4．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

5．证明：函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．

6．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　)

A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)

7．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)
A．10，6 B．10，8
C．8，6 D．以上都不对

8．(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是(　　)
A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1

9．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．

10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1).若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

1．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的单调递增区间依次是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)

3．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1 A．(－3，0)
B．(0，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

4．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是(　　)

5．已知函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥2 B．a>2
C．a≤2 D．a<2

6．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)

7．(多选)已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

8．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是______________.

9．已知函数f(x)＝x|x|，则满足4f(x)＋f(3x－2)≥0的x的取值范围是________(用区间表示).

10．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意正数m，n都有f(mn)＝f(m)＋f(n)；②当x>1时，f(x)<0.则f(x)的单调递减区间为________．

11．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围．

12．已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b) C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)
13．若函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1 C．－1≤a< D．0≤a≤

14．已知函数f(x)＝在(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为________(用区间表示).

15．已知函数f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

16．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．

17．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2.

18．设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ，使F(x)在区间(－∞，－)
上单调递减且在区间(－，0)上单调递增？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．