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甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
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这是一份甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题，文件包含甘肃省兰州市城关区兰州第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题docx、2022-2023-2学期高二期末考试数学答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
兰州一中2022-2023-2学期期末考试试题
高二数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知矩形为平面外一点，平面，点满足，.若，则（ ）
A.-1 B.1 C. D.
3.从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知正方体中，点在棱上，直线平面，则点的位置是（ ）
A.点 B.点 C.的中点 D.不存在
5.给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A. B.点在直线上
C. D.点在直线上
6.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）
A. B. C.1 D.
8.已知函数的定义域为为函数的导函数，当时，，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ）
A. B.
C. D.
10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.是两两互斥的事件
11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则（ ）
A.该“堑堵”的体积为2
B.该“堑堵”外接球的表面积为
C.若点在该“堑堵”上运动，则的最大值为
D.该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为
12.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.时，在区间单调递增
D.时，在区间既有极大值点也有极小值点
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，若，则的最大值为__________.
14.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________.
15.矩形中，平面，且，则到的距离为__________.
16.已知在上为增函数，则的取值范围是__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋､前卫､中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
球队胜率
（1）当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.
18.（本题满分12分）
已知函数，（注：是自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为上一点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求二面角的度数.
20.（本题满分12分）
MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商､短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长.数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大.下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5.
年份代码
1
2
3
4
5
中国MCN市场规模
1.12
1.68
2.45
3.35
4.32
（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；
（2）从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望.
参考数据：
2.58
0.84
46.83
15.99
其中，，.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.（本题满分12分）
如图1所示，在矩形中，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.
（1）求证：；
（2）在棱上取点，使平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题
参考答案
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意；
二､多选题：9-12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
A
B
D
C
B
ABD
BD
ABD
BC
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 14. 15. 16.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
【解】（1）设表示“甲球员担当边锋”，
表示“甲球员担当前卫”，
表示“甲球员担当中场”，
，，两两互斥，
设表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛获胜的概率为.
（2）由知：，
则，
所以球员甲担当前卫的概率为.
18.（本小题满分12分）
【详解】（1）当时，，
，
所以在处的切线斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程为.
（2）若只有一个极值点，则只有一个根，
所以方程只有一个根，即只有一个解，
即与只有一个交点，
因为，
所以，
所以，
所以，当时，，当时，，
所以只有一个极小值点，
故a的取值范围为.
19.（本小题满分12分）
【解】（1）证明：连接交于点O，连接，
由是正方形可得，O是的中点，又由F为的中点，
在中，为中位线，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：连接，由面，因为面，所以，
又由平面，且面，所以，所以，
所以点G为的中点，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的度数为.
20.（本小题满分12分）
【解】（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，
因为，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
即关于的回归方程为.
（2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68，2.45，3.35，共3个，所以的取值依次为1，2，3
所以的分布列为
1
2
3
.
21.（本小题满分12分）
【解】（1）（法一）证明：平面平面，
故以为原点，为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
在图1中，作于点，过点作于于点，
由题知，，
，
，
，
，
，
故.
（1）（法二）证明：过，连接，
由法一可得：，由勾股定理可得，
在中，由余弦定理可得，
平面平面，
（2）解：设，则点，
设平面的法向量为，则，即
令，则，
同理可得，平面的法向量，
平面平面，
，解得，
平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22.【解】（1）由得，
当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，
又，故只有1个零点；
当时，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以当时，取得最小值，
当时，，所以函数无零点，
当时，恒成立，所以函数无零点，
综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点；
（2）由已知有，所以，
所以，
构造函数，则原不等式转化为在上恒成立，
，记，所以，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，单调递增，
故的最小值为，
故的取值范围是.
兰州一中2022-2023-2学期期末考试试题
高二数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知矩形为平面外一点，平面，点满足，.若，则（ ）
A.-1 B.1 C. D.
3.从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知正方体中，点在棱上，直线平面，则点的位置是（ ）
A.点 B.点 C.的中点 D.不存在
5.给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A. B.点在直线上
C. D.点在直线上
6.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）
A. B. C.1 D.
8.已知函数的定义域为为函数的导函数，当时，，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ）
A. B.
C. D.
10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.是两两互斥的事件
11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则（ ）
A.该“堑堵”的体积为2
B.该“堑堵”外接球的表面积为
C.若点在该“堑堵”上运动，则的最大值为
D.该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为
12.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.时，在区间单调递增
D.时，在区间既有极大值点也有极小值点
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，若，则的最大值为__________.
14.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________.
15.矩形中，平面，且，则到的距离为__________.
16.已知在上为增函数，则的取值范围是__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋､前卫､中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
球队胜率
（1）当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.
18.（本题满分12分）
已知函数，（注：是自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为上一点.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求二面角的度数.
20.（本题满分12分）
MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商､短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长.数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大.下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5.
年份代码
1
2
3
4
5
中国MCN市场规模
1.12
1.68
2.45
3.35
4.32
（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；
（2）从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望.
参考数据：
2.58
0.84
46.83
15.99
其中，，.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.（本题满分12分）
如图1所示，在矩形中，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.
（1）求证：；
（2）在棱上取点，使平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，讨论函数零点的个数；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题
参考答案
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意；
二､多选题：9-12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
A
B
D
C
B
ABD
BD
ABD
BC
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 14. 15. 16.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
【解】（1）设表示“甲球员担当边锋”，
表示“甲球员担当前卫”，
表示“甲球员担当中场”，
，，两两互斥，
设表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛获胜的概率为.
（2）由知：，
则，
所以球员甲担当前卫的概率为.
18.（本小题满分12分）
【详解】（1）当时，，
，
所以在处的切线斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程为.
（2）若只有一个极值点，则只有一个根，
所以方程只有一个根，即只有一个解，
即与只有一个交点，
因为，
所以，
所以，
所以，当时，，当时，，
所以只有一个极小值点，
故a的取值范围为.
19.（本小题满分12分）
【解】（1）证明：连接交于点O，连接，
由是正方形可得，O是的中点，又由F为的中点，
在中，为中位线，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：连接，由面，因为面，所以，
又由平面，且面，所以，所以，
所以点G为的中点，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的度数为.
20.（本小题满分12分）
【解】（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，
因为，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
即关于的回归方程为.
（2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68，2.45，3.35，共3个，所以的取值依次为1，2，3
所以的分布列为
1
2
3
.
21.（本小题满分12分）
【解】（1）（法一）证明：平面平面，
故以为原点，为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
在图1中，作于点，过点作于于点，
由题知，，
，
，
，
，
，
故.
（1）（法二）证明：过，连接，
由法一可得：，由勾股定理可得，
在中，由余弦定理可得，
平面平面，
（2）解：设，则点，
设平面的法向量为，则，即
令，则，
同理可得，平面的法向量，
平面平面，
，解得，
平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22.【解】（1）由得，
当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，
又，故只有1个零点；
当时，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以当时，取得最小值，
当时，，所以函数无零点，
当时，恒成立，所以函数无零点，
综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点；
（2）由已知有，所以，
所以，
构造函数，则原不等式转化为在上恒成立，
，记，所以，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，单调递增，
故的最小值为，
故的取值范围是.
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