2022-2023学年北京市朝阳区高二（下）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区高二（下）期末考试数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了 已知a=lg13，b=30， 已知定义在R上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市朝阳区高二（下）期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
得分

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合A={−1,0,1,2}，集合B={x|−1⩽x<1}，则A∩B=(    )
A. ｛0，1｝ B. {−1,1} C. {−1,0} D. {−1,0,1}
2. 已知α∈π2,π，且sinπ−α=13，则cosα=(    )
A. −2 23 B. −23 C. 23 D. 2 23
3. 不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是(    )
A. −4,4 B. −4,4
C. −∞,−4∪4,+∞ D. −∞,−4∪4,+∞
4. 从集合{2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为(    )
A. 27 B. 37 C. 47 D. 67
5. 已知a=lg13，b=30.1，c=sin3，则(    )
A. a>b>c B. b>c>a C. b>a>c D. c>b>a
6. 设a,b∈R，则“(a−b)a2<0”是“a A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为(    )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
8. 已知函数fx=sin2x−π3，则下列结论正确的是(    )
A. 函数fx+π的一个周期为π2
B. 函数fx+π的一个零点为π6
C. y=fx的图象可由y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到
D. y=fx的图象关于直线x=3π2对称
9. 良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量y(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为y=y0e−kt(t≥0)，k为常数且k>0，y0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的(    )
A. 1% B. 2% C. 3% D. 5%
10. 已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(2+x)+f(−x)=0；
②f(−1+x)=f(−1−x)；
③当x∈[−1,1]时，fx=cosπ2x,x∈−1,01−x,x∈0,1
则函数g(x)=f(x)+12在区间[−5,3]上的零点个数为(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 二项式(x+2x)6的展开式中的常数项是          .(用数字作答)
12. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，为迎接运动会的到来，按照各年级人数所占比例进行分层抽样，选出30名志愿者，则高二年级应选出的人数为          ．
13. 当x>−1时，函数y=x+4x+1−2的最小值为____          ____，此时x=____          ____．
14. 已知a>0，则关于x的不等式x2−4ax−5a2<0的解集是          ．
15. 若函数y=cos2x的图象在区间(−π4,m)上恰有两个极值点，则满足条件的实数m的一个取值为          ．
16. 已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：
(ⅰ)2∈M；
(ⅱ)对任意的x∈M，任意的y∈M，都有x−y∈M；
(ⅲ)对任意的x∈M且x≠0，都有1x∈M．
给出下列四个结论：
①0∈M；②1∉M；③对任意的x,y∈M，都有x+y∈M；④对任意的x,y∈M，都有xy∈M．
其中所有正确结论的序号是          ．

17. 设函数f(x)=2sinωxcosωx+m(ω>0,m∈R)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数f(x)唯一确定．
(1)求ω和m的值；
(2)设函数g(x)=f(x−π6)，求g(x)在区间[0,π2]上的最大值．
条件①：f(0)=1；
条件②：f(x)的最小值为0；
条件③：f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．

18. 某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：
  
注：第1组中的数据13%表示0−5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；
24%表示0−5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%.其它组类似．
(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；
(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；
(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．

19. 已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．
(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若x=2是f(x)的一个极值点，求f(x)的单调递增区间；
(3)是否存在a，使得f(x)在区间(0,e]上的最大值为−2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

20. 已知函数f(x)=e2x，g(x)=m(2x+1)(m∈R)．
(1)当m=1时，证明f(x)≥g(x)；
(2)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的切线，设h(x)=f(x)−g(x)，求证：对任意的a>b，都有h(a)−ha−b<2e2a−2．(    )

21. 若有穷整数数列A:a1,a2,⋯,an满足1⩽ai⩽n(i=1,2,⋯,n)，且各项均不相同，则称A为Pn数列．对Pn数列A:a1,a2,⋯,an，设λ1=0，λi=∑i−1j=1ai−aj|ai−aj|(i=2,3,⋯,n)，则称数列λ(A):λ1,λ2,⋯,λn为数列A的导出数列．
(1)分别写出P4数列2,1,4,3与3,1,4,2的导出数列；
(2)是否存在P6数列A使得其导出数列λ(A)的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的P6数列；若不存在，说明理由；
(3)设Pn数列A:a1,a2,⋯,an与A′:a′1,a′2,⋯,a′n的导出数列分别为λ(A):λ1,λ2,⋯,λn与λ(A′):λ′1,λ′2,⋯,λ′n，求证：ai=a′i(i=1,2,⋯,n)的充分必要条件是λi=λ′i(i=1,2,⋯,n)．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查交集运算，属于基础题．
根据集合的交集的概念及运算，即可求解．
【解答】
解：由集合 A={−1,0,1,2} ， B={x|−1⩽x<1} ，
根据集合的交集的概念及运算，可得 A∩B={−1,0} ．
故选：C．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得．
【解答】
解：因为 sinπ−α=sinα=13 ，又 α∈π2,π ，
所以 cosα=− 1−sin2α=−2 23 ．
故选：A
  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查由一元二次不等式的解集求参，属于基础题．
由题意可得 Δ=a2−16≤0 ，解出 a 的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：因为不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集，
所以 Δ=a2−16≤0 ，解得： −4⩽a⩽4 ．
则 a 的取值范围是 −4,4 ．
故选：A．
  
4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查超几何分布的概率计算，属于基础题．
先求出任取两个不同的数的方法数，再求出两个数中恰有一个是奇数的方法数，再利用古典概型的概率公式求解．
【解答】
解：从集合 {2,3,4,5,6,7,8} 中任取两个不同的数有 C72=21 种方法，
其中取出的两个数中恰有一个是奇数的有 C31C41=12 ，
所以取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为 1221=47 ，
故选：C
  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小，属于基础题．
根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可．
【解答】
解：因为 b=30.1>30=1 ， a=lg13 又因为 π2<3<π ，所以 0=sinπ 所以 b>c>a ．
故选：B
  
6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查条件关系的判断，不等式的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：由 (a−b)a2<0 一定可得出 a   
7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查分组分配问题，属于基础题．
根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有 C42 种方法，再与另外2人一起进行排列，有 A33 种方法，相乘即可得到答案．
【解答】
 解：∵ 4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，
∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1，
∴不同的安排方法有 C42A33=6×6=36 (种)．
故选：D．
  
8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．
根据正弦型函数的周期公式求函数 f(x+π) 的周期，判断A，根据函数零点的定义判断B，
根据三角函数图象变换结论判断C，根据正弦型函数的对称性判断D．
【解答】
解：因为 fx=sin2x−π3 ，
所以 fx+π=sin2x+2π−π3=sin2x−π3 ，
由正弦型函数的周期公式可得，函数 y=sin2x−π3 的最小正周期为 2π2=π ，A错误；
当 x=π6 时， sin2x−π3=sin0=0 ，
所以函数 fx+π 的一个零点为 π6 ，B正确；
将函数 y=sin2x 的图象向右平移 π3 个单位长度得到函数 y=sin2x−2π3 的图象， C错误；
由 2x−π3=kπ+π2 ， k∈Z 可得 x=kπ2+5π12 ， k∈Z ，
所以函数 fx=sin2x−π3 的对称轴方程为 x=kπ2+5π12 ， k∈Z ，D错误；
故选：B．
  
9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的简单应用，属于综合题．
根据题意，求得 e−k=(0.1)14 ，当 t=6 时，得到 y=y0⋅0.1 10 ，结合 3.1< 10<3.2 ，得到 y≈0.03y0 ，即可求解．
【解答】
解：由题意得，当 t=4 时， y0e−4k=(1−90％)⋅y0 ，解得 e−4k=0.1 ，即 e−k=(0.1)14
则当 t=6 时，可得 y=y0e−6k=y0⋅(e−k)6=y0⋅[(0.1)14]6=y0⋅(0.1)32=y0⋅0.1 10 ，
因为 3.1< 10<3.2 ，所以 y≈0.03y0 ，即 yy0≈0.03=3% ，
即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 3% ．
故选：C．
  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查函数零点的个数，函数的对称性，余弦函数的图象，属于综合题．
根据题意，由条件可得函数 fx 的对称性，然后做出其函数图像，将函数 gx 的零点个数转化为函数 y=fx 与 y=−12 的交点个数，结合图象即可得到结果．
【解答】
解：由① f(2+x)+f(−x)=0 可得函数 fx 的图像关于点 1,0 对称，
由② f(−1+x)=f(−1−x) 可得函数 fx 的图像关于直线 x=−1 对称，
然后由 fx=cosπ2x,x∈−1,01−x,x∈0,1 ，做出函数 fx 在 x∈−1,1 的图像如图所示，
  
再结合其对称性可得函数 fx 在区间 [−5,3] 的图像如图所示，
  
则函数 g(x)=f(x)+12 在区间 [−5,3] 上的零点个数，即为函数 y=fx 与 y=−12 的交点个数，由图像可知，有4个交点，即4个零点．
故选：B
  
11.【答案】160． 
【解析】
【分析】
本题考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题．
写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到展开式的常数项．
【解答】
解：二项式 x+2x6 的展开式的通项公式 Tr+1=C6rx6−r2rxr=C6r2rx6−2r ，
令 6−2r=0 ，得 r=3 ，
则常数项为 T4=23C63=8×6×5×43×2×1=160 ，
故答案为：160．
  
12.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
根据分层抽样的定义结合已知条件直接求解即可．
【解答】
解：由题意可得高二年级应选出的人数为
10001200+1000+800×30=10 人，
故答案为：10
  
13.【答案】1
1
 
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据题意，化简函数 y=x+4x+1−2=x+1+4x+1−3 ，结合基本不等式，即可求解．
【解答】
解：当 x>−1 时，可得 x+1>0 ，
函数 y=x+4x+1−2=x+1+4x+1−3≥2 (x+1)×4x+1−3=1 ，
当且仅当 x+1=4x+1 时，即 x=1 时，等号成立，
所以函数 y=x+4x+1−2 的最小值为 1 ．
故答案为： 1 ； 1 ．
  
14.【答案】 (−a,5a) 
【解析】
【分析】
本题考查含参的一元二次不等式求解，属于基础题．
关于 x 的不等式 x2−4ax−5a2<0 等价于 x−5ax+a<0 ，结合 a 的范围，比较根的大小，即可得结果．
【解答】
解：关于 x 的不等式 x2−4ax−5a2<0 等价于 x−5ax+a<0 ，
由 a>0 ，得 5a>−a ，
所以不等式的解集为 (−a,5a) ．
故答案为： (−a,5a) ．
  
15.【答案】 π (答案不唯一) 
【解析】
【分析】
本题考查根据极值点的个数求参数，余弦函数的图象特征，属于综合题．
先根据题意结合余弦函数的性质可求得 π2 【解答】
解：由 x∈−π4,m ，得 2x∈−π2,2m ，
因为函数 y=cos2x 的图象在区间 (−π4,m) 上恰有两个极值点，
所以 π<2m≤2π ，得 π2 所以满足条件的实数 m 的一个取值为 π ，
故答案为： π (答案不唯一)．
  
16.【答案】①③④ 
【解析】
【分析】
本题考查集合的新定义问题，元素与集合的关系，属于综合题．
由集合 M 满足的条件，验证给出的结论是否正确．
【解答】
解：由题意可知， 2∈M ，则 2−2=0∈M ，结论①正确；
2∈M ，有 12∈M ， 0−12=−12∈M ， 12−−12=1∈M ，结论②错误；
对任意的 x,y∈M ，则 0−y=−y∈M ，有 x−−y=x+y∈M ，结论③正确；
x,y∈M ，则 x−1∈M ，可得 1x∈M,1x−1∈M ， ∴1x−1x−1∈M ，即 1x(1−x)∈M ，
所以 x(1−x)∈M ，即 x−x2∈M ，得 x−x−x2=x2∈M ，
由 x,y∈M,x+y∈M ，有 1x+1x=2x∈M ，
∴当 x,y∈M ，可得 x2,y2,x+y22,x2+y22∈M ， ∴x+y22−x2+y22=xy∈M ，
故结论④正确．
故答案为：①③④
  
17.【答案】解：(1)选①③．
因为 f(x)=2sinωxcosωx+m=sin2ωx+m ，
由 f(0)=1 ，得 m=1 ．
因为 f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ，所以 T2=π2 ．
所以 T=2π|2ω|=π ．
因为 ω>0 ，所以 ω=1 ．
选②③．
因为 f(x)=2sinωxcosωx+m=sin2ωx+m ，
由 f(x) 的最小值为 0 ，得 m=1 ．
因为 f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ，
所以 T2=π2 ．
所以 T=2π|2ω|=π ．
因为 ω>0 ，所以 ω=1 ．
注：选①②不成立，理由如下．
因为 f(x)=2sinωxcosωx+m=sin2ωx+m ，
由 f(0)=1 ，得 m=1 .由 f(x) 的最小值为 0 ，得 m=1 ．
无法确定 ω 的值，故函数 f(x) 不是唯一确定．
故选①②不成立．
(2)由(1)可知 f(x)=sin2x+1 ．
g(x)=f(x−π6)=sin(2x−π3)+1 ．
因为 x∈[0,π2] ，所以 2x−π3∈[−π3,2π3] ．
所以当 2x−π3=π2 ，即 x=5π12 时，
g(x) 在区间 [0,π2] 上取得最大值 g(5π12)=2 ．
 
【解析】
【分析】(1)选①③：由 f(0)=1 及 f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 求得 m,ω 的值．
选②③：由 f(x) 的最小值为 0 及 f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π2 求得 m,ω 的值．
(2) g(x)=sin(2x−π3)+1 ，当 x∈[0,π2] 时求出 2x−π3 的范围从而求得 g(x) 的最大值．【详解】
  
18.【答案】解：(1)理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组．
(2)用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为 25%=14 ．
X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ．
P(X=0)=C30(14)0(34)3=2764 ．
P(X=1)=C31(14)1(34)2=2764 ．
P(X=2)=C32(14)2(34)1=964 ．
P(X=3)=C33(14)3(34)0=164 ．
所以随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
所以随机变量 X 的数学期望：
E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34 ．
(3)不正确．
反例，比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大．
用区间的右端点估计理赔的平均年龄为：
5×0.24+20×0.07+30×0.12+40×0.35+50×0.15+60×0.05+70×0.019+100×0.001=32.13,
用区间的左端点估计投保的平均年龄为：
0×0.13+6×0.13+21×0.16+31×0.33+41×0.11+51×0.09+61×0.04+71×0.01=26.62,
因为32.13>26.62，所以说法不正确． 
【解析】本题考查二项分布的分布列与均值，平均数，中位数，百分位数，属于综合题．
(1)根据中位数和第90百分位数所占比例判断所在组；
(2)列出随机变量 X 的分布列，然后求解数学期望；
(3)直方图表示的是年龄区间，不能具体判断真是平均数，举反例说明；

19.【答案】解：(1)当 a=3 时， f(x)=lnx−3x ，所以 f(1)=−3 ．
因为 f′(x)=1x−3 ，所以 f′(1)=1−3=−2 ．
所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y+3=−2(x−1) ，
即 2x+y+1=0 ．
(2)函数 f(x)=lnx−ax 的定义域为 (0,+∞) ，则 f′(x)=1x−a ，
因为 x=2 是 f(x) 的一个极值点，所以 f′(2)=12−a=0 .解得 a=12 ．
所以 f(x)=lnx−12x ， f′(x)=1x−12=2−x2x ．
当 00 ， f(x) 单调递增；
当 x>2 时， f′(x)<0 ， f(x) 单调递减．
所以当 a=12 时， x=2 是 f(x) 的极大值点．
此时 f(x) 的单调递增区间为 (0,2) ．
(3)①当 a≤1e 时，
因为 x∈(0,e] ， f′(x)=1x−a≥1e−a≥0 ，
所以 f(x) 在区间 (0,e] 上单调递增．
此时 f(x)max=f(e)=lne−ae=1−ae ．
若 1−ae=−2 ，则 a=3e ，不合题意．
②当 a>1e ，即 0<1a 令 f′(x)=1x−a=0 ，解得 x=1a ．
当 00 ， f(x) 单调递增；
当 1a 此时 f(x)max=f(1a)=ln1a−1 ．
若 ln1a−1=−2 ，则 a=e ，符合题意．
综上，当 a=e 时， f(x) 在区间 (0,e] 上的最大值为 −2 ．
 
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，求曲线上一点处的切线方程，属于综合题.(1)利用导数的几何意义求解即可；
(2)由 x=2 是 f(x) 的一个极值点，可得 f′(2)=0 ，求出 a 的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间；
(3)对函数求导后分 a≤1e 和 a>1e 两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于 −2 可求出 a 的值．


20.【答案】解：(1)当 m=1 时，设 φ(x)=f(x)−g(x)=e2x−2x−1 ，则 φ′(x)=2e2x−2 ．
令 φ′(x)=2e2x−2=0 ，解得 x=0 ．
当 x∈(−∞,0) 时， φ′(x)<0 ， φ(x) 在区间 (−∞,0) 上单调递减；
当 x∈(0,+∞) 时， φ′(x)>0 ， φ(x) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．
所以 φ(x)≥φ(0)=0 ．
所以 f(x)≥g(x) 成立．
(2)由已知得 f′(x)=2e2x ．
设切点为 P(x0,e2x0) ，
则 2e2x0=2m,m(2x0+1)=e2x0, 解得 x0=0,m=1.
所以 g(x)=2x+1 ， h(x)=e2x−2x−1 ．
要证 h(a)−ha−b<2e2a−2 ，(    )
即证 e2a−2a−e2b+2ba−b<2e2a−2 ，
即证 e2a−e2ba−b<2e2a ，
即证 1−e2b−2a<2(a−b) ．
令 2a−2b=t,t>0 ，原不等式等价于 1−e−t1 ．
设 F(t)=t+e−t ，则 F′(t)=1−e−t>0 ．
所以 F(t) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．
所以 F(t)>F(0)=1 ．
所以 t+e−t>1 成立．
所以对任意 a>b ，都有 h(a)−ha−b<2e2a−2 ．(    )
 
【解析】本题考查利用导数证明不等式，已知切线方程求参数，属于综合题．
(1)构造函数 φ(x)=f(x)−g(x)=e2x−2x−1 ，利用导数结合函数最值来证明；
(2)根据切线方程求出参数 m=1 ，从而求得 h(x)=e2x−2x−1 ，然后代入
h(a)−ha−b<2e2a−2 ，将不等式转化为 1−e2b−2a<2(a−b) ，最后将 2a−2b 看成整体，构造函数结合导数以及函数最值来证明不等式；(    )


21.【答案】解：(1) 2,1,4,3 的导出数列为 0,−1,2,1 ，
3,1,4,2 的导出数列为 0,−1,2,−1 ．
(2)不存在，理由如下：
设 A:a1,a2,a3,a4,a5,a6 ，
则 λ1=0 ， λ2=a2−a1a2−a1 ， λ3=a3−a1a3−a1+a3−a2a3−a2 ，
λ4=a4−a1a4−a1+a4−a2a4−a2+a4−a3a4−a3 ，
λ5=a5−a1a5−a1+a5−a2a5−a2+a5−a3a5−a3+a5−a4a5−a4 ，
λ6=a6−a1a6−a1+a6−a2a6−a2+a6−a3a6−a3+a6−a4a6−a4+a6−a5a6−a5 ．
因为 ai−ajai−aj∈−1,1(i≠j) ，
所以 λ2∈−1,1 是奇数，
λ3∈−2,0,2 是偶数，
λ4∈−3,−1,1,3 是奇数，
λ5∈−4,−2,0,2,4 是偶数，
λ6∈−5,−3,−1,1,3,5 是奇数．
因为 λ2,λ4,λ6 共三个奇数，
所以 λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6 是奇数．
所以 λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6 不可能为0．
(3)必要性：
若 ai=a′i(i=1,2,⋯,n) ，
则 λ1=λ′1=0 ，
λi=i−1j=1ai−aj|ai−aj|=i−1j=1a ′i−a ′j|a ′i−a ′j|=λ ′i(i=2,3,⋯,n) ．
充分性：下面用反证法证明．
假设存在 i∈{1,2,⋯,n} ，使得 ai≠a′i ．
若 an≠a′n ，令 k=n ．
若 an=a′n,an−1=a′n−1,⋯,aj+1=a′j+1,aj≠a′j ，令 k=j ．
因为 a1,a2,⋯,an=a′1,a′2,⋯,a′n ，
所以 a1,a2,⋯,ak=a′1,a′2,⋯,a′k ．
设 a1,a2,⋯,ak−1 中有 l 项比 ak 小，则有 k−l−1 项比 ak 大，
所以 λk=l−(k−l−1)=2l−k+1 ．
设 a′1,a′2,⋯,a′k−1 中有 l′ 项比 a′k 小，则有 k−l′−1 项比 a′k 大，
所以 λ′k=l′−(k−l′−1)=2l′−k+1 ．
因为 a1,a2,⋯,ak=a′1,a′2,⋯,a′k 且 ak≠a′k ，所以 l≠l′ ，
所以 λk≠λ′k ，矛盾．
所以 ai=a′i(i=1,2,⋯,n) ．
 
【解析】本题考查数列的新定义问题，属于综合题．
(1)根据题意，直接写出答案即可；
(2)根据题意，设 A:a1,a2,a3,a4,a5,a6 ，然后分别求得 λ1,λ2,⋯λ6 ，即可得到结果；
(3)根据题意，分别证明充分性与必要性，然后结合反证法即可得到结果．