适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第三节利用导数研究函数的极值最值课件北师大版

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第三节利用导数研究函数的极值最值课件北师大版，共34页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破等内容，欢迎下载使用。

1.函数的极值 函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨 对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.微思考 对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?提示 必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.
2.函数的最值 函数最值反映的是函数整体的性质函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内　所有点处　的函数值都不超过f(x0)(如图). 
由图可以看出,最大值或者在　极大值点　(也是导数的零点)取得,或者在　区间的端点　取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值. 函数的最小值也具有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.
微点拨 函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.导数为0的点一定是极值点.(　　)2.同一个函数的极大值不一定比极小值大.(　　)3.函数的最值可能在极值点处取得.(　　)4.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(　　)
题组二　双基自测5. 可导函数在闭区间内的最大值必在(　　)取得.A.极值点B.导数为0的点C.极值点或区间端点D.区间端点答案 C解析 可导函数在闭区间上必须连续.若函数单调,则最大值必在区间端点取得;若不单调,则比较极值与端点值,其中最大的为函数的最大值.
6. 函数f(x)= x3-4x+4在区间[0,3]上的最大值是　　　　,最小值是　　　　. 
解析 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
考向1求已知函数的极值(点)例题(2022·湖南长郡中学高三检测)函数f(x)= +ln|x|的极值点为　　　　　. 答案 1
考向2已知函数的极值(点)求参数例题(1)(2022·江苏南通模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极小值,且f(x)的极大值为4,则b=(　　)A.-1B.2C.-3D.4(2)(2022·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为(　　)
答案 (1)B　(2)C解析 (1)f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极小值,所以f'(a)=ea[a2+(2-a-b)a+ab-a-b]=ea(a-b)=0,所以a=b,所以f(x)=(x-a)2ex,f'(x)=ex[x2+(2-2a)x+a2-2a]=ex(x-a)[x-(a-2)].令f'(x)=0,得x=a或x=a-2,当x∈(-∞,a-2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a-2)上单调递增,当x∈(a-2,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(a-2,a)上单调递减,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a-2处有极大值为f(a-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以b=2.
规律方法 求函数f(x)极值的一般解题步骤
对点训练若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案 A解析 因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)],依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1),令f'(x)=0
例题(1)(2022·全国乙,文11)函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
答案 (1)D　(2)1
规律方法 求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.
对点训练(1)(2023·湖北武汉高三期末)函数f(x)=|2ex-1|-2x的最小值为　　　　. (2)(2022·全国甲,文8)当x=1时,函数f(x)=aln x+ 取得最大值-2,则f'(2)=(　　)
答案 (1)1　(2)B解析 (1)当x≥-ln 2时,2ex-1≥0,此时f(x)=2ex-1-2x,f'(x)=2ex-2,令f'(x)>0得x>0,令f'(x)<0得-ln 2≤x<0,故此时f(x)=2ex-1-2x在x=0处取得最小值,f(0)=1;当x<-ln 2时,2ex-1<0,此时f(x)=1-2ex-2x,此时f(x)=1-2ex-2x在(-∞,-ln 2)上单调递减,且f(-ln 2)=2ln 2>1.综上,函数f(x)=|2ex-1|-2x的最小值为1.
例题(2022·山东泰安高三检测)某地打算修建一条公路,但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线,为了保护野生动物,决定修建高架桥,为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好,两端的桥墩相距1 200米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为500万元,距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为10x[ln(x+12)-3]万元,假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)需新建多少个桥墩才能使y最小?并求出其最小值.参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.1.
令y'=0,即x2-50(x+12)=0,解得x=-10(舍)或x=60.当00,函数单调递增.所以当x=60时,y有最小值,
又ln 72=ln(8×9)=ln 8+ln 9=3ln 2+2ln 3≈3×0.69+2×1.1=4.27,所以ymin=12 000×4.27-26 500=24 740.所以需新建19个桥墩才能使y最小,最小值为24 740,此时余下工程的费用为24 740万元.
规律方法 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.
对点训练蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活.蒙古包下半部分近似一个圆柱、上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥.今制作一座蒙古包,下半部分圆柱的高为2 m、上半部分圆锥内部的母线长为3 m,当该蒙古包的内部空间最大时,其内部的实际占地面积为　　　　　 m2.