广东省东莞市东华初级中学2022-2023学年九年级上学期12月期中数学试题

这是一份广东省东莞市东华初级中学2022-2023学年九年级上学期12月期中数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省 东莞市东华初级中学2022-2023学年九年级上学期12月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列式子是一元二次方程的是（    ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移2个单位后所得抛物线的表达式是（    ）
A． B． C． D．
3．在同一平面内，已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（    ）
A．点P在圆外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定
4．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．对于二次函数，下列说法错误的是（    ）
A．其最小值为2 B．其图象与y轴没有公共点
C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴
6．如图，四边形内接于，，则的度数是（    ）

A．70° B．110° C．120° D．140°
7．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（    ）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
8．年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？设共有支队伍参加比赛，则所列方程为（   ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，当 时， 的取值范围是（   ）

A． B． C． D．
10．函数与的图像可能是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．若一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为x1，x2，则两根的和x1＋x2＝ ．
12．一元二次方程的解为 ．
13．如图，是的直径，点在圆上，且．则 ．

14．如图，正六边形内接于，的半径为1，则边心距的长为 ．

15．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有 ．


三、解答题
16．解方程：．
17．如图，分别交于点，，，，且．求证：．
  
18．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）．

(1)柱子OA的高度是______米；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
19．用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．
(1)若矩形的面积为平方厘米，求x的值；
(2)矩形的面积是否可以为平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．
20．如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．
  
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的直径．
21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34本；当销售单价为25元时，销售量为30本．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？
22．如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．
  
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的半径．
23．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．

(1)求、两点坐标以及抛物线的解析式；
(2)证明：为直角三角形；
(3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积；
(4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A． ，是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C． ，未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D． ，整理可得，是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为，
∴所得抛物线的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的图形与变换——平移，解题的关键是熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”．
3．A
【分析】根据点与圆的位置关系，进行判断即可，设点到圆心的距离为，圆的半径为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．
【详解】解：的半径为3，
∵
∴点P在圆外
故选：A
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定．
4．B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．
【详解】由题意得：
解得：且
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
5．B
【分析】根据二次函数的图像与性质即可判断．
【详解】A选项，已知二次函数的图象开口向上，故二次函数有最小值为2，正确；
B选项，其图象与y轴交于点，错误；
C、D选项，其图象的对称轴为y轴，开口方向向上，所以当时，y随x的增大而减小，C、D选项正确．
故选B．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质．
6．D
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理解题．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=110°，
∴∠C=180°110°=70°，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=4-3=1．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
8．D
【分析】设共有支队伍参加比赛，利用比赛的总场数参赛球队数量参赛球队数量，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设共有支队伍参加比赛，
依题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．B
【分析】根据二次函数图像的对称性可得其与轴的另一个交点为，再配合图像即可得出结果；
【详解】解：因为抛物线的对称轴为直线；
所以抛物线与x轴的另一个交点为；
根据图像可知，当时，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质以及二次函数图像与坐标轴的交点问题；掌握函数中数形结合的方法是解题的关键．
10．C
【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断；
【详解】解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线的对称轴为直线，在轴的左侧，
、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项错误；
B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．
11．6
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， ，代入求值即可．
【详解】 的两根分别为x1，x2，，
故答案为：6
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 牢记，理解用字母表示一元二次方程未知数系数的意义是解题关键．
12．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
13．
【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为，然后根据三角形内角和即可求出的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直径所对圆周角为的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是直径所对圆周角为．
14．/
【分析】连接，根据正多边形的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

六边形是内接正六边形，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键．
15．①③④
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，

∴b>0，
∴abc<0，故此选项正确；
②当x=−1时，y=a−b+c<0，故a−b+c>0，错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且，
即,代入得，得2c<3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c，
而当x=m时,y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误.
故①③④正确.
故答案为：①③④.
16．，
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
∵
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．证明见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
18．(1)
(2)水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外

【分析】（1）OA在y轴上，中，令x=0，可得y 即为OA；
（2）水流落得最远时，落点在x轴上，在中，当y＝0时，，求得．
【详解】（1）在中，令x=0，则y= ，
∴柱子OA的高度为米；
故答案为；
（2）（2）在中，
当y＝0时，
，
，
∴，
∴，·，
又∵x＞0，
∴解得米．
答：水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0，解方程．
19．(1)厘米或    厘米
(2)不能，理由见解析

【分析】（1）矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，利用矩形的面积等于长乘以宽列出方程即可求解；
（2）矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，利用矩形的面积等于长乘以宽列出方程，利用判别式即可求解；
【详解】（1）解：矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，
依题意得，，
解得，
∴的值为厘米或厘米；
（2）解：矩形的面积不能为103平方厘米．
理由为：
矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，
依题意得，，
整理得，
∵，
∴原方程无解，
解得，
∴的值为厘米或厘米；
∴矩形的面积不能为103平方厘米
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）由为的直径，是弦，且，由垂径定理即可求得，然后由圆周角定理，可得；
（2）设的半径为，则，，利用勾股定理可求出的值，继而求得答案．
【详解】（1）解：，
，
为的直径，是弦，且，
，
；
（2）设的半径为，则，，
，，
，
在中，，
，解得：，
的直径为．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握这些定理是解答本题的关键，注意掌握数形结合思想．
21．(1)
(2)定为元时，最大利润是元

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润每本利润销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【详解】（1）解：设与的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
∴y与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得：


，
此时当时，最大，
即当时，（元），
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)9

【分析】（1）连接，，先证明，即有，，进而可得，则有，根据垂径定理可得半径，问题随之得解；
（2）根据（1）中，即可作答；
（3）连接，，证明，即有，问题随之得解．
【详解】（1）证明：如图1，
  
连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴半径，
∵，
∴半径，
∴为的切线；
（2）由①得，
∴，
∴；
（3）如图2，
  
连接，，
∵是直径，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是9．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，是解本题的关键．
23．(1)，，
(2)证明见解析
(3)，
(4)

【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；
（3）连接，根据进行求解即可；
（4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）证明：在中，当时，则，
解得，，
∴．
∵，，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标是；
如图1，连接，

∴，
∴四边形的面积是．
（4）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为．
如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，

点P是直线上的点，连接．
∵垂直平分，
∴，，
∴．
∵为定值，
∴当的值最小时，的周长最小．
∵，
∴当点P与点E重合时，，
∴此时最小．
∵直线，
当时，，
∴，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．