广东省梅州市五华县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广东省梅州市五华县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省梅州市五华县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ）

A． B． C． D．
2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（   ）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
4．如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（    ）
  
A． B． C． D．
5．如下图，矩形的对角线，交于点O，，，则边长为（    ）

A． B． C．1 D．2
6．已知关于x的方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＞2且m≠0 D．m＜2且m≠0
7．如下图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（    ）
  
A．5 B．6 C．8 D．3
8．如下图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为（  ）
  
A． B． C． D．
9．如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于4，则的面积等于（    ）

A．2.4 B．3 C． D．4
10．已知反比例函数（为常数）的图象经过点．如上图，过点作直线与函数的图象交于点，与轴交于点，且，过点作直线，交轴于点，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是 ．
12．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是
13．盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和1个黑球，搅匀后从中取出1个球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 ．
14．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，则的度数是

15．如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．
  

三、解答题
16．解方程：．
17．如图所示，中，为上一个点，垂直平分交于，交于，若，判断四边形AEDF的形状并说明理由．

18．碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起．如图，小明（线段AB）利用学到的知识，计算楼房（线段CD）的层数，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高1.5m，测得BE＝1m，ED＝58m，碧桂园层高为2.9m，求这栋楼房有多少层？

19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值．
20．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21．北京时间年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．

(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅长度
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
22．（1）【问题原型】如图①，在正方形中，点分别在边，上，且，点为，的交点，求证：．
（2）【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边中，点，分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点为，的交点，请画出图形并求的度数．
（3）【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：
如图③，在菱形中，，点分别在边，上，且，，点为，的交点，求的度数．

23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点C，轴于点D，，点关于直线的对称点为点．
  
(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.
【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
2．D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
3．D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
4．D
【分析】先设每个小等边三角的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
5．D
【分析】根据矩形的性质得出，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：四边形是矩形，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是根据矩形的性质得出解答．
6．D
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是要熟记一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式．
7．A
【分析】根据得到，得到，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中平行y轴的直线上两点之间的距离，是解题的关键．
8．B
【分析】由翻折的性质知，，再由菱形的性质得，，最后利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵沿直线翻折，使点B落在上，
∴，，
∴，，
∴，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出是解题的关键．
9．B
【分析】证明可求，从而可求，，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
10．C
【分析】由反比例函数的图象经过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案；首先分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，易得，即可求得A的坐标，由，再利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】∵反比例函数（为常数）的图象经过点 ，
∴，
∴反比例函数解析式为，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则，，

∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴， 即 ，
∴．
∴点A的纵坐标为4，
∴把代入，
∴．
∴，
设直线解析式为， 把，代入解析式得，
，
解得： ，
∴直线解析式为，
当时，， 解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了待定系数求反比例与一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
11．x1＝4，x2＝﹣3
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．2：3/
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
两个相似三角形的相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是1红1黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有4种，
∴两次取出的球是1红1黑的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．
【分析】利用互余关系及斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质解题即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，点E是的中点，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够熟练运用性质及互余是解题关键．
15．6
【分析】通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】解：设与交于点M．
  
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵和分别是和的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
16．，
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可．
【详解】解：



或
∴，
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．
17．四边形是菱形，证明见解析
【分析】首先根据垂直平分线的性质可得，，，证明可得，进而得到，即可得四边形是菱形．
【详解】解：四边形是菱形，
理由：∵垂直平分交于，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四边相等的四边形是菱形．
18．30层
【分析】证，得，求出，进而得出答案．
【详解】解：由已知可得：，
又，
，
，
即，
解得：，
（层，
答：这栋楼房有30层．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
19．(1)见解析；
(2)或．

【分析】（1）证明即可；
（2）根据 是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：当时，原方程为：，
解得：，
当时，原方程为：，
∴，．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意；
当时，则有：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意．
综上所述：的值为或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角形进行分类讨论．
20．(1)120，99
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．(1)
(2)秒或秒

【分析】（1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，
，
，即，
解得，
条幅的长度为；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键．
22．（1）见解析；（2），图见解析；（3）
【分析】（1）证得，再根据直角三角形的判定即可得解；
（2）由等边三角形的性质得，，进而证明得，利用三角形的外角性质即可求解；
（3）连接交于．由菱形的性质及等边三角形的判定证是等边三角形，再证得，从而有，于是根据（）即可得解．
【详解】解：（1）四边形是正方形
∴，．
∵，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）探究发现，如图（）中
  
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
（3）拓展提升：如图③中，连接交于．
  
四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
由（）可知，．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、菱形的性质，全等三角形的判定及性质，正方形的性质以及直角三角形的判定，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
23．(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①；②

【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合，轴，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴设点的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，平分，
如图．连接交于，
∴，
  
∵，，
∴，
∴，
∵轴于，
∴轴，
∴，
∵，
∴点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
∴；
②延长交轴于，
  
∵，
∴点与点关于轴对称，
∴，
则点即为符合条件的点，
由①知，，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．