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2023年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −4的倒数是( )
A. 14 B. −14 C. 4 D. −4
2. 中牟县谋划2023年政府投资新建项目77个，总投资35.2亿元，年度计划投资13.7亿元.数据“13.7亿”用科学记数法表示为( )
A. 13.7×108 B. 1.37×108 C. 1.37×109 D. 13.7×109
3. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算正确的是( )
A. (x2)3=x6 B. 7a2−5a2=2 C. x−2=−x2 D. 3x+2y=5xy
5. 将一把直尺和一个透明的三角板按如图所示的方式放置，若∠1=34°，则∠2的度数是( )
A. 34° B. 50° C. 56° D. 66°
6. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农神庙(Parthenon Temple)，我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的( )
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
7. 李萍经营了一家鞋店，一周内她销售了某牌子的女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为李萍更应该关注鞋子尺码的( )
尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
6
9
13
1
1
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
8. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−1=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. m≥0 B. m>0 C. m≥0且m≠1 D. m>0且m≠1
9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4x+6y=485x+3y=38 C. 4x+6y=483x+5y=38 D. 4x+6y=385x+3y=48
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，∠OAB=120°，AB=AO=2，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后，点B的坐标是( )
A. (3,− 3) B. (0,−2 3) C. (−3,− 3) D. (−3, 3)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分式−4x+2有意义的条件是______ ．
12. 计算： 4−(2023−π)0= ______ ．
13. 在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片(如图)，然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是物理变化的概率是______ ．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以BC为直径的圆恰好与AD相切于点F，将点F绕点C逆时针旋转，其旋转路径与BC交于点E.图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为AB边的中点，点P是边BC上一动点，连接PE，沿PE折叠△PBE得到△PFE.当射线EF经过正方形ABCD的边的中点(不包括点E)时，BP的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
(1)解不等式组：5x+1>3(x−1),①12x<8−32x.②(2)化简：(m2−3m+1m+1)÷m2−1m．
17. (本小题9.0分)
《义务教育劳动课程标准(2022年版)》要求：7～9年级学生主动承担一定的家庭清洁、烹饪、家居美化等日常生活劳动，进一步加强家政知识和技能的学习实践，理解劳动创造美好生活的道理，提高生活自理能力，增强家庭责任意识.某县教育部门为了解本县初中学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该县1000名学生进行问卷调查．
调查问卷(部分)
1.你每周参加家庭劳动时间大约是______ h.如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题．
2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______ (单选)．
A.不喜欢B.没时间C.家长不舍得D.其他
问卷调查结束，调查组把这1000名初中生每周参加家庭劳动时间x(h)分为4组：第一组：0≤x<1，第二组1≤x<1.5，第三组：1.5≤x<2，第四组：x≥2.并将调查问卷(部分)和结果进行统计如下：
(1)本次调查中，初中生每周参加家庭劳动时间的中位数在第______ 组；
(2)本次被调查的学生中，选择“家长不舍得”的人数为多少？
(3)该县教育部门倡议本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h.请结合上述统计图，对该县初中生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
18. (本小题9.0分)
如图①，中牟县人文路与贾鲁河交汇处的贾鲁河大桥，是亚洲最宽的无背索斜塔斜拉结构桥，装饰塔为凤首箜篌造型，展现中牟地域历史文化，某校数学社团的同学们利用周末去测量主塔AB(桥面以上部分)的垂直高度AC.如图②，已知主塔AB与桥面夹角为60°，他们从B处沿BD方向前进24m至点D处，然后在点D处放置高为1m的测角仪DE，测得塔顶A的仰角为45°(点C，B，D在同一水平线上)，请你依据上述数据，求出主塔AB的垂直高度AC.(结果精确到0.1m，参考数据 3≈1.73)
19. (本小题9.0分)
为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，每年的8月8日为“全民健身日”，某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案：
方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；
方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．
设李凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1=k1x+b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2=k2x，其函数图象如图所示．
(1)请直接写出方案一和方案二的函数表达式，并写出b的实际意义；
(2)2023年王斌给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次(365天)，他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
20. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数y=kx的图象的交点坐标．
21. (本小题9.0分)
在学习完《圆》这一章，某校数学社团探究“过圆外一点作已知圆的切线”，下面记录了部分探究过程．
如图，已知⊙O及⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线.社团成员张明尺规作图的作法如下：
①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C；②以点C为圆心，CO长为半径作弧交⊙O于点E，F，③作射线PE，PF.则射线PE，PF即为所求．
请完成下面的问题：
(1)根据上述步骤，利用尺规作图，将图形补充完整(保留作图痕迹)．
(2)细心的李敏同学通过认真观察，发现线段PE和PF满足一定的数量关系，请你将李敏的“求证”补充完整，并证明.已知：PE，PF与⊙O相切于点E，F.求证：______ ．
22. (本小题10.0分)
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，OA=12m，从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+bx+c(x>0)，已知水流的最高点到OA的水平距离是14m，最高点离水面是916m.
(1)求二次函数表达式；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
23. (本小题10.0分)
【问题有景】
在综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展探究活动.正方形ABCD中，点P是DC边上一点(不与点D，C重合)，连接BP．
【操作发现】
(1)如图①，将△BPC沿BP折叠，得到△BPE，连接CE并延长交AD于点F，则线段BP，CF的数量关系是______ ．
(2)如图②，将正方形纸片ABCD折叠，使点B与点P重合，折痕分别与BC，AD交于点M，N，请你判断线段BP，MN的数量关系，并说明理由．
【实践探究】
(3)如图③，连接AC交MN于点G，MN与BP相交于点H.求证：MN=2GH．
(4)在图③中，若点P是DC的中点，AB=6，请直接写出NG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−4的倒数是−14．
故选：B．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：数据“13.7亿”用科学记数法表示为1370000000=1.37×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：该组合体的俯视图为：底层是一个矩形，矩形内部有一个与矩形两边相切的圆．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】A
【解析】解：A.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
B.7a2−5a2=2a2，故本选项不符合题意；
C.x−2=1x2≠−x2，故本选项不符合题意；
D.3x和2y不能合并，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据幂的乘方，合并同类项法则和负整数指数幂进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了幂的乘方，合并同类项法则和负整数指数幂等知识点，能熟记幂的乘方、合并同类项法则和负整数指数幂定义是解此题的关键，注意：①幂的乘方，底数不变，指数相乘，②a−p=1ap(a≠0)．
5.【答案】C
【解析】解：如图：
∵a//b，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠4=34°，
∴∠3=90°−∠4=90°−34°=56°，
∴∠2=56°，
故选：C．
根据两直线平行，内错角相等得出∠3，进而利用互余解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
6.【答案】D
【解析】解：神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙(Parthenon Temple)，我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
根据黄金分割的定义，即可解答．
本题考查了黄金分割，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴李萍更应该关注鞋子尺码的众数．
故选：C．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)≥0，
解得m≥0且m≠1，
即m的取值范围为m≥0且m≠1．
故选：C．
先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9.【答案】C
【解析】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y=48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y=38．
∴可列方程组为4x+6y=483x+5y=38．
故选：C．
利用总价=单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°−120°=60°，AB=OA=2，
∴AH=AB⋅cos60°=1，BH= 3AH= 3，
∵∠BOH=30°，
∴OB=2BH=2 3，B(3, 3)，
由题意B1(3,− 3)，B2(0,−2 3)，B3(−3,− 3)，B4(−3, 3)，B5(0,2 3)，…，6次一个循环，
∵2023÷6=337……1，
∴B2023(3,− 3)，
故选：A．
求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
11.【答案】x≠−2
【解析】解：∵分式−4x+2有意义，
∴x+2≠0，
即x≠−2，
故答案为：x≠−2．
根据分式的分母不能为0即可求得答案．
本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】1
【解析】解： 4−(2023−π)0
=2−1
=1，
故答案为：1．
先计算算术平方根和零次幂，再计算减法．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
13.【答案】16
【解析】解：设4张卡片“水变成冰”“酒精燃烧”“光合作用”“衣服晾干”依次为A，B、C、D，依据题意画树状图如下：
共有12种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取两张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为212=16．
故答案为：16．
利用树状图把所有可能情况一一画出即可求解．
本题考查树状图求概率，掌握方法是关键．
14.【答案】π2+2
【解析】解：设BC的中点为O，连接OF，
∵以BC为直径的圆恰好与AD相切于点F，
∴OF⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD//BC，
∴∠AFO=90°，
∴四边形ABOF是矩形，
∵OB=OF，
∴四边形ABOF是正方形，
同理四边形OFDC是正方形，
∴OF=OC，
∴∠FOC=90°，∠OFC=∠OCF=45°，
∵AB=2，
∴OF=OC=2，
∴CF=2 2，
∴图中阴影部分的面积为12×22×π−(45⋅π×22360+90⋅π×22360−12×2×2)=π2+2．
故答案为：π2+2．
设BC的中点为O，连接OF，根据切线的性质得到OF⊥AD，根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，AD//BC，求得∠AFO=90°，推出四边形ABOF是正方形，同理四边形OFDC是正方形，得到OF=OC，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】2或2 2−2
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=AD=CD=BC=4，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB//CD，
∵射线EF经过正方形ABCD边的中点(不包括点E)，
∴有以下三种情况：
①当射线EF经过AD边的中点M时，
连接CE，AC，过点E作EG⊥AC于H，
∵点E为AB的中点，点M为AD的中点，
∴△AEM为等腰直角三角形，
∴∠AEM=45°，
∴∠BEM=180°−∠AEM=135°，
由折叠的性质得：∠BEP=∠FEP，∠BPE=∠FPE，∠B=∠EFP=90°，
∴∠BEP=∠FEP=67.5°，
由四边形的内角和等于360°得：∠BPF=45°，
∴∠BPE=∠FPE=22.5°，
在Rt△BEC中，BE=2，BC=4，
由勾股定理得：EC= BE2+BC2=2 5，
∴sin∠BCE=BEEC=22 5=1 5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵EH⊥AC，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴sin∠BAC=EHAE，
∴EH=AE⋅sin∠BAC=2⋅sin45°= 2，
∴sin∠ACE=EHCE= 22 5=1 10，
∵1 5>1 10，
∴sin∠BCE>sin∠ACE，
∴∠BCE>∠ACE，
又∵∠BCA=∠BCE+∠ACE=45°，
∴∠BCE>22.5°，
又∠BPE=22.5°，
这与三角形的一个外角大于和它不相邻的每一个内角相矛盾，
∴射线EF不能经过AD的中点；
②当射线EF经过CD的中点M时，
则CM=BE=2，BE//CM，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCME为矩形，
∴∠BEF=90°，
由折叠的性质得：∠BEP=∠FEP=45°，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴BP=BE=2，
③当射线EF经过BC的中点M时，
∵BE=BM=2，
由勾股定理得：EM= BE2+BM2=2 2，
由折叠的性质得：BP=PF，BE=FE=2，∠EBP=∠EFP=90°，
∴FM=EM−EF=2 2−2，PM=BM−BP=2−BP，
在Rt△PMF中，由勾股定理得：PF2+FM2=PM2，
即：BP2+(2 2−2)2=(2−BP)2，
∴BP=2 2−2．
综上所述：BP的长为2或2 2−2．
故答案为：2或2 2−2．
分三种情况进行讨论：①当射线EF经过AD边的中点M时，连接CE，AC，过点E作EG⊥AC于H，则∠AEM=45°，进而得∠BEP=∠FEP=67.5°，∠BPE=∠FPE=22.5°，然后证∠BCE>22.5°，于是可得射线EF不能经过AD的中点；
②当射线EF经过CD的中点M时，先证四边形BCME为矩形，进而可证△BEP为等腰直角三角形，从而可得出BP的长；
③当射线EF经过BC的中点M时，先由勾股定理求出EM=2 2，再由折叠的性质得FM=2 2−2，PM=2−BP，然后在Rt△PMF中由勾股定理即可求出BP的长．
本题主要考查正方形的性质，矩形的判定和性质，图形的折叠和性质，勾股定理的应用，解答此题的关键是进行分类讨论，根据三种不同情况分别画出图形，利用翻折的性质解决问题．
16.【答案】解：(1)解①得x>−2，
解②得x<4，
所以不等式组的解集为−2
=m2−2m+1m⋅mm2−1
=(m−1)2m⋅m(m+1)(m−1)
=m−1m+1．
【解析】(1)分别解两个不等式得到x>−1和x≤2，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集；
(2)根据分式的混合运算顺序，先把括号内部分通分，再根据分式的除法法则计算即可．
本题考查了一元一次不等式组以及分式的混合运算，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17.【答案】1.5 A 二
【解析】解：(1)将这1000名学生每周参加家庭劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数均在第二组，即中位数在第二组，
故答案为：二；
(2)1000×(1−12%−45%−7%)=360(人)，
答：本次被调查的学生中，选择“家长不舍得”的人数大约有360人；
(3)本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h的学生占被调查学生人数的7%，占比非常低，因此需要加大力度提高本县初中生每周参加家庭劳动时间．
(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)求出“家长不舍得”的学生数所占的百分比即可；
(3)根据扇形统计图中各个部分所占的百分比，进而得出本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h所占的百分比，得出结论．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及中位数，掌握频率=频数总数以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：过点E作EF⊥AC，垂足为F，
由题意得：AC⊥CD，DE=CF=1米，EF=CD，BD=24米，
设BC=x米，
∴EF=CD=BC+BD=(x+24)米，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴AC=BC⋅tan60°= 3x(米)，
在Rt△AEF中，∠AEF=45°，
∴AF=EF⋅tan45°=(x+24)米，
∴AC=AF+CF=(x+25)米，
∴ 3x=x+25，
解得：x=25 3+252，
∴AC= 3x≈59.1(米)，
∴主塔AB的垂直高度AC约为59.1米．
【解析】过点E作EF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：AC⊥CD，DE=CF=1米，EF=CD，BD=24米，然后设BC=x米，则EF=CD=(x+24)米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据图象可知，y1=k1x+b过点(0,400)，(120,1000)，
∴b=400120k1+b=1600，
解得：k1=10b=400，
∴y1=10x+400，
∴b=400的实际意义：购买一张羽毛球健身年卡的费用为400元，
根据“方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元”可得：y2=15x；
(2)由(1)可知，y1=10x+400，y2=15x，
联立得：y=10x+400y=15x，
解得：x=80y=1200，
∴两函数图象的交点坐标为(80,1200)，
根据图象可知，当x<80时，y1>y2，当x>80时，y2>y1，
∵王斌每周去俱乐部打球2次，
∴王斌2023年去俱乐部打球的次数为3657×2≈104(次)，
∵104>80，
∴y2>y1，
∴他选择方案一所需费用更少．
【解析】(1)利用待定系数即可求出y1关于x的函数解析式，再根据“方案二的描述”即可得出y2关于x的函数解析式；
(2)联立两函数解析式求出交点坐标为(80,1200)，由图象可知，当x<80时，y1>y2，当x≥80时，y2>y1，再求出他一年去去俱乐部打球的次数，和80进行比较即可求解．
本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，理解题意，根据题意和图象正确求出一次函数解析式是解题关键．
20.【答案】解：(1)把x=2代入一次函数y=x+2，
∴y=4．
把x=2，y=4代入反比例函数y=kx，
∴k=8．
∴反比例函数的表达式为y=8x．
(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度得到y=x−2．
又由题意可得，y=x−2y=8x．
∴x=4y=2或x=−2y=−4．
∴交点坐标为(4,2)，(−2,−4)．
【解析】(1)将x=2代入y=x+2=4，故其中交点A的坐标为(2,4)，将(2,4)代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位得到y=x−2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A、B的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握一次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】PE=PF
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)已知：PE，PF与⊙O相切于点E，F.求证：PE=PF．
证明：∵PE，PF是⊙O的切线，
∴PE⊥OE，PF⊥OF，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，
PO=POOE=OF，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴PE=PF．
故答案为：PE=PF．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，可得结论．
本题考查作图−应用与设计作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题−
22.【答案】解：(1)根据题意得，二次函数表达式表达式为y=−(x−14)2+916=−x2+12x+12，
∴二次函数表达式为y=−x2+12x+12；
(2)令y=0，则−x2+12x+12=0，
解得x1=−12(舍去)，x2=1，
∴水池的半径至少要1米才能使喷出的水流不至于落在池外．
【解析】(1)根据题意直接得出二次函数表达式；
(2)令y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可．
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
23.【答案】BP=CF
【解析】(1)解：如图①，设BP交CF于点L，
∵将△BPC沿BP折叠，得到△BPE，
∴点E与点C关于直线BP对称，
∴BP垂直平分CE，
∴∠BLC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCP=∠D=90°，
∴∠PBC=∠FCD=90°−∠BCF，
∴△PBC≌△FCD(ASA)，
∴BP=CF，
故答案为：BP=CF．
(2)解：BP=MN，理由如下：
如图②，设BP交MN于点L，作CJ//MN交AD于点J，交BP于点K，
∵CM//JN，
∴四边形MCJN是平行四边形，
∴CJ=MN，
由折叠得点P与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分BP，
∴∠PKC=∠PLM=90°，
∵∠BCP=∠D=90°，
∴∠BPC=∠CJD=90°−∠DCJ，
∵BC=CD，
∴△PBC≌△JCD(AAS)，
∴BP=CJ，
∴BP=MN．
(3)证明：如图③，连接BD、GD、GP，
∵AC垂直平分BD，
∴DG=BG，
∵DC=BC，CG=CG，
∴△DCG≌△BCG(SSS)，
∴∠GDC=∠GBC，
∵MN垂直平分BP，
∴PG=BG，
∴PG=DG，
∴∠GDC=∠GPD，
∴∠GBC=∠GPD，
∴∠GBC+∠GPC=∠GPD+∠GPC=180°，
∴∠BGP+∠BCP=360°−(∠GBC+∠GPC)=180°，
∴∠BGP=180°−∠BCP=90°，
∴GH=12BP=12MN，
∴MN=2GH．
(4)解：NG的长为=3 54，
理由：∵BC=DC=AB=6，点P是DC的中点，
∴PC=PD=12CD=12×6=3，
∴BP= BC2+PC2= 62+32=3 5，
∴BH=12BP=12×3 5=3 52，
∵∠BLM=∠BCP=90°，
∴MHBH=PCBC=tan∠PBC=36=12，
∴MH=12BH=12×3 52=3 54，
∵MN=BP=3 5，GH=12BP=3 52，
∴NG=MN−MH−GH=3 5−3 54−3 52=3 54．
(1)设BP交CF于点L，由折叠得BP垂直平分CE，则∠BLC=90°，由正方形的性质得BC=CD，∠BCP=∠D=90°，则∠PBC=∠FCD=90°−∠BCF，即可证明△PBC≌△FCD，得BP=CF，于是得到问题的答案；
(2)设BP交MN于点L，作CJ//MN交AD于点J，交BP于点K，则四边形MCJN是平行四边形，所以CJ=MN，再证明△PBC≌△JCD，则BP=CJ=MN；
(3)连接BD、GD、GP，由AC垂直平分BD，得DG=BG，而DC=BC，CG=CG，可证明△DCG≌△BCG，得∠GDC=∠GBC，再证明PG=DG，得∠GDC=∠GPD，则∠GBC=∠GPD，则∠GBC+∠GPC=∠GPD+∠GPC=180°，可推导出∠BGP=90°，则GH=12BP=12MN，所以MN=2GH；
(4)由BC=DC=AB=6，点P是DC的中点，得PC=12CD=3，由勾股定理得BP= BC2+PC2=3 5，则BH=12BP=3 52，由MHBH=PCBC=tan∠PBC=12，得MH=12BH=3 54，而MN=BP=3 5，GH=12BP=3 52，即可求得NG=MN−MH−GH=3 54．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2023年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −4的倒数是( )
A. 14 B. −14 C. 4 D. −4
2. 中牟县谋划2023年政府投资新建项目77个，总投资35.2亿元，年度计划投资13.7亿元.数据“13.7亿”用科学记数法表示为( )
A. 13.7×108 B. 1.37×108 C. 1.37×109 D. 13.7×109
3. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算正确的是( )
A. (x2)3=x6 B. 7a2−5a2=2 C. x−2=−x2 D. 3x+2y=5xy
5. 将一把直尺和一个透明的三角板按如图所示的方式放置，若∠1=34°，则∠2的度数是( )
A. 34° B. 50° C. 56° D. 66°
6. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农神庙(Parthenon Temple)，我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的( )
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
7. 李萍经营了一家鞋店，一周内她销售了某牌子的女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为李萍更应该关注鞋子尺码的( )
尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
6
9
13
1
1
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
8. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−1=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. m≥0 B. m>0 C. m≥0且m≠1 D. m>0且m≠1
9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4x+6y=485x+3y=38 C. 4x+6y=483x+5y=38 D. 4x+6y=385x+3y=48
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，∠OAB=120°，AB=AO=2，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转后，点B的坐标是( )
A. (3,− 3) B. (0,−2 3) C. (−3,− 3) D. (−3, 3)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分式−4x+2有意义的条件是______ ．
12. 计算： 4−(2023−π)0= ______ ．
13. 在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成外表完全相同的卡片(如图)，然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取两张，则抽出的生活现象都是物理变化的概率是______ ．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，以BC为直径的圆恰好与AD相切于点F，将点F绕点C逆时针旋转，其旋转路径与BC交于点E.图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为AB边的中点，点P是边BC上一动点，连接PE，沿PE折叠△PBE得到△PFE.当射线EF经过正方形ABCD的边的中点(不包括点E)时，BP的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
(1)解不等式组：5x+1>3(x−1),①12x<8−32x.②(2)化简：(m2−3m+1m+1)÷m2−1m．
17. (本小题9.0分)
《义务教育劳动课程标准(2022年版)》要求：7～9年级学生主动承担一定的家庭清洁、烹饪、家居美化等日常生活劳动，进一步加强家政知识和技能的学习实践，理解劳动创造美好生活的道理，提高生活自理能力，增强家庭责任意识.某县教育部门为了解本县初中学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该县1000名学生进行问卷调查．
调查问卷(部分)
1.你每周参加家庭劳动时间大约是______ h.如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题．
2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______ (单选)．
A.不喜欢B.没时间C.家长不舍得D.其他
问卷调查结束，调查组把这1000名初中生每周参加家庭劳动时间x(h)分为4组：第一组：0≤x<1，第二组1≤x<1.5，第三组：1.5≤x<2，第四组：x≥2.并将调查问卷(部分)和结果进行统计如下：
(1)本次调查中，初中生每周参加家庭劳动时间的中位数在第______ 组；
(2)本次被调查的学生中，选择“家长不舍得”的人数为多少？
(3)该县教育部门倡议本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h.请结合上述统计图，对该县初中生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
18. (本小题9.0分)
如图①，中牟县人文路与贾鲁河交汇处的贾鲁河大桥，是亚洲最宽的无背索斜塔斜拉结构桥，装饰塔为凤首箜篌造型，展现中牟地域历史文化，某校数学社团的同学们利用周末去测量主塔AB(桥面以上部分)的垂直高度AC.如图②，已知主塔AB与桥面夹角为60°，他们从B处沿BD方向前进24m至点D处，然后在点D处放置高为1m的测角仪DE，测得塔顶A的仰角为45°(点C，B，D在同一水平线上)，请你依据上述数据，求出主塔AB的垂直高度AC.(结果精确到0.1m，参考数据 3≈1.73)
19. (本小题9.0分)
为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，每年的8月8日为“全民健身日”，某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案：
方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；
方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．
设李凯每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1=k1x+b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2=k2x，其函数图象如图所示．
(1)请直接写出方案一和方案二的函数表达式，并写出b的实际意义；
(2)2023年王斌给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次(365天)，他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
20. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数y=kx的图象的交点坐标．
21. (本小题9.0分)
在学习完《圆》这一章，某校数学社团探究“过圆外一点作已知圆的切线”，下面记录了部分探究过程．
如图，已知⊙O及⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线.社团成员张明尺规作图的作法如下：
①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C；②以点C为圆心，CO长为半径作弧交⊙O于点E，F，③作射线PE，PF.则射线PE，PF即为所求．
请完成下面的问题：
(1)根据上述步骤，利用尺规作图，将图形补充完整(保留作图痕迹)．
(2)细心的李敏同学通过认真观察，发现线段PE和PF满足一定的数量关系，请你将李敏的“求证”补充完整，并证明.已知：PE，PF与⊙O相切于点E，F.求证：______ ．
22. (本小题10.0分)
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，OA=12m，从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+bx+c(x>0)，已知水流的最高点到OA的水平距离是14m，最高点离水面是916m.
(1)求二次函数表达式；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
23. (本小题10.0分)
【问题有景】
在综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展探究活动.正方形ABCD中，点P是DC边上一点(不与点D，C重合)，连接BP．
【操作发现】
(1)如图①，将△BPC沿BP折叠，得到△BPE，连接CE并延长交AD于点F，则线段BP，CF的数量关系是______ ．
(2)如图②，将正方形纸片ABCD折叠，使点B与点P重合，折痕分别与BC，AD交于点M，N，请你判断线段BP，MN的数量关系，并说明理由．
【实践探究】
(3)如图③，连接AC交MN于点G，MN与BP相交于点H.求证：MN=2GH．
(4)在图③中，若点P是DC的中点，AB=6，请直接写出NG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−4的倒数是−14．
故选：B．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：数据“13.7亿”用科学记数法表示为1370000000=1.37×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：该组合体的俯视图为：底层是一个矩形，矩形内部有一个与矩形两边相切的圆．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】A
【解析】解：A.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
B.7a2−5a2=2a2，故本选项不符合题意；
C.x−2=1x2≠−x2，故本选项不符合题意；
D.3x和2y不能合并，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据幂的乘方，合并同类项法则和负整数指数幂进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了幂的乘方，合并同类项法则和负整数指数幂等知识点，能熟记幂的乘方、合并同类项法则和负整数指数幂定义是解此题的关键，注意：①幂的乘方，底数不变，指数相乘，②a−p=1ap(a≠0)．
5.【答案】C
【解析】解：如图：
∵a//b，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠4=34°，
∴∠3=90°−∠4=90°−34°=56°，
∴∠2=56°，
故选：C．
根据两直线平行，内错角相等得出∠3，进而利用互余解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
6.【答案】D
【解析】解：神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙(Parthenon Temple)，我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
根据黄金分割的定义，即可解答．
本题考查了黄金分割，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴李萍更应该关注鞋子尺码的众数．
故选：C．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)≥0，
解得m≥0且m≠1，
即m的取值范围为m≥0且m≠1．
故选：C．
先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9.【答案】C
【解析】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y=48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y=38．
∴可列方程组为4x+6y=483x+5y=38．
故选：C．
利用总价=单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：过点B作BH⊥y轴于H．
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°−120°=60°，AB=OA=2，
∴AH=AB⋅cos60°=1，BH= 3AH= 3，
∵∠BOH=30°，
∴OB=2BH=2 3，B(3, 3)，
由题意B1(3,− 3)，B2(0,−2 3)，B3(−3,− 3)，B4(−3, 3)，B5(0,2 3)，…，6次一个循环，
∵2023÷6=337……1，
∴B2023(3,− 3)，
故选：A．
求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
11.【答案】x≠−2
【解析】解：∵分式−4x+2有意义，
∴x+2≠0，
即x≠−2，
故答案为：x≠−2．
根据分式的分母不能为0即可求得答案．
本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】1
【解析】解： 4−(2023−π)0
=2−1
=1，
故答案为：1．
先计算算术平方根和零次幂，再计算减法．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
13.【答案】16
【解析】解：设4张卡片“水变成冰”“酒精燃烧”“光合作用”“衣服晾干”依次为A，B、C、D，依据题意画树状图如下：
共有12种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取两张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为212=16．
故答案为：16．
利用树状图把所有可能情况一一画出即可求解．
本题考查树状图求概率，掌握方法是关键．
14.【答案】π2+2
【解析】解：设BC的中点为O，连接OF，
∵以BC为直径的圆恰好与AD相切于点F，
∴OF⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD//BC，
∴∠AFO=90°，
∴四边形ABOF是矩形，
∵OB=OF，
∴四边形ABOF是正方形，
同理四边形OFDC是正方形，
∴OF=OC，
∴∠FOC=90°，∠OFC=∠OCF=45°，
∵AB=2，
∴OF=OC=2，
∴CF=2 2，
∴图中阴影部分的面积为12×22×π−(45⋅π×22360+90⋅π×22360−12×2×2)=π2+2．
故答案为：π2+2．
设BC的中点为O，连接OF，根据切线的性质得到OF⊥AD，根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，AD//BC，求得∠AFO=90°，推出四边形ABOF是正方形，同理四边形OFDC是正方形，得到OF=OC，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】2或2 2−2
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=AD=CD=BC=4，∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB//CD，
∵射线EF经过正方形ABCD边的中点(不包括点E)，
∴有以下三种情况：
①当射线EF经过AD边的中点M时，
连接CE，AC，过点E作EG⊥AC于H，
∵点E为AB的中点，点M为AD的中点，
∴△AEM为等腰直角三角形，
∴∠AEM=45°，
∴∠BEM=180°−∠AEM=135°，
由折叠的性质得：∠BEP=∠FEP，∠BPE=∠FPE，∠B=∠EFP=90°，
∴∠BEP=∠FEP=67.5°，
由四边形的内角和等于360°得：∠BPF=45°，
∴∠BPE=∠FPE=22.5°，
在Rt△BEC中，BE=2，BC=4，
由勾股定理得：EC= BE2+BC2=2 5，
∴sin∠BCE=BEEC=22 5=1 5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵EH⊥AC，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴sin∠BAC=EHAE，
∴EH=AE⋅sin∠BAC=2⋅sin45°= 2，
∴sin∠ACE=EHCE= 22 5=1 10，
∵1 5>1 10，
∴sin∠BCE>sin∠ACE，
∴∠BCE>∠ACE，
又∵∠BCA=∠BCE+∠ACE=45°，
∴∠BCE>22.5°，
又∠BPE=22.5°，
这与三角形的一个外角大于和它不相邻的每一个内角相矛盾，
∴射线EF不能经过AD的中点；
②当射线EF经过CD的中点M时，
则CM=BE=2，BE//CM，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCME为矩形，
∴∠BEF=90°，
由折叠的性质得：∠BEP=∠FEP=45°，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴BP=BE=2，
③当射线EF经过BC的中点M时，
∵BE=BM=2，
由勾股定理得：EM= BE2+BM2=2 2，
由折叠的性质得：BP=PF，BE=FE=2，∠EBP=∠EFP=90°，
∴FM=EM−EF=2 2−2，PM=BM−BP=2−BP，
在Rt△PMF中，由勾股定理得：PF2+FM2=PM2，
即：BP2+(2 2−2)2=(2−BP)2，
∴BP=2 2−2．
综上所述：BP的长为2或2 2−2．
故答案为：2或2 2−2．
分三种情况进行讨论：①当射线EF经过AD边的中点M时，连接CE，AC，过点E作EG⊥AC于H，则∠AEM=45°，进而得∠BEP=∠FEP=67.5°，∠BPE=∠FPE=22.5°，然后证∠BCE>22.5°，于是可得射线EF不能经过AD的中点；
②当射线EF经过CD的中点M时，先证四边形BCME为矩形，进而可证△BEP为等腰直角三角形，从而可得出BP的长；
③当射线EF经过BC的中点M时，先由勾股定理求出EM=2 2，再由折叠的性质得FM=2 2−2，PM=2−BP，然后在Rt△PMF中由勾股定理即可求出BP的长．
本题主要考查正方形的性质，矩形的判定和性质，图形的折叠和性质，勾股定理的应用，解答此题的关键是进行分类讨论，根据三种不同情况分别画出图形，利用翻折的性质解决问题．
16.【答案】解：(1)解①得x>−2，
解②得x<4，
所以不等式组的解集为−2
=m2−2m+1m⋅mm2−1
=(m−1)2m⋅m(m+1)(m−1)
=m−1m+1．
【解析】(1)分别解两个不等式得到x>−1和x≤2，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集；
(2)根据分式的混合运算顺序，先把括号内部分通分，再根据分式的除法法则计算即可．
本题考查了一元一次不等式组以及分式的混合运算，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17.【答案】1.5 A 二
【解析】解：(1)将这1000名学生每周参加家庭劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数均在第二组，即中位数在第二组，
故答案为：二；
(2)1000×(1−12%−45%−7%)=360(人)，
答：本次被调查的学生中，选择“家长不舍得”的人数大约有360人；
(3)本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h的学生占被调查学生人数的7%，占比非常低，因此需要加大力度提高本县初中生每周参加家庭劳动时间．
(1)根据中位数的定义进行计算即可；
(2)求出“家长不舍得”的学生数所占的百分比即可；
(3)根据扇形统计图中各个部分所占的百分比，进而得出本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于2h所占的百分比，得出结论．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及中位数，掌握频率=频数总数以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：过点E作EF⊥AC，垂足为F，
由题意得：AC⊥CD，DE=CF=1米，EF=CD，BD=24米，
设BC=x米，
∴EF=CD=BC+BD=(x+24)米，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴AC=BC⋅tan60°= 3x(米)，
在Rt△AEF中，∠AEF=45°，
∴AF=EF⋅tan45°=(x+24)米，
∴AC=AF+CF=(x+25)米，
∴ 3x=x+25，
解得：x=25 3+252，
∴AC= 3x≈59.1(米)，
∴主塔AB的垂直高度AC约为59.1米．
【解析】过点E作EF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：AC⊥CD，DE=CF=1米，EF=CD，BD=24米，然后设BC=x米，则EF=CD=(x+24)米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据图象可知，y1=k1x+b过点(0,400)，(120,1000)，
∴b=400120k1+b=1600，
解得：k1=10b=400，
∴y1=10x+400，
∴b=400的实际意义：购买一张羽毛球健身年卡的费用为400元，
根据“方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元”可得：y2=15x；
(2)由(1)可知，y1=10x+400，y2=15x，
联立得：y=10x+400y=15x，
解得：x=80y=1200，
∴两函数图象的交点坐标为(80,1200)，
根据图象可知，当x<80时，y1>y2，当x>80时，y2>y1，
∵王斌每周去俱乐部打球2次，
∴王斌2023年去俱乐部打球的次数为3657×2≈104(次)，
∵104>80，
∴y2>y1，
∴他选择方案一所需费用更少．
【解析】(1)利用待定系数即可求出y1关于x的函数解析式，再根据“方案二的描述”即可得出y2关于x的函数解析式；
(2)联立两函数解析式求出交点坐标为(80,1200)，由图象可知，当x<80时，y1>y2，当x≥80时，y2>y1，再求出他一年去去俱乐部打球的次数，和80进行比较即可求解．
本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，理解题意，根据题意和图象正确求出一次函数解析式是解题关键．
20.【答案】解：(1)把x=2代入一次函数y=x+2，
∴y=4．
把x=2，y=4代入反比例函数y=kx，
∴k=8．
∴反比例函数的表达式为y=8x．
(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度得到y=x−2．
又由题意可得，y=x−2y=8x．
∴x=4y=2或x=−2y=−4．
∴交点坐标为(4,2)，(−2,−4)．
【解析】(1)将x=2代入y=x+2=4，故其中交点A的坐标为(2,4)，将(2,4)代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位得到y=x−2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A、B的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握一次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】PE=PF
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)已知：PE，PF与⊙O相切于点E，F.求证：PE=PF．
证明：∵PE，PF是⊙O的切线，
∴PE⊥OE，PF⊥OF，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，
PO=POOE=OF，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，
∴PE=PF．
故答案为：PE=PF．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)，可得结论．
本题考查作图−应用与设计作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题−
22.【答案】解：(1)根据题意得，二次函数表达式表达式为y=−(x−14)2+916=−x2+12x+12，
∴二次函数表达式为y=−x2+12x+12；
(2)令y=0，则−x2+12x+12=0，
解得x1=−12(舍去)，x2=1，
∴水池的半径至少要1米才能使喷出的水流不至于落在池外．
【解析】(1)根据题意直接得出二次函数表达式；
(2)令y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可．
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
23.【答案】BP=CF
【解析】(1)解：如图①，设BP交CF于点L，
∵将△BPC沿BP折叠，得到△BPE，
∴点E与点C关于直线BP对称，
∴BP垂直平分CE，
∴∠BLC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCP=∠D=90°，
∴∠PBC=∠FCD=90°−∠BCF，
∴△PBC≌△FCD(ASA)，
∴BP=CF，
故答案为：BP=CF．
(2)解：BP=MN，理由如下：
如图②，设BP交MN于点L，作CJ//MN交AD于点J，交BP于点K，
∵CM//JN，
∴四边形MCJN是平行四边形，
∴CJ=MN，
由折叠得点P与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分BP，
∴∠PKC=∠PLM=90°，
∵∠BCP=∠D=90°，
∴∠BPC=∠CJD=90°−∠DCJ，
∵BC=CD，
∴△PBC≌△JCD(AAS)，
∴BP=CJ，
∴BP=MN．
(3)证明：如图③，连接BD、GD、GP，
∵AC垂直平分BD，
∴DG=BG，
∵DC=BC，CG=CG，
∴△DCG≌△BCG(SSS)，
∴∠GDC=∠GBC，
∵MN垂直平分BP，
∴PG=BG，
∴PG=DG，
∴∠GDC=∠GPD，
∴∠GBC=∠GPD，
∴∠GBC+∠GPC=∠GPD+∠GPC=180°，
∴∠BGP+∠BCP=360°−(∠GBC+∠GPC)=180°，
∴∠BGP=180°−∠BCP=90°，
∴GH=12BP=12MN，
∴MN=2GH．
(4)解：NG的长为=3 54，
理由：∵BC=DC=AB=6，点P是DC的中点，
∴PC=PD=12CD=12×6=3，
∴BP= BC2+PC2= 62+32=3 5，
∴BH=12BP=12×3 5=3 52，
∵∠BLM=∠BCP=90°，
∴MHBH=PCBC=tan∠PBC=36=12，
∴MH=12BH=12×3 52=3 54，
∵MN=BP=3 5，GH=12BP=3 52，
∴NG=MN−MH−GH=3 5−3 54−3 52=3 54．
(1)设BP交CF于点L，由折叠得BP垂直平分CE，则∠BLC=90°，由正方形的性质得BC=CD，∠BCP=∠D=90°，则∠PBC=∠FCD=90°−∠BCF，即可证明△PBC≌△FCD，得BP=CF，于是得到问题的答案；
(2)设BP交MN于点L，作CJ//MN交AD于点J，交BP于点K，则四边形MCJN是平行四边形，所以CJ=MN，再证明△PBC≌△JCD，则BP=CJ=MN；
(3)连接BD、GD、GP，由AC垂直平分BD，得DG=BG，而DC=BC，CG=CG，可证明△DCG≌△BCG，得∠GDC=∠GBC，再证明PG=DG，得∠GDC=∠GPD，则∠GBC=∠GPD，则∠GBC+∠GPC=∠GPD+∠GPC=180°，可推导出∠BGP=90°，则GH=12BP=12MN，所以MN=2GH；
(4)由BC=DC=AB=6，点P是DC的中点，得PC=12CD=3，由勾股定理得BP= BC2+PC2=3 5，则BH=12BP=3 52，由MHBH=PCBC=tan∠PBC=12，得MH=12BH=3 54，而MN=BP=3 5，GH=12BP=3 52，即可求得NG=MN−MH−GH=3 54．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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