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2023年广东省广州市从化区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省广州市从化区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市从化区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 圆台
D. 四棱柱
3. 某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均数(单位：分)及方差如下：x−甲=93，S甲2=0.7，x−乙=96，S乙2=1.1，x−丙=93，S丙2=1.1，x−丁=96，S丁2=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5ab B. 2 3− 3=1
C. (−11)2=11 D. (a−b)2=a2−b2
5. “五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为( )
A. 180x−180x+2=3 B. 180x+2−180x=3 C. 180x−180x−2=3 D. 180x−2−180x=3
6. 下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两直线平行，同位角相等
C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD.若AD=BD，⊙O的半径为 3，则CD的长度为( )
A. 94
B. 32
C. 3
D. 2 3
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=70°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C，使得A1、B1、A三点共线，则α的度数为( )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
9. 已知反比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小，且k=|b|，则一次函数y=kx+b的图象所经过的象限是( )
A. 一、二、四 B. 一、二、三 C. 一、三、四 D. 二、三、四
10. 定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a8，则m的取值范围为( )
A. m>2 B. m>5 C. 25
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 2023的相反数是______ ．
12. 圆锥的侧面积为20π，母线长为5.则这个圆锥的底面半径为______ ．
13. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.
14. 古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”.后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.5m.则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为______ ．
15. 若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+(a−4)x−5的顶点在第______ 象限．
16. 如图，在边长为2的菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′，已知∠C=130°，∠BAE=50°则B′D的长为______ .(精确到0.01，其中cos75°≈0.259)
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解方程组x+y=3x+2y=5．
18. (本小题4.0分)
为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，证明：△ABC≌△AED．
19. (本小题6.0分)
4月23日是世界读书日.首届全民阅读大会倡议：“阅读建设书香中国”.某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了50名学生，根据平均，每天课外阅读时间的长短，将他们分为A、B、C、D四个小组，并制作了不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表：
小组
时间(小时)
频数
A
0≤t<0.5
10
B
0.5≤t<1
20
C
1≤t<1.5
a
D
t≥1.5
b
请根据图表中的信息解答下列问题．
(1)则b= ______ ；
(2)在t≥1.5的b名同学中有男生2名，学校准备从中任意抽取2名同学交流感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
20. (本小题6.0分)
已知：T=(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9．
(1)化简T；
(2)若x是不等式2
为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛.一共有25道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为81分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．
(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，证明：BE⊥CE；
(3)在(2)的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求cos∠EBC的值．
条件①：AF：DF=1：3；
条件②：S△CDF=3S△ABF．
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+6(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)交于点B(b,9)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，连接PB，若∠PBA=∠BAO，求点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，且EA=EC=ED．
(1)如图1，当∠BAC=35°时，则∠AED= ______ °；
(2)如图2，当∠BAC=60°时，
①连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②直线CF与边ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，P为直线CF上一动点.当PE−PD的值最大时，判断PE、PD与AB之间的数量关系，并证明．
25. (本小题12.0分)
已知抛物线G：y=ax2−2ax+a+1(a≠0)，且过点(4,−72).
(1)求抛物线G的函数表达式及其顶点坐标A；
(2)若抛物线G上两点M(x1,y1)，N(x2,y2)满足：对于t≤x1≤t+1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，求出t的取值范围；
(3)直线l：y= 3x+1，经过B(m,4)，点H在直线l上运动，求AH+ 32BH最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，该几何体是圆柱．
故选：B．
侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱．
本题考查的是圆柱的展开图，考法较新颖，需要对圆柱有充分的理解．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
又因为丁的方差小于乙的方差，
所以丁的状态更稳定，
则选一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，应选丁．
故选：D．
先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案．
本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式= 3，不符合题意；
C、原式=|−11|=11，符合题意；
D、原式=a2−2ab+b2，不符合题意．
故选：C．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，完全平方公式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：180x−180x+2=3．
故选：A．
设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x+2元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来多摊了3元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
6.【答案】D
【解析】解：A、在同一个三角形中，等边对等角的逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是三个角对应相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
故选：D．
分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的判定和性质、全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OD，则OD=OA，
∴∠BAD=∠ODA，
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠BAD=∠CAD=∠B，
∵∠BAD+∠CAD+∠B=3∠B=∠CAB+∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，
∴∠BOD=90°−∠B=60°，
∵OD= 3，
∴AD=BD=OD⋅tan60°= 3× 3=3，
∴CD=12AD=12×3=32，
故选：B．
连接OD，可证明OD//AC，进而证明∠BAD=∠CAD=∠B=30°，则∠BOD=60°，所以AD=BD=OD⋅tan60°=3，CD=12AD=32，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=70°，
∴∠BAC=90°−∠B=20°，
由旋转得：∠BAC=∠B1A1C=20°，AC=A1C，
∴∠CAA1=∠B1A1C=20°，
∴∠ACA1=180°−∠CAA1−∠B1A1C=140°，
∴则α的度数为140°，
故选：D．
先利用直角三角形的两个锐角互余求出∠BAC=20°，再根据旋转的性质可得：∠BAC=∠B1A1C=20°，AC=A1C，然后根据等角对等边可得∠CAA1=∠B1A1C=20°，从而利用三角形内角和定理可求出∠ACA1=140°，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k−b>0，
∴k>b，
∵k=|b|>0，
∴b<0，
∴一次函数y=kx+ky=kx+b的图象经过一、三、四象限，
故选：C．
先根据正比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的性质是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：当3m−1≥m+1，即m≥1时，3m−1+m+1>8，
解得m>2，符合要求；
当3m−18，
解得m>5，不符合要求，舍去；
故选：A．
分3m−1≥m+1和3m−1
11.【答案】−2023
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故答案为：−2023．
由相反数的概念即可解答．
本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．
12.【答案】4
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得12×2πr×5=20π，
解得r=4，
即这个圆锥的底面半径为4．
故答案为：4．
设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到12×2πr×5=20π，然后解方程即可．
本题考查了圆的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13.【答案】72
【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
14.【答案】F=500L
【解析】解：依题意得：1200×0.5=FL，
∴F=500L．
故答案为：F=500L．
根据阻力×阻力臂=动力×动力臂，即可得出F与L之间的函数关系．
此题主要考查了反比例函数的应用，解答此题的关键是读懂题目，理解杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
15.【答案】四
【解析】解：∵方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4a>0，
解得a<1，
∴a−4<−3，
∵y=x2+(a−4)x−5，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴交点为(0,−5)，
∵−a−42>0，
∴抛物线顶点在第四象限．
故答案为：四．
由方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根可得a的取值范围，从而可得抛物线的顶点位置．
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】1.04
【解析】解：如图，过点A作AF⊥DB′于点F，
∵四边形ABCD是长为2的菱形纸片，∠C=130°，∠BAE=50°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=∠C=130°，∠B=∠ADC，AB//CD，AD//BC，
∴∠B=∠ADC=180°−130°=50°，即△ABE是等腰三角形，
∴∠AEB=180°−50°−50°=80°，
∵△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，
∴∠B′AE=∠BAE=50°，∠DAB′=130°−∠BAE−∠EAB′=30°，
∵AB′=AD=2，
∴△AB′D是等腰三角形，∠AB′D=∠ADB′=12×(80°−30°)=75°，
∴DF=B′F，
在Rt△AFD中，cos∠ADF=DFAD，
∴DF=AD⋅cos∠ADF=2×cos75°=2×0.259≈0.52，
∴B′D=2DF=2×0.52=1.04，
故答案为：1.04．
根据菱形的性质，可得△ABE，△AB′D是等腰三角形，可求出∠ADB′=75°，作辅助线，构造直角三角形，根据三角函数的计算方法即可求解．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质及解直角三角形，掌握相关的性质和计算方法是解题的关键．
17.【答案】解：x+y=3①x+2y=5②，
②−①得：y=2，
把y=2代入①得：x+2=3，
解得：x=1，
故原方程组的解是：x=1y=2．
【解析】利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
18.【答案】证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠EAD，
在△ABC与△AED中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
【解析】由题意可求得∠BAC=∠EAD，利用SAS即可判定△ABC≌△AED．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．
19.【答案】5
【解析】解：(1)b=50×10%=5；
故答案为：5；
(2)画树状图为：
共有20种等可能的结果，一名男生和一名女生的结果数为12，
所以抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率=1220=35．
(1)用调查的总人数乘以D组人数所占的百分比得到b的值；
(2)画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】解：(1)T=(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9
=x−3+2x−3⋅(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−1x−3⋅(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x+1；
(2)∵x是不等式2
当x=4时，原式=4−34+1=15．
【解析】(1)先算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可；
(2)在2
21.【答案】解：(1)设该参赛市民一共答对了x道题，则答错(25−x−1)道题，
根据题意得：4x−(25−x−1)=81，
解得：x=21．
答：该参赛市民一共答对了21道题；
(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“垃圾分类小达人”，
根据题意得：4y−(25−y)≥90，
解得：y≥23，
∴y的最小值为23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”．
【解析】(1)设该参赛市民一共答对了x道题，则答错(25−x−1)道题，利用总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“垃圾分类小达人”，利用总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分不少于90分，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】(1)解：如图1，PQ就是所求的线段BC的垂直平分线；
(2)证明：如图2，
∵点O是BC的中点，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE；
(3)解：如图3，
选择条件①：AF：DF=1：3，
设AB=r，BC=a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠D=90°，AD=BC=a，AB=CD=BE=r，
∴∠BCE=∠CFD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠D=90°，
在△FDC和△CEB中，
∠CFD=∠BCE∠D=∠BECCD=BE，
∴△FDC≌△CEB(AAS)，
∴DF=EC，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2=BC2−BE2=a2−r2，
∴DF2=a2−r2，
∵AF：DF=1：3，
∴DF=34AD=34a，
∴(34a)2=a2−r2，
∴7a2=16r2，
∴ra= 74(负值已舍去)，
∴cos∠EBC=BEBC=ra= 74；
选择条件②：S△CDF=3S△ABF，
则S△CDFS△ABF=12DF⋅CD12AF⋅AB=DFAF=3，
∴AF：DF=1：3，
同理得：cos∠EBC=BEBC=ra= 74；
综上所述，cos∠EBC的值为 74．
【解析】(1)由题意作出线段BC的垂直平分线交BC于点O即可；
(2)由圆周角定理得∠BEC=90°，即可得出结论；
(3)选择条件①，设AB=r，BC=a，证△FDC≌△CEB(AAS)，得DF=EC，再由勾股定理得CE2=BC2−BE2=a2−r2，则DF2=a2−r2，进而求出ra= 74，然后由锐角三角函数定义即可得出结论；
选择条件②，则S△CDFS△ABF=DFAF=3，得AF：DF=1：3，同理得cos∠EBC=BEBC=ra= 74．
本题是圆的综合题目，考查了尺规作图、圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y=ax+6(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)，
∴0=−2a+6，
解得：a=3，
∴直线AB的函数表达式为y=3x+6．
当y=9时，3x+6=9，
解得：x=1，
∴点B的坐标为(1,9)．
又∵反比例函数y=kx(x>0)过点B(1,9)，
∴9=k1，
∴k=9，
∴反比例函数的表达式为y=9x(x>0)；
(2)设直线AB与y轴交于点D，延长BP交x轴于点C，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
当x=0时，y=3×0+6=6，
∴点D的坐标为(0,6)．
∵∠PBA=∠BAO，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AE=12AB．
∵点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,9)，点D的坐标为(0,6)，
∴OA=2，OD=6，AB= (−2−1)2+(0−9)2=3 10，AD= (−2−0)2+(0−6)2=2 10，
∴AE=3 102．
∵∠DAO=∠CAE，∠DOA=90°=∠CEA，
∴△DAO∽△CAE，
∴ACAD=AEAO，即AC2 10=3 1022，
∴AC=15，
∴点C的坐标为(15−2,0)，即(13,0)．
设直线BC的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
将B(1,9)，C(13,0)代入y=mx+n得：m+n=913m+n=0，
解得：m=−34n=394，
∴直线BC的函数表达式为y=−34x+394．
将y=−34x+394代入y=9x得：−34x+394=9x，
整理得：x2−13x+12=0，
解得：x1=1，x2=12，
经检验，x1=1，x2=12均为所列方程的解，x1=1不符合题意，舍去，x2=12符合题意，
∴x=12．
当x=12时，y=912=34，
∴点P的坐标为(12,34).
【解析】(1)由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，进而可得出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的表达式；
(2)设直线AB与y轴交于点D，延长BP交x轴于点C，过点C作CE⊥AB于点E，易证△DAO∽△CAE，利用相似三角形的性质，可求出AC的长，结合点A的坐标，可求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的表达式，将其代入反比例函数表达式中，解之经检验后，可得出点P的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标；(2)利用相似三角形的性质及待定系数法，求出直线BP的函数表达式．
24.【答案】110
【解析】解：(1)如图1中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°−35°=55°，
∴∠ACD=180°−55°=125°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=250°，
∴∠AED=360°−250°=110°，
故答案为：110．
(2)①结论：△ADE时等边三角形．
理由：如图2中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，
∴∠AED=360°−300°=60°，
∴△ADE是等边三角形；
②结论：PE−PD=2AB．
理由：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．
当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，
∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，
∴∠CAE+∠CFE=180°，
∴∠ACF+∠AEF=180°，
∵∠AED=60°，
∴∠ACF=120°，
∴∠ACB=∠FCD=30°，
∴∠DCF=∠FCD′=30°，
∴∠DCD′=60°，
∵CD=CD′，
∴△CDD′时等边三角形，
∴DC=DD′，∠CDD′=∠ADE=60°，
∴∠ADC=∠EDD′，
∵DA=DE，
∴△ADC≌△EDD′(SAS)，
∴AC=ED′，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴PE−PD=2AB．
(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
(2)①△ADE时等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；
②结论：PE−PD=2AB.如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′.当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)∵抛物线G：y=ax2−2ax+a+1(a≠0)过点(4,−72)，
∴16a−8a+a+1=−72，
解得：a=−12，
∴y=−12x2+x+12=−12(x−1)2+1，
∴顶点坐标A(1,1)，
∴抛物线G的函数表达式为y=−12x2+x+12，顶点坐标A(1,1)；
(2)∵a=−12<0时，
∴当x>3时，y随x值的增大而减小，
∵对于t≤x1≤t+1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，
∴−1≤x1≤3，
∴t≥−1t+1≤3，
∴−1≤t≤2；
(3)∵直线l：y= 3x+1，经过B(m,4)，
∴ 3m+1=4，
解得：m= 3，
∴B( 3,4)，
如图，过点B作x轴的平行线BK交y轴于点K，过点H作y轴的平行线交BK于点E，
连接AE，过点A作AF⊥BE于点F，交直线l于点H′，设直线l交y轴于点L，
则∠BEH=∠BKL=90°，BK= 3，K(0,4)，L(0,1)，
∴BK= 3，KL=4−1=3，
∴tan∠BLK=BKKL= 33，
∴∠BLK=30°，
∵EH//KL，
∴∠BHE=∠BLK=30°，
∴EH=BH⋅cosBHE=BH⋅cos30°= 32BH，
∴AH+ 32BH=AH+EH≥AE≥AF，
∴当E、H、A三点在同一条直线上，且AE⊥BK时，AH+ 32BH的值最小，
∵AF=4−1=3，
∴AH+ 32BH的最小值为3．
【解析】(1)运用待定系数法可得抛物线解析式，再利用配方法化为顶点式即可得出顶点坐标；
(2)根据二次函数的性质，由x2≥3，y1≥y2，可得−1≤x1≤3，由题意可得t≥−1t+1≤3，求解即可；
(3)先求得B( 3,4)，如图，过点B作x轴的平行线BK交y轴于点K，过点H作y轴的平行线交BK于点E，连接AE，过点A作AF⊥BE于点F，交直线l于点H′，设直线l交y轴于点L，由tan∠BLK=BKKL= 33，可得∠BLK=30°，再根据平行线性质可得∠BHE=∠BLK=30°，故EH=BH⋅cosBHE=BH⋅cos30°= 32BH，再由两点之间线段最短及垂线段最短可得：当E、H、A三点在同一条直线上，且AE⊥BK时，AH+ 32BH的值最小，最小值为3．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，解直角三角形，两点之间线段最短，垂线段最短等，第(2)小题分类讨论是解题关键，第(3)熟练掌握两点之间线段最短和垂线段最短是解题关键．
2023年广东省广州市从化区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 圆台
D. 四棱柱
3. 某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均数(单位：分)及方差如下：x−甲=93，S甲2=0.7，x−乙=96，S乙2=1.1，x−丙=93，S丙2=1.1，x−丁=96，S丁2=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5ab B. 2 3− 3=1
C. (−11)2=11 D. (a−b)2=a2−b2
5. “五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为( )
A. 180x−180x+2=3 B. 180x+2−180x=3 C. 180x−180x−2=3 D. 180x−2−180x=3
6. 下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两直线平行，同位角相等
C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD.若AD=BD，⊙O的半径为 3，则CD的长度为( )
A. 94
B. 32
C. 3
D. 2 3
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=70°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C，使得A1、B1、A三点共线，则α的度数为( )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
9. 已知反比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小，且k=|b|，则一次函数y=kx+b的图象所经过的象限是( )
A. 一、二、四 B. 一、二、三 C. 一、三、四 D. 二、三、四
10. 定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a
A. m>2 B. m>5 C. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 2023的相反数是______ ．
12. 圆锥的侧面积为20π，母线长为5.则这个圆锥的底面半径为______ ．
13. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.
14. 古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”.后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.5m.则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为______ ．
15. 若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+(a−4)x−5的顶点在第______ 象限．
16. 如图，在边长为2的菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′，已知∠C=130°，∠BAE=50°则B′D的长为______ .(精确到0.01，其中cos75°≈0.259)
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解方程组x+y=3x+2y=5．
18. (本小题4.0分)
为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，证明：△ABC≌△AED．
19. (本小题6.0分)
4月23日是世界读书日.首届全民阅读大会倡议：“阅读建设书香中国”.某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了50名学生，根据平均，每天课外阅读时间的长短，将他们分为A、B、C、D四个小组，并制作了不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表：
小组
时间(小时)
频数
A
0≤t<0.5
10
B
0.5≤t<1
20
C
1≤t<1.5
a
D
t≥1.5
b
请根据图表中的信息解答下列问题．
(1)则b= ______ ；
(2)在t≥1.5的b名同学中有男生2名，学校准备从中任意抽取2名同学交流感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
20. (本小题6.0分)
已知：T=(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9．
(1)化简T；
(2)若x是不等式2
为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛.一共有25道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为81分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．
(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，证明：BE⊥CE；
(3)在(2)的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求cos∠EBC的值．
条件①：AF：DF=1：3；
条件②：S△CDF=3S△ABF．
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+6(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)交于点B(b,9)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，连接PB，若∠PBA=∠BAO，求点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，且EA=EC=ED．
(1)如图1，当∠BAC=35°时，则∠AED= ______ °；
(2)如图2，当∠BAC=60°时，
①连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②直线CF与边ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，P为直线CF上一动点.当PE−PD的值最大时，判断PE、PD与AB之间的数量关系，并证明．
25. (本小题12.0分)
已知抛物线G：y=ax2−2ax+a+1(a≠0)，且过点(4,−72).
(1)求抛物线G的函数表达式及其顶点坐标A；
(2)若抛物线G上两点M(x1,y1)，N(x2,y2)满足：对于t≤x1≤t+1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，求出t的取值范围；
(3)直线l：y= 3x+1，经过B(m,4)，点H在直线l上运动，求AH+ 32BH最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，该几何体是圆柱．
故选：B．
侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱．
本题考查的是圆柱的展开图，考法较新颖，需要对圆柱有充分的理解．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
又因为丁的方差小于乙的方差，
所以丁的状态更稳定，
则选一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，应选丁．
故选：D．
先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案．
本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式= 3，不符合题意；
C、原式=|−11|=11，符合题意；
D、原式=a2−2ab+b2，不符合题意．
故选：C．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，完全平方公式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：180x−180x+2=3．
故选：A．
设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x+2元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来多摊了3元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
6.【答案】D
【解析】解：A、在同一个三角形中，等边对等角的逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是三个角对应相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
故选：D．
分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的判定和性质、全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OD，则OD=OA，
∴∠BAD=∠ODA，
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∴∠BAD=∠CAD=∠B，
∵∠BAD+∠CAD+∠B=3∠B=∠CAB+∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，
∴∠BOD=90°−∠B=60°，
∵OD= 3，
∴AD=BD=OD⋅tan60°= 3× 3=3，
∴CD=12AD=12×3=32，
故选：B．
连接OD，可证明OD//AC，进而证明∠BAD=∠CAD=∠B=30°，则∠BOD=60°，所以AD=BD=OD⋅tan60°=3，CD=12AD=32，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=70°，
∴∠BAC=90°−∠B=20°，
由旋转得：∠BAC=∠B1A1C=20°，AC=A1C，
∴∠CAA1=∠B1A1C=20°，
∴∠ACA1=180°−∠CAA1−∠B1A1C=140°，
∴则α的度数为140°，
故选：D．
先利用直角三角形的两个锐角互余求出∠BAC=20°，再根据旋转的性质可得：∠BAC=∠B1A1C=20°，AC=A1C，然后根据等角对等边可得∠CAA1=∠B1A1C=20°，从而利用三角形内角和定理可求出∠ACA1=140°，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k−b>0，
∴k>b，
∵k=|b|>0，
∴b<0，
∴一次函数y=kx+ky=kx+b的图象经过一、三、四象限，
故选：C．
先根据正比例函数y=k−bx(k−b≠0)的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的性质是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：当3m−1≥m+1，即m≥1时，3m−1+m+1>8，
解得m>2，符合要求；
当3m−1
解得m>5，不符合要求，舍去；
故选：A．
分3m−1≥m+1和3m−1
11.【答案】−2023
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故答案为：−2023．
由相反数的概念即可解答．
本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．
12.【答案】4
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得12×2πr×5=20π，
解得r=4，
即这个圆锥的底面半径为4．
故答案为：4．
设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到12×2πr×5=20π，然后解方程即可．
本题考查了圆的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13.【答案】72
【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
14.【答案】F=500L
【解析】解：依题意得：1200×0.5=FL，
∴F=500L．
故答案为：F=500L．
根据阻力×阻力臂=动力×动力臂，即可得出F与L之间的函数关系．
此题主要考查了反比例函数的应用，解答此题的关键是读懂题目，理解杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
15.【答案】四
【解析】解：∵方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4a>0，
解得a<1，
∴a−4<−3，
∵y=x2+(a−4)x−5，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴交点为(0,−5)，
∵−a−42>0，
∴抛物线顶点在第四象限．
故答案为：四．
由方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根可得a的取值范围，从而可得抛物线的顶点位置．
本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】1.04
【解析】解：如图，过点A作AF⊥DB′于点F，
∵四边形ABCD是长为2的菱形纸片，∠C=130°，∠BAE=50°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=∠C=130°，∠B=∠ADC，AB//CD，AD//BC，
∴∠B=∠ADC=180°−130°=50°，即△ABE是等腰三角形，
∴∠AEB=180°−50°−50°=80°，
∵△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，
∴∠B′AE=∠BAE=50°，∠DAB′=130°−∠BAE−∠EAB′=30°，
∵AB′=AD=2，
∴△AB′D是等腰三角形，∠AB′D=∠ADB′=12×(80°−30°)=75°，
∴DF=B′F，
在Rt△AFD中，cos∠ADF=DFAD，
∴DF=AD⋅cos∠ADF=2×cos75°=2×0.259≈0.52，
∴B′D=2DF=2×0.52=1.04，
故答案为：1.04．
根据菱形的性质，可得△ABE，△AB′D是等腰三角形，可求出∠ADB′=75°，作辅助线，构造直角三角形，根据三角函数的计算方法即可求解．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质及解直角三角形，掌握相关的性质和计算方法是解题的关键．
17.【答案】解：x+y=3①x+2y=5②，
②−①得：y=2，
把y=2代入①得：x+2=3，
解得：x=1，
故原方程组的解是：x=1y=2．
【解析】利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
18.【答案】证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠EAD，
在△ABC与△AED中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
【解析】由题意可求得∠BAC=∠EAD，利用SAS即可判定△ABC≌△AED．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．
19.【答案】5
【解析】解：(1)b=50×10%=5；
故答案为：5；
(2)画树状图为：
共有20种等可能的结果，一名男生和一名女生的结果数为12，
所以抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率=1220=35．
(1)用调查的总人数乘以D组人数所占的百分比得到b的值；
(2)画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】解：(1)T=(1+2x−3)÷x2−1x2−6x+9
=x−3+2x−3⋅(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−1x−3⋅(x−3)2(x+1)(x−1)
=x−3x+1；
(2)∵x是不等式2
当x=4时，原式=4−34+1=15．
【解析】(1)先算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可；
(2)在2
21.【答案】解：(1)设该参赛市民一共答对了x道题，则答错(25−x−1)道题，
根据题意得：4x−(25−x−1)=81，
解得：x=21．
答：该参赛市民一共答对了21道题；
(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“垃圾分类小达人”，
根据题意得：4y−(25−y)≥90，
解得：y≥23，
∴y的最小值为23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人”．
【解析】(1)设该参赛市民一共答对了x道题，则答错(25−x−1)道题，利用总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“垃圾分类小达人”，利用总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分不少于90分，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】(1)解：如图1，PQ就是所求的线段BC的垂直平分线；
(2)证明：如图2，
∵点O是BC的中点，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE；
(3)解：如图3，
选择条件①：AF：DF=1：3，
设AB=r，BC=a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠D=90°，AD=BC=a，AB=CD=BE=r，
∴∠BCE=∠CFD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠D=90°，
在△FDC和△CEB中，
∠CFD=∠BCE∠D=∠BECCD=BE，
∴△FDC≌△CEB(AAS)，
∴DF=EC，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2=BC2−BE2=a2−r2，
∴DF2=a2−r2，
∵AF：DF=1：3，
∴DF=34AD=34a，
∴(34a)2=a2−r2，
∴7a2=16r2，
∴ra= 74(负值已舍去)，
∴cos∠EBC=BEBC=ra= 74；
选择条件②：S△CDF=3S△ABF，
则S△CDFS△ABF=12DF⋅CD12AF⋅AB=DFAF=3，
∴AF：DF=1：3，
同理得：cos∠EBC=BEBC=ra= 74；
综上所述，cos∠EBC的值为 74．
【解析】(1)由题意作出线段BC的垂直平分线交BC于点O即可；
(2)由圆周角定理得∠BEC=90°，即可得出结论；
(3)选择条件①，设AB=r，BC=a，证△FDC≌△CEB(AAS)，得DF=EC，再由勾股定理得CE2=BC2−BE2=a2−r2，则DF2=a2−r2，进而求出ra= 74，然后由锐角三角函数定义即可得出结论；
选择条件②，则S△CDFS△ABF=DFAF=3，得AF：DF=1：3，同理得cos∠EBC=BEBC=ra= 74．
本题是圆的综合题目，考查了尺规作图、圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y=ax+6(a≠0)的图象与x轴交于点A(−2,0)，
∴0=−2a+6，
解得：a=3，
∴直线AB的函数表达式为y=3x+6．
当y=9时，3x+6=9，
解得：x=1，
∴点B的坐标为(1,9)．
又∵反比例函数y=kx(x>0)过点B(1,9)，
∴9=k1，
∴k=9，
∴反比例函数的表达式为y=9x(x>0)；
(2)设直线AB与y轴交于点D，延长BP交x轴于点C，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
当x=0时，y=3×0+6=6，
∴点D的坐标为(0,6)．
∵∠PBA=∠BAO，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AE=12AB．
∵点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,9)，点D的坐标为(0,6)，
∴OA=2，OD=6，AB= (−2−1)2+(0−9)2=3 10，AD= (−2−0)2+(0−6)2=2 10，
∴AE=3 102．
∵∠DAO=∠CAE，∠DOA=90°=∠CEA，
∴△DAO∽△CAE，
∴ACAD=AEAO，即AC2 10=3 1022，
∴AC=15，
∴点C的坐标为(15−2,0)，即(13,0)．
设直线BC的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
将B(1,9)，C(13,0)代入y=mx+n得：m+n=913m+n=0，
解得：m=−34n=394，
∴直线BC的函数表达式为y=−34x+394．
将y=−34x+394代入y=9x得：−34x+394=9x，
整理得：x2−13x+12=0，
解得：x1=1，x2=12，
经检验，x1=1，x2=12均为所列方程的解，x1=1不符合题意，舍去，x2=12符合题意，
∴x=12．
当x=12时，y=912=34，
∴点P的坐标为(12,34).
【解析】(1)由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，进而可得出直线AB的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的表达式；
(2)设直线AB与y轴交于点D，延长BP交x轴于点C，过点C作CE⊥AB于点E，易证△DAO∽△CAE，利用相似三角形的性质，可求出AC的长，结合点A的坐标，可求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的表达式，将其代入反比例函数表达式中，解之经检验后，可得出点P的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标；(2)利用相似三角形的性质及待定系数法，求出直线BP的函数表达式．
24.【答案】110
【解析】解：(1)如图1中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°−35°=55°，
∴∠ACD=180°−55°=125°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=250°，
∴∠AED=360°−250°=110°，
故答案为：110．
(2)①结论：△ADE时等边三角形．
理由：如图2中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，
∴∠AED=360°−300°=60°，
∴△ADE是等边三角形；
②结论：PE−PD=2AB．
理由：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．
当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，
∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，
∴∠CAE+∠CFE=180°，
∴∠ACF+∠AEF=180°，
∵∠AED=60°，
∴∠ACF=120°，
∴∠ACB=∠FCD=30°，
∴∠DCF=∠FCD′=30°，
∴∠DCD′=60°，
∵CD=CD′，
∴△CDD′时等边三角形，
∴DC=DD′，∠CDD′=∠ADE=60°，
∴∠ADC=∠EDD′，
∵DA=DE，
∴△ADC≌△EDD′(SAS)，
∴AC=ED′，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴PE−PD=2AB．
(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
(2)①△ADE时等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；
②结论：PE−PD=2AB.如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′.当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)∵抛物线G：y=ax2−2ax+a+1(a≠0)过点(4,−72)，
∴16a−8a+a+1=−72，
解得：a=−12，
∴y=−12x2+x+12=−12(x−1)2+1，
∴顶点坐标A(1,1)，
∴抛物线G的函数表达式为y=−12x2+x+12，顶点坐标A(1,1)；
(2)∵a=−12<0时，
∴当x>3时，y随x值的增大而减小，
∵对于t≤x1≤t+1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，
∴−1≤x1≤3，
∴t≥−1t+1≤3，
∴−1≤t≤2；
(3)∵直线l：y= 3x+1，经过B(m,4)，
∴ 3m+1=4，
解得：m= 3，
∴B( 3,4)，
如图，过点B作x轴的平行线BK交y轴于点K，过点H作y轴的平行线交BK于点E，
连接AE，过点A作AF⊥BE于点F，交直线l于点H′，设直线l交y轴于点L，
则∠BEH=∠BKL=90°，BK= 3，K(0,4)，L(0,1)，
∴BK= 3，KL=4−1=3，
∴tan∠BLK=BKKL= 33，
∴∠BLK=30°，
∵EH//KL，
∴∠BHE=∠BLK=30°，
∴EH=BH⋅cosBHE=BH⋅cos30°= 32BH，
∴AH+ 32BH=AH+EH≥AE≥AF，
∴当E、H、A三点在同一条直线上，且AE⊥BK时，AH+ 32BH的值最小，
∵AF=4−1=3，
∴AH+ 32BH的最小值为3．
【解析】(1)运用待定系数法可得抛物线解析式，再利用配方法化为顶点式即可得出顶点坐标；
(2)根据二次函数的性质，由x2≥3，y1≥y2，可得−1≤x1≤3，由题意可得t≥−1t+1≤3，求解即可；
(3)先求得B( 3,4)，如图，过点B作x轴的平行线BK交y轴于点K，过点H作y轴的平行线交BK于点E，连接AE，过点A作AF⊥BE于点F，交直线l于点H′，设直线l交y轴于点L，由tan∠BLK=BKKL= 33，可得∠BLK=30°，再根据平行线性质可得∠BHE=∠BLK=30°，故EH=BH⋅cosBHE=BH⋅cos30°= 32BH，再由两点之间线段最短及垂线段最短可得：当E、H、A三点在同一条直线上，且AE⊥BK时，AH+ 32BH的值最小，最小值为3．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，解直角三角形，两点之间线段最短，垂线段最短等，第(2)小题分类讨论是解题关键，第(3)熟练掌握两点之间线段最短和垂线段最短是解题关键．
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