(新高考)高考物理一轮复习课时加练第11章　微专题76　带电粒子在交变电、磁场中的运动 (含解析)

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微专题76　带电粒子在交变电、磁场中的运动
1．先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响.2.画出粒子运动轨迹，分析运动空间上的周期性、时间上的周期性．
1．空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场．其方向随时间周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图线如图所示．规定B>0时，磁场的方向穿出纸面，一电荷量 q＝5π×10－7 C，质量 m＝5×10－10 kg 的带电粒子，位于某点O处，在t＝0时刻以初速度v0＝π m/s沿垂直磁场方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响．则在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度大小为(　　)

A．π m/s B. m/s
C．2 m/s D. m/s
答案　C
解析　带电粒子在磁场中的运动半径为r＝＝0.01 m，周期为T＝＝0.02 s＝5×10－3 s×4，作出粒子的轨迹示意图如图所示，磁场变化一个周期内，带电粒子的位移为2 cm，所以在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内，带电粒子的平均速度的大小等于2 m/s，故C选项正确．

2．(2023·江苏常州市模拟)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限中，有平行于y轴向下的匀强电场，在y轴的右侧区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度大小B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻有一比荷为1×104 C/kg的带正电粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向以初速度v0＝2×103 m/s进入磁场，开始时，磁场方向垂直纸面向里，粒子最后到达x轴上坐标为(－2 m,0)的P点，求：

(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)粒子到达y轴时与O点的距离s；
(3)匀强电场的电场强度大小E.
答案　(1)0.4 m　(2)1.6 m　(3)3.2×102 V/m
解析　(1)粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力有
qv0B＝m
解得R＝＝0.4 m
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则T＝＝4π×10－4 s
0～π×10－4 s时间内，粒子运动的周期数为N1＝＝
运动轨迹对应的圆心角为120°；
π×10－4～2π×10－4 s内，粒子运动的周期数为N2＝＝
运动轨迹对应的圆心角为60°；
2π×10－4～π×10－4 s内，粒子运动的周期数为N3＝＝
运动轨迹对应的圆心角为120°，故粒子运动轨迹如图所示

粒子恰好在t＝π×10－4 s时到达y轴，由图知粒子到达y轴时与O点的距离s＝4R＝1.6 m
(3)粒子进入电场后做类平抛运动，则竖直方向有s＝at2＝t2
水平方向有x＝v0t
解得E＝3.2×102 V/m.
3．(2023·湖南长郡中学高三月考)如图a所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷＝1×106C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过t1＝×10－5 s后，电荷以v0＝1.5×104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化(图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t＝0时刻)，计算结果可用π表示．


(1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期；
(2)如果在O点右方43.5 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间．
答案　(1)见解析　(2)π×10－5 s
解析　(1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r1，由B1qv0＝
可得r1＝＝5 cm
当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为r2，同理可得r2＝＝3 cm
由圆周运动规律得T＝
当磁场垂直纸面向外时，周期T1＝＝×10－5 s
磁场垂直纸面向里时，周期T2＝＝×10－5 s
(2)电荷从t＝0时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图所示

从电荷第一次通过MN开始，其运动的周期
T′＝4t1＋＋＝×10－5 s
每个周期电荷沿MN向挡板移动距离为Δd＝2(r1－r2)＝4 cm
根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9个，即s＝9Δd＝36 cm
则最后(43.5－36)cm＝7.5 cm的距离的轨迹如图所示

由几何关系可得r1＋r1cos α＝7.5 cm
解得cos α＝0.5，即α＝60°
故电荷运动的总时间t总＝t1＋9T′＋T1－T1＝π×10－5 s.
4．如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场．P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量．

(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离．
答案　(1)(n＝1,2,3，…)
(2)d
解析　(1)设经时间t粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度大小为a，则
a＝
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝a()2
又d＝2ny(n＝1,2,3…)
联立得T＝(n＝1,2,3，…)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有
qv0B0＝m
解得r＝d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示，由几何关系得
r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝0.5
则粒子打到Q板的位置距出发点的水平距离为x＝2rcos θ－r＝d.

5．如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正). 在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带负电粒子．已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力．求：

(1)t＝t0时，粒子的位置坐标；
(2)若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；
(3)若粒子能够回到原点，满足条件的所有E0值．
答案　(1)(，0)　(2)(＋)v0t0
(3)(n＝1,2,3…)
解析　(1)粒子在0～t0时间内沿顺时针方向做匀速圆周运动，有qv0B0＝m，T＝，解得r1＝，T＝又粒子的比荷＝，解得r1＝，T＝2t0
故t＝t0时，粒子的位置坐标为(，0)．
(2)粒子在t＝5t0时回到原点，运动轨迹如图(a)所示．则有r2＝2r1，r1＝，r2＝，解得v2＝2v0

则在0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离hm＝t0＋r2＝(＋)v0t0.
(3)如图(b)所示，设带电粒子在x轴下方做圆周运动的轨迹半径为r2′，由几何关系可知，要使粒子能够回到原点，则必须满足n(2r2′－2r1)＝2r1(n＝1,2,3，…)

其中r2′＝
解得v＝v0(n＝1,2,3，…)
又v＝v0＋t0
解得E0＝(n＝1,2,3，…)．
6．(2023·黑龙江哈尔滨三中模拟)在挡板MN和边界PQ之间有竖直方向周期变化的电场，在PQ的右侧有足够大的垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝2 T，如图甲所示．MN和PQ之间的距离L＝20 cm，电场变化的规律如图乙所示，t＝0 时刻电场方向向下．在A点有一个比荷为＝1.25×102 C/kg带正电的粒子，t＝0时刻该粒子以初速度v0＝10 m/s从A点沿AC方向垂直进入电场．C点是PQ边界上的一个点，电场变化的半周期大于粒子每次穿过电场运动的时间，粒子重力不计，粒子与挡板碰撞能量、电荷量的损失不计，碰撞的时间忽略不计，取π＝3，求：


(1)粒子第一次通过PQ边界处与C点的距离；
(2)粒子第二次通过PQ边界处与C点的距离及总的运动时间；
(3)若粒子每次都能够垂直打到MN挡板上，且恰能打到距A点下方H远的板上D点，则电场变化的周期是多少？H应满足什么条件？
答案　(1)10 cm　(2)2 cm　3.8×10－2 s　(3)5.8×10－2 s　H＝12k(cm)，其中k＝1,2,3…
解析　(1)粒子在电场中的运动，
水平方向L＝v0t1得t1＝0.02 s
竖直方向h＝at12
qE＝ma
解得粒子第一次通过PQ边界处与C点的距离h＝10 cm
(2)粒子第一次穿出电场时的竖直速度v1＝at1＝10 m/s
粒子进入磁场时的速度大小v＝＝10 m/s
设粒子进入磁场时的速度方向与边界的夹角为θ，则tan θ＝＝1
则θ＝45°

进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动，则qvB＝
解得R＝＝4 cm
根据T1＝
解得T1＝＝2.4×10－2 s
由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的圆心角φ＝
在磁场中的运动时间为t2＝×＝1.8×10－2 s
所以从A点出发到第二次过PQ边界的总时间为t＝t1＋t2＝3.8×10－2 s
粒子穿过PQ边界的弦长为s，＝Rcos 45°
解得s＝8 cm
所以第二次通过PQ边界处与C点的距离为Δh＝h－s＝2 cm
(3)粒子若要能够垂直打到挡板MN上，其从PQ边界进入电场到运动到挡板MN的时间设为t3，这段时间内电场方向应该向上，在竖直方向vcos 45°－at3＝0
解得t3＝2×10－2 s，h′＝vcos 45°·t3－at32＝10 cm
水平方向位移L1＝vsin 45°·t3＝20 cm＝L
故恰好垂直打到挡板MN上；
因此电场变化的周期为T＝t1＋t2＋t3＝5.8×10－2 s
由几何关系可知，A与D间的距离H满足的条件为H＝k(h＋h′－s)＝12k(cm)
其中k＝1,2,3….