2022-2023学年陕西省西安市周至六中高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市周至六中高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省西安市周至六中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z满足z(2+i)=3−6i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(    )
A. 3 B. −3 C. 3i D. −3i
2. “大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3，x，8，13，21，…，则其中x的值是(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知函数y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y−3=0垂直，则f′(1)等于(    )
A. 2 B. 0 C. 1 D. −1
4. 用数学归纳法证明  1+12+13+…+12n−11)时，第一步应验证不等式(    )
A. 1+12<2 B. 1+12+13<2
C. 1+12+13<3 D. 1+12+13+14<3
5. 若函数y=ex+mx有极值，则实数m的取值范围是     (    )
A. m>0 B. m<0 C. m>1 D. m<1
6. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是(    )
A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
7. 关于x的二项式(2x−1x)4展开式中的常数项是(    )
A. 24 B. −24 C. 6 D. −6
8. 已知随机变量ξ的分布列如下，则p的值是(    )
ξ
−1
0
1
p
12
13
p

A. 0 B. 12 C. 13 D. 16
9. 函数f(x)=x3−3x2+3x的极值点的个数是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 直线x=−1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积表示为(    )
A. −11sinxdx B. 01sinxdx C. −102sinxdx D. 012sinxdx
11. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A:“取到的2个数之和为偶数”，事件B:“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(    )
A. 18 B. 14    C. 25    D. 12
12. 已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在(−∞,+∞)上是单调减函数，则实数a的取值范围是(    )
A. (−∞,− 3]∪[ 3,+∞) B. [− 3, 3]
C. (−∞,− 3)∪( 3,+∞) D. (− 3, 3)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=12x−sinx，则f(x)在[0,π]上的最大值为______ ．
14. 若21−i=a+bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a+b= ______ ．
15. 多项式(x2+x)5的展开式中含x7的项的系数为______.(用数字作答)
16. 现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望E(X)=          ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)(3−i1+i)2
(2)已知复数z=1+i，求2z−z．
18. (本小题12.0分)
四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．
(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？
19. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ax3−4x+4过点P(3,1)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)求函数f(x)在区间[−1,3]上的最大值和最小值．
20. (本小题12.0分)
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(2)全体站成一排，女生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生互不相邻．
21. (本小题12.0分)
已知(1+2x)n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大．
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
22. (本小题12.0分)
某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．
(Ⅰ)求获得复赛资格的人数；
(Ⅱ)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]各抽取多少人？
(Ⅲ)从(Ⅱ)抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E(X)．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：∵z(2+i)=3−6i，
∴z=3−6i2+i=(3−6i)(2−i)(2+i)(2−i)=−15i5=−3i，
∴复数z的虚部为−3．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．

2.【答案】B 
【解析】解：∵数列1，1，2，3，x，8，13，21，…
∴可以观察得出：an+2=an+1+an，n≥1，
即x=2+3=5；
故选：B．
根据数列的前几项观察得出：an+2=an+1+an，n≥1，即可求解．
本题考查了观察法求解数列的递推关系式，属于基础题目，注意观察相邻的项的关系式．

3.【答案】C 
【解析】解：由直线x+y−3=0的斜率为−1，
函数y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y−3=0垂直，
可得切线的斜率k=1，即则f′(1)=1．
故选：C．
求得已知直线的斜率，由导数的几何意义和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．
本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：用数学归纳法证明1+12+13+…+12n−11)时，第一步应验证不等式为：1+12+13<2；
故选：B．
直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．
在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．

5.【答案】B 
【解析】解：函数的导数为f′(x)=ex+m，
由f′(x)=ex+m=0，得m=−ex，
因为ex>0，所以m=−ex<0，
即实数m的取值范围是m<0．
故选B．
先求导数，函数有极值，则说明f′(x)=0有解，然后适当对参数进行检验．
本题考查函数的极值与导数之间的关系，若函数取得极值，则在极值点的导数f′(x)=0.注意进行转化．

6.【答案】B 
【解析】解：由题意，把4名大学生按人数分成3组，为1人，1人，2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有C42A33=36种．
故选：B．
把4名大学生按人数分成3组，为1人，1人，2人，再把这三组分配到3个乡镇，求解即可．
本题考查排列组合，属于基础题

7.【答案】A 
【解析】解：∵x⋅1x=1，
∴二项式(2x−1x)4展开式中的常数项是C42(2x)2(−1x)2=6×4=24．
故选：A．
根据x与1x相乘是常数，利用直接法进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用直接法进行求解是解决本题的关键，是基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：随机变量ξ的分布列可知：12+13+P=1，
解得p=16．
故选：D．
直接利用分布列的性质，求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，考查计算能力．

9.【答案】A 
【解析】解：由题知f(x)的导函数
f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2的值恒大于或等于零，
所以函数f(x)单调递增，
故选：A．
找出其导函数看其函数值与0的关系，即可得结论．
本题考查利用导熟研究函数的极值．可导函数的极值点一定是导数为0的根，但导数为0的点不一定是极值点．本题导数为0就有根，但在根的两边导函数值同号，故没有极值点．

10.【答案】D 
【解析】解：由于y=sinx是奇函数且在(−1,0)的函数图像在x轴下方，
所以所围成图形的左半部分面积为−−10sinxdx=01sinxdx，右半部分面积为01sinxdx，
所以所求面积为012sinxdx．
故选：D．
由于y=sinx是奇函数且在(−1,0)的函数图像在x轴下方，所以所围成图形的左半部分面积为−−10sinxdx=01sinxdx，右半部分面积为01sinxdx．
本题主要考查函数的定积分，属中档题．

11.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查条件概率的计算公式，属于基础题．
用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求P(A)，同理求出P(AB)，根据条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)即可求得结果．
【解答】
解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：
(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，
∴P(A)=4C52=25，
事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)，
∴P(AB)=1C52=110，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=14．
故选：B．  
12.【答案】B 
【解析】解：函数f(x)=−x3+ax2−x−1的导数为f′(x)=−3x2+2ax−1，
∵函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调减函数，
∴在(−∞,+∞)上f′(x)≤0恒成立，即−3x2+2ax−1≤0恒成立，
∴Δ=4a2−12≤0，解得− 3≤a≤ 3，
∴实数a的取值范围是[− 3, 3]，
故选：B．
求函数的导数，因为函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调减函数，所以在(−∞,+∞)上f′(x)≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．
本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，利用导数是解决本题的关键．

13.【答案】π2 
【解析】解：已知f(x)=12x−sinx，函数定义域为[0,π]，
可得f′(x)=12−cosx，
当0≤x<π3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当π30，f(x)单调递增，
又f(0)=0，f(π)=π2，
则f(x)在[0,π]上的最大值为π2．
故答案为：π2．
由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，结合端点值即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．

14.【答案】2 
【解析】解：∵21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，
∵21−i=a+bi
∴a+bi=1+i
∴a=b=1
∴a+b=2．
故答案为：2
把所给的等式左边的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，变形为复数的标准代数形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a和b的值，得到结果．
本题考查复数的乘除运算，考查复数相等的充要条件，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．

15.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是二项式定理，难度不大，属于基础题．
多项式(x2+x)5的展开式的通项为C5r(x2)5−rxr=C5r x10−r，令10−r=7求出r值，代入可得答案．
【解答】
解：多项式(x2+x)5的展开式的通项为C5r(x2)5−rxr=C5r x10−r，
令10−r=7，则r=3，
此时C53=10，
故答案为：10．  
16.【答案】95 
【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
利用超几何分布的概率公式得出分布列，从而得出数学期望E(X)．
【解答】
解：X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，
∴P(X=0)=C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，P(X=2)=C62C41C103=12，
P(X=3)=C63C103=16，
∴E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95．
故答案为95．

  
17.【答案】解：(1)由3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，
得(3−i1+i)2=(1−2i)2=−3−4i；
(2)由复数z=1+i，
得2z−z=21+i−(1+i)=2(1−i)(1+i)(1−i)−1−i=1−i−1−i=−2i． 
【解析】(1)直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；
(2)把复数z=1+i代入2z−z，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

18.【答案】解：(1)每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44=24种不同的放法；
(2)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有C42A43=144种不同的放法． 
【解析】本题考查排列与组合的综合应用、分步乘法计数原理、排列与排列数公式、组合与组合数公式，属于较易题．
(1)每个盒子均有一球，也就是4个元素的全排列，由此即可求得答案；
(2)由题意知需要分两步完成：①从四个不同的小球中选两个小球作为一个元素，
②从四个盒子中选三个，并将三个元素放入三个盒中．由此根据分步乘法计数原理即可求得答案．

19.【答案】解(1)∵点P(3,1)在函数f(x)的图象上，
∴f(3)=27a−12+4=27a−8=1，解得a=13，
∴f(x)=13x3−4x+4，∴f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
当x<−2或x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−2 ∴当x=−2时，f(x)有极大值，且极大值为f(−2)=13×(−8)+8+4=283，
当x=2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)=13×8−8+4=−43．
(2)由(1)可得：
函数f(x)在区间[−1,2)上单调递减，在区间[2,3]上单调递增．
∴f(x)min=f(2)=−43，又f(−1)=−13+4+4=233，f(3)=9−12+4=1，
∴f(x)max=f(−1)=233． 
【解析】(1)先求出a的值，再求导，根据导数和函数极值的关系即可求出，
(2)由(1)可得：函数f(x)在区间[−1,2)上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，再求出端点值，比较即可得到函数的最值．
本题考查导数的综合运用：求单调区间极值最值，考查运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66=3600种方法；
(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，有A44种方法，故共有A44×A44=576种方法；
(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44×A53=1440种方法． 
【解析】(1)利用特殊元素优先原则，结合分步乘法计数原理求解；
(2)利用“捆绑法”求解；
(3)利用“插空法”求解．
本题主要考查排列、组合的应用，涉及排列问题中的几种常用方法，特殊元素优先安排，相邻捆绑，不相邻插空，属于基础题．

21.【答案】解：(1)∵第六项、第七项二项式系数最大
∴cn5=Cn6且最大
∴n=11 (4分)
(2)设(1+2x)11展开式中系数最大的项第r+1项Tr+1=2r⋅C11r⋅xr，令tr+1=2r⋅C11r
则C11r2r≥ C11r−12r−1C11r2r≥C11r+12r+1，
则7≤r≤8
∵r∈N*∴r=7或r=8
r=7时，T8=C117⋅27⋅x7=42240x7
r=8时，T9=C118⋅28⋅x8=42240x8
即展开式中系数最大的项有两项，即第八项42240 x7与第九项42240 x8(8分) 
【解析】(1)由(1+2x)n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大即cn5=Cn6且最大，可求n
(2)由(1)可知n=11，设(1+2x)11展开式中系数最大的项第r+1项Tr+1=2r⋅C11r⋅xr，令tr+1=2r⋅C11r，则tr+1≥trtr+1≥tr+2，代入解不等式可求r
本题主要考查了二项展开式的二项式系数的性质的应用，二项展开式的系数的应用，及理由数列的单调性求解数列最大(小)项，属于知识的综合应用．

22.【答案】解：(1)由题意知(90,110)之间的频率为：1−20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3；
0.3+(0.0125+0.0050)×20=0.65．
∴获得参赛资格的人数为800×0.65=520.             …(5分)
(Ⅱ)在区间(110,130]与(130,150]，0.0125：0.0050=5：2；
在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间(110,130]与(130,150]各抽取5人，2人．
(Ⅲ)X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C53C20C73=27，
P(X=1)=C52C21C73=47，
P(X=2)=C51C22C73=17，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
27
47
17
E(X)=0×27+1×47+2×17=67.…(13分) 
【解析】(1)求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；
(2)由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；
(3)先求出X的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
在求频率分布直方图中的问题时，特别注意图中的纵坐标的几何意义、利用频率分布直方图求数据的平均数是利用各个矩形的中点横坐标乘以各个矩形的面积和．考查分布列以及期望的求法，考查计算能力．．