八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二学期期末质量测评
八年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 要使二次根式有意义，则应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求解．
【详解】解：根据题意得：x-3≥0，
解得：x≥3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，是一个基础题，需要熟练掌握．
2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．故轴对称图形有3个．
故选：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以重合．
3. 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
【详解】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键．
4. 下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A. 2，3，4 B. 4，5，6
C. 3，4，5 D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意；
B、，不能构成直角三角形，不合题意；
C、，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
5. 2021年是中国共产党建党100周年，某校举行了“党在我心中”的主题演讲比赛．九年级10名同学参加了该演讲比赛，成绩如下表．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
成绩/分
80
85
90
95
人数/人
2
3
4
1

A. 85分，85分 B. 90分，90分 C. 90分，85分 D. 90分，87.5分
【答案】D
【解析】
【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90，
把这组数据按照从小到大的顺序排列起来，则中位数是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ 　 ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先把点代入，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
由两函数的图象可知，
当时，，即．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，利用两函数图象的交点，求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：____．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．
【详解】解：


故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．
8. 已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为______．
【答案】

【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等．
9. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为：，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．
10. 小林和小明练习射击，第一轮枪打完后两人打靶的环数如图所示，那么根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是_____（填“”“”或“”）．

【答案】＜
【解析】
【分析】根据方差的意义可得，数据波动越大，则方差越大，求解即可．
【详解】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟悉概念是解题的关键．
11. 小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是_________________．

【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法分别求出解析式即可得到答案．
【详解】解：设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴；
设过点的直线解析式为，
∴，解得，
∴，
∴他解这个方程组是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是坐标轴正半轴上一点，连接、、，若其中一条线段所在射线是另两条线段所成夹角的平分线，则点的坐标为______.
【答案】，，
【解析】
【分析】如图，，，轴，由题意可分①当平分时，②平分时，③平分时，然后分类求解即可．
【详解】解：如图所示：

∵点，，
∴，，轴，
∴，
∴，
①当平分时，即，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当点P与重合时，即平分时，即，如图所示，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当点P与重合时，即平分时，即，如图所示，
∵轴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
综上所述：若其中一条线段所在射线是另两条线段所成夹角的平分线，则点的坐标为，，；
故答案为，，．
【点睛】本题主要考查坐标与图形、等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行求解；
（2）根据二次根式的乘法可进行求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式

．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
14. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:.

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论.
【详解】因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，.
又分别是、的中点，
所以BE=CF,所以（SAS），
所以（全等三角形的对应边相等）.
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质.
15. 如图，是的中线，若，，.

（1）求的度数.
（2）求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的中线，，，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16. 一次函数的图象经过点和两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）若直线AB与x轴交于点C，求面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【小问1详解】
设一次函数解析式为，
∵图象经过，两点，
∴
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
当时，，
∴，
∴
∴，
答：的面积为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
17. 请仅用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹：

（1）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E是AB边的中点，请画出AD边上的高；
（2）如图②，在▱ABCD中，点E是AB边上且BE=BC，请画出∠A的平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接DE交对角线AC于点G，连接BG交AD于点F，BF即是AD边上的高；
（2）▱ABCD的对角线交于点 O，射线EO交CD于点P，AP即是∠A的平分线．
【小问1详解】
解：连接DE交对角线AC于点G，连接BG交AD于点F，如图，BF即是AD边上的高；

证明：∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠DAG=∠BAG，AD=AB，
∴△DAG≌△BAG，
∴∠ADG=∠ABG，
∵点E是AB边的中点，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°，
在△ADE和△ABF中，，
∴△ADE≌△ABF，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴BF是AD边上的高；
【小问2详解】
解：▱ABCD的对角线交于点 O，射线EO交CD于点P，如图，AP即是∠A的平分线．

证明：∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DCE=∠BEC，
∴∠DCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCD，
∵CD∥AB，
∴∠PDO=∠EBO，
∵DO=BO，∠POD=∠EOB，
∴△POD≌△EOB，
∴PO=EO，
∵AO=CO，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴AP是∠A的平分线．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的性质、等腰三角的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分）

教学能力
科研能力
组织能力
甲
81
85
86
乙
92
80
74
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
【答案】（1）甲被录用；（2）乙被录用．
【解析】
【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算，平均数大的将被录用；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答，加权平均数大的将被录用；
【详解】解：（1）甲的平均成绩为（分）；
乙的平均成绩为（分），
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用；
（2）根据题意，甲的平均成绩为（分），
乙的平均成绩为（分），
因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，
所以乙被录用．
【点睛】本题重点考查了算术平均数和加权平均数的计算公式，希望同学们要牢记这些公式，并能够灵活运用，数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn)，加权平均数：（其中w1、w2、……wn为权数），算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数.
19. 如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．

（1）求B，C间的距离．
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）小汽车没超速，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【小问1详解】
解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
【小问2详解】
这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
20. 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为　　，所抽查的学生人数为　　．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
【答案】（1），60
（2）18人 （3）7；7.2
（4）780人
【解析】
【分析】（1）用1减去其它部分所占的百分比，可求出平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比，再用平均睡眠时间为9小时的人数除以其所占的百分比，可得总人数，即可求解；
（2）用抽查的总人数乘以平均睡眠时间为8小时的人数所对应的百分比，即可求解；
（3）根据众数和平均数的意义，即可求解；
（4）1200乘以睡眠不足（少于）8小时的学生数所占的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：；
所抽查的学生人数为：人；
故答案为：，60；
【小问2详解】
解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
【小问3详解】
解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时；
【小问4详解】
解：1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，众数，加权平均数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）已知，则当　　时，式子取到最小值，最小值为 　　；
（2）已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？
（3）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】（1）
（2）当时，最小值为
（3）当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料，利用，且仅当时取等号，进行计算；
（2）将式变为：，则原式的最大值，即为现在式子的最小值．
（3）设这个矩形的长为米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据：求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∴当时，的最小值是2；
即当时，的最小值是2；
故答案为：1；2；
【小问2详解】
令，
当且仅当时，即时，取最小值为，
∴当时，．
【小问3详解】
设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米，
根据题意得： ，
由上述性质知：
∵，
∴，
此时，，
∴．
答：当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式，求最值问题，理解阅读材料是解题的关键．
22. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过70千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
【答案】（1）
（2）购进甲种水果70千克，购进乙种水果30千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．
【解析】
【分析】（1）由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可；
（2）购进甲种水果x千克，则购进乙种水果千克，根据实际意义可以确定函数解析式，再利用函数性质即可求出答案．
【小问1详解】
当时，设（），根据图象可得：
，
解得，
∴，
当时，设（），根据图象可得：
，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果千克，
甲种水果不少于50千克，但又不超过70千克，
即，
则有，
∴，
∴当x越大时，w越小，
则当时，，
即当时，总费用最少，最少费用为2730元，此时乙种水果为30千克．
答：购进甲种水果70千克，购进乙种水果30千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
六、解答题（本大题共1题，12分）
23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．

【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2）
【解析】
分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；
拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，

∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案为：AC⊥BD，AC=BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴▱MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，

∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，

当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展应用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值为2．