八年级下学期期末数学试题 (5)

这是一份八年级下学期期末数学试题 (5)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（下）期末教学质量测评（样题）八年级数学
A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若一个多边形的每个外角都是60°，则该多边形的边数为（ ）．
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. B. 7 C. 7或 D. 49
5. 四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
6. 如图，在等腰中，，，，的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）

A. 8 B. 11 C. 10 D. 13
8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（　　）
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：＝_____．
10. 点向右平移4个单位，再向上平移1个单位后的坐标是__________．
11. 若关于的不等式的解集是，则的值为__________．
12. 如图，在边长为1的等边中，分别取三边的中点，，，得到，用同样的方法，得到，则的周长为__________．

13. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米；将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，，则秋千的长度是_____米．

三、解答题（共48分）
14. 计算下列各题．
（1）解不等式组：；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：

（1）若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标；
（2）将绕点O按逆时针方向旋转90°得到，作出．（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）
16. 随着退林复耕全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身，其中有两块面积相等的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，已知原品种种子比新品种每千克的单价少2元，且用700元购买的原品种种子千克数与用840元购买的新品种种子千克数相等，求原品种、新品种种子每千克的价格各是多少元？
17. 如图，在四边形中，，点E在上，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，，求的长．
18. 在中，，，，点D是线段上的动点，交AC于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结．

（1）如图1，若点G恰好平分，判断四边形形状并证明；
（2）如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式；
（3）当时，求的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，，则___________．
20. 关于x的分式方程有增根，则___________．
21. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为___________．

22. 在中，，，，，将沿剪开成两个三角形，把这两个三角形拼成一个平行四边形．在拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是___________．

23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，给出如下定义：若点P关于直线：的对称点Q在四边形的内部或边上，则称该点P为四边形关于直线的“相关点”，点是四边形关于直线：的“相关点”，且是以为腰的等腰三角形，则m的值为___________；直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”，则的取值范围为__________．
二、解答题（共30分）
24. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举行，这一届的吉祥物“蓉宝”是以大熊猫“芝麻”为原型设计，某公司生产的吉祥物摆件有445箱，蓉宝挂件有130箱．
（1）现计划租用A，B两种货车共15辆，一次性将物品送往仓库，已知A种货车可装摆件35箱和挂件10箱，B种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2）在（1）条件下，A种货车每辆需运费860元，B种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费．
25. 在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点C、B，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，作于点E，延长交直线于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，若，，求点F的坐标．
26. 在中，，点为直线BC上一动点，，．

（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．









（下）期末教学质量测评（样题）八年级数学
A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的概念，进行正确判断．
2. 若一个多边形的每个外角都是60°，则该多边形的边数为（ ）．
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【详解】．故这个多边形是六边形．
故选D．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都是360°．
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断出、、的等式关系不成立，从而求出这道题的答案．
【详解】解：A、，根据不等式加法性质，不等式两边同时加上相同的数，不等号的方向不变，故不成立．
B、，根据不等式的减法性质，不等式两边同时减去相同的数，不等号的方向不变，故成立．
、由于是正数还是负数或是零不确定，因此也就不确定是否大于，故不成立．
D、为正数，根据不等式的乘法性质，可推出，故不成立．
故选：．
【点睛】本题主要考查的是不等式的性质．解题的关键是明确在解题过程中根据不等式的乘法性质，不等式两边同时乘以的是正数还是负数或是0．
4. 若分式值为0，则的值为（ ）
A. B. 7 C. 7或 D. 49
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解．
【详解】∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故选：A
【点睛】本题考查分式值为0的条件，解题的关键是明确分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0．
5. 四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6. 如图，在等腰中，，，，的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据“等边对等角”求出，进一步求出，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）

A. 8 B. 11 C. 10 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解．
【详解】解：由作图方法可知是的角平分线，
∴，
，
，
，
，
，
∴的周长为8，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（　　）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
慢马的速度为，快马的速度为，
快马的速度是慢马的倍，

故选∶C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：＝_____．
【答案】(a+4)(a-4)
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：
＝
＝(a+4)(a-4)，
故答案为：(a+4)(a-4)．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式法的综合运用是解题关键．
10. 点向右平移4个单位，再向上平移1个单位后的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的平移规律进行求解即可
【详解】解：点向右平移4个单位，再向上平移1个单位后的坐标是，即，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．
11. 若关于的不等式的解集是，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再根据不等式的解集为建立方程求解即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
∵不等式的解集是，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．
12. 如图，在边长为1的等边中，分别取三边的中点，，，得到，用同样的方法，得到，则的周长为__________．

【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，分别求出各三角形的边长，再根据等边三角形的面积的变换规律求解即可．
【详解】解：由题意得，的边长为，周长为，
的边长为，周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，根据规律求出第3个等边三角形的边长是解题的关键．
13. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米；将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，，则秋千的长度是_____米．

【答案】
【解析】
【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】由题意得：米，米，，四边形是矩形，
∴米，，
∴米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：，
∴秋千的长度是米．
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
三、解答题（共48分）
14. 计算下列各题．
（1）解不等式组：；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）根据分式方程的解法，解分式方程并检验即可；
（3）根据分式的混合运算的法则，即可求解．
【小问1详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是；
【小问2详解】
，
方程整理得：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当，最简公分母，
∴是原分式方程的解
【小问3详解】




当时，
原式
【点睛】本题考查解不等式组，解分式方程，分式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，正确计算．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：

（1）若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标；
（2）将绕点O按逆时针方向旋转90°得到，作出．（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）
【答案】（1）图见解析，三个顶点的坐标为：，，，
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的作图方法画出图形，即可求解；
（2）根据旋转的作图方法画出图形，即可求解．
【小问1详解】

三个顶点的坐标为：，，，
【小问2详解】
【点睛】本题考查平移作图和旋转作图，解题的关键是掌握平移作图和旋转作图的方法．
16. 随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身，其中有两块面积相等的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，已知原品种种子比新品种每千克的单价少2元，且用700元购买的原品种种子千克数与用840元购买的新品种种子千克数相等，求原品种、新品种种子每千克的价格各是多少元？
【答案】原品种种子每千克的价格是10元，新品种种子每千克的价格是12元
【解析】
【分析】设原品种种子每千克的价格是x元，新品种种子每千克的价格是元．根据用700元购买的原品种种子千克数与用840元购买的新品种种子千克数相等，列分式方程，即可求解．
【详解】解：设原品种种子每千克的价格是x元，新品种种子每千克的价格是元．
由题意得：
解得：
检验：当时，是原分式方程的解．
∴（元）
答：原品种种子每千克的价格是10元，新品种种子每千克的价格是12元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是能够根据题意找到等量关系．
17. 如图，在四边形中，，点E在上，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）先证明，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）先由三角形内角和定理和角平分线的定义求出，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，同理求出的长即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
18. 在中，，，，点D是线段上的动点，交AC于点E，分别交射线、射线于点F、G，连结．

（1）如图1，若点G恰好平分，判断四边形的形状并证明；
（2）如图2，设的长为x，的面积为y，求出y关于x的函数关系式；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见解析
（2）
（3）的长为或8
【解析】
【分析】（1）由证得，，又，即可得出四边形是平行四边形；
（2）由含角直角三角形的性质得出，，，由勾股定理求出，，推出，再由含角直角三角形的性质得出，则，当点与重合时，求出，即可得出结果；
（3）①当点在线段的延长线上时，梯形为等腰梯形；②当点在线段上时，四边形为平行四边形，分别求出即可．
【小问1详解】
四边形是平行四边形，理由如下：
点恰好平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
，，
，
，
，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
当点与重合时，如图3所示：

，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
【小问3详解】
①当点在线段的延长线上时，，梯形为等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当时，，，
，
解得：，
的长为；
②当点在线段上时，如图4所示：

，则四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
的长为8；
综上所述，的长为或8．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、梯形面积的计算、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握含角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】将因式分解，可得，将，代入即可得到答案．
【详解】解：，
将，代入，可得
原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用提公因式法进行因式分解，正确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
20. 关于x的分式方程有增根，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出，代入求值即可；
【详解】解：，
，
，

∵方程有增根，
∴，
∴，
当时，
，解得；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．
21. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为___________．

【答案】
【解析】
【分析】把点代入得，即得点的坐标，把点代入，得的值，再把代入不等式组即可求解不等式组的解集．
【详解】解：把点代入，得即点，
把点代入，得，
把代入不等式组得，
解不等式组得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题关键是如何利用代入法求的值．
22. 在中，，，，，将沿剪开成两个三角形，把这两个三角形拼成一个平行四边形．在拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．
【详解】解：如图，

∵中，，，
∴，
∴，
如图所示：四边形是矩形，则其对角线的长为15；

如图所示：，，，连接，过点C作于点E，

则，，
∴；
如图所示：，，，过点A作于点E，

由题意可得：，，
∴，
其中最长的对角线的值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练掌握分类讨论是解题关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，给出如下定义：若点P关于直线：的对称点Q在四边形的内部或边上，则称该点P为四边形关于直线的“相关点”，点是四边形关于直线：的“相关点”，且是以为腰的等腰三角形，则m的值为___________；直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”，则的取值范围为__________．
【答案】 ①. 或 ②.
【解析】
【分析】画出图形，设，利用对称性即可得点；分两种情况：，利用勾股定理求得的长，从而得Q的坐标，从而求得m的值；四边形关于直线：对称的四边形为四边形，当直线在四边形内（包括边界）时，直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”，因此只需求出直线分别过点O、H时的解析式即可，从而求得b的范围．
【详解】解：设，
∵点P与点Q关于直线：对称，
∴，
即，即；
当时，如图，过Q作于E，则，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
即，
∴，
即；
当时，如图，过Q作于F，
同理可得，
∴，
∴，
∴∴，
即；
综上，m的值为或；
故答案为：或；

如图，四边形关于直线：对称的四边形为四边形，当直线在四边形内（包括边界）时，直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”；
当直线过原点O时，的解析式为，此时；
∵点C关于直线：对称的点H的坐标为，
∴当直线过点H时，有，
解得：，
即解析式为：；
综上，当 在之间时，满足题目要求，此时b的范围为．

故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，一次函数解析式，对新定义的理解等知识，关键是理解新定义，注意数形结合与分类讨论．
二、解答题（共30分）
24. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举行，这一届的吉祥物“蓉宝”是以大熊猫“芝麻”为原型设计，某公司生产的吉祥物摆件有445箱，蓉宝挂件有130箱．
（1）现计划租用A，B两种货车共15辆，一次性将物品送往仓库，已知A种货车可装摆件35箱和挂件10箱，B种货车可装摆件15箱和挂件15箱，则一共有几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，A种货车每辆需运费860元，B种货车每辆需运费740元，怎样租车才能使总运费最少？并求出最少运费．
【答案】（1）故有4种方案：种车分别为11，12，13，14辆，种车对应为4，3，2，1辆；
（2）租用种货车11辆，种货车4辆，总运费最少，最少运费是12420元．
【解析】
【分析】（1）设租用种货车辆，则租用种货车辆，根据已知条件可以列出不等式组，解不等式组即可求解；
（2）设总费用为元，则根据已知条件列出函数解析式，然后利用一次函数的性质和（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
解：设租用种货车辆，则租用种货车辆，
则，
解得，
∵现计划租用A，B两种货车共15辆，
∴
故有4种方案：种车分别为11，12，13，14辆，种车对应为4，3，2，1辆；
【小问2详解】
设总费用为元，则
，
，随的增大而增大，
所以当时，即租用种货车11辆，种货车4辆，总运费最少，最少运费是12420元．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题的关键是能够根据题意找到其中的不等关系．
25. 在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点C、B，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，作于点E，延长交直线于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，若，，求点F的坐标．
【答案】（1）24 （2）或或
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可求得点B、C的坐标，再由点B的坐标可求出直线的解析式，从而可求得点A的坐标，则求得的面积；
（2）先求出点E、点D的坐标，分三种情况：分别以为对角线的平行四边形，利用平移即可求得点P的坐标；
（3）在取，连接，作N关于x轴对称的点P，连接；证明，则可得，进而可得，则，则可得，则，，是等腰直角三角形，从而由勾股定理得的长，可求得F的坐标．
【小问1详解】
解：对于，令，得；令，得；
∴，且，
把点B坐标代入中，得，即，
令，得，
∴点A的坐标为，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
设的解析式为，则，
∴，即；
联立方程组，解得：，
即；
①当为对角线时，，
把D点向左平移3个单位长度再向上平移9个单位长度得到点B，则把E向左平移3个单位长度再向上平移9个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
②当为对角线时，，
把E点向右平移3个单位长度再向上平移3个单位长度得到点B，则把D向右平移3个单位长度再向上平移3个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
③当为对角线时，，
把B点向左平移3个单位长度再向下平移3个单位长度得到点E，则把D向左平移3个单位长度再向下平移3个单位长度得到点P，此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或；
【小问3详解】
解：如图，在取，连接，作N关于x轴对称点P，连接；
∵点E是中点，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵N关于x轴对称的点P，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴点F的坐标为．
【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了直线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，坐标平移，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称等知识，构造适当的辅助线是关键与难点，注意分类讨论．
26. 在中，，点为直线BC上一动点，，．

（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由同角的余角相等可得，由可证明，得到，由结合勾股定理得到，计算即可得到答案；
（2）延长至，使，连接，由证明，得到，由证明，得到，从而得证；
（3）取的中点，连接并延长交于，令与相交于点，由可证明，得到，由，可得，，点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，作交的延长线于，作交于，由含有角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，，由等面积法可得，从而得到， ，由对称的性质可得，，，当时，最小，在中，由含有角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得的长，从而得到答案．
【小问1详解】
解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．