八年级下学期期末数学试题（解析版） (8)

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版） (8)，共30页。试卷主要包含了作图请一律用黑色签字笔完成；， 一次函数的图象不经过的象限是， 估计的运算结果应在， 下列命题是真命题的是， 绝对值的几何意义等内容，欢迎下载使用。
（下）八年级期末质量监测
数学试卷
（全卷共三个大题，满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；
4.考试结束，由监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 某校八年级有15名同学参加50米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前7名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差
【答案】A
【解析】
【分析】15人成绩的中位数是第7名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前7名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的成绩各不相同，第7名的成绩是中位数，要判断是否进入前7名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3. 若以下列数组成边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. ，， B. ，， C. 4，5，6 D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，不能构成直角三角形；
故选：B.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，当三角形中三边的关系为：，则三角形为直角三角形．
4. 小文要去参观博物馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行，3小时后到达博物馆．小文离家的距离y（单位：）与出发的时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ）

A. 小文两次骑行的速度没有发生变化 B. 小文家距博物馆 C. 小文骑行途中因故耽误的时间为 D. 小文从家到博物馆共用时
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象获取相关信息依次验证即可．
【详解】解：A、第一次骑行的速度为15÷1=15km/h，第二次骑行的速度为：(30-15) ÷(3-2)= 15km/h，速度一样，故选项不合题意；
B、由图可得小文家距离博物馆30km，选项错误，符合题意；
C、因故耽误1小时，正确；不符合题意；
D、由图可知，从家到博物馆共用时3小时，正确；不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查从函数图象获取相关信息，理解题意是解题关键．
5. 一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】因为，，根据一次函数的图象与系数的关系判断即可得出结果．
【详解】解：对于一次函数，
，
图象经过一、三象限，
，
一次函数的图象与轴的交点在轴的下方，即函数图象还经过第四象限，
一次函数的图象不经过第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象和系数的关系是解答本题的关键．
6. 估计的运算结果应在（ ）
A. 2到3 B. 3到4 C. 4到5 D. 5到6
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出的值，然后进行估算出即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，正确计算出的值是解题的关键．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 平行四边形的对角线平分每一组对角
B. 两条对角线垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的菱形是正方形
D. 三个角相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定进行判断即可．
【详解】解：A．菱形的对角线平分每一组对角，故选项错误，不符合题意；
B．两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
C．两条对角线相等的菱形是正方形，故选项正确，符合题意；
D．有三个角是直角的四边形是矩形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、正方形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键．
8. 如图矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形性质，易得，即可判定四边形是菱形，则可求得答案．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得四边形是菱形是解此题的关键．
9. 如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（ ）

A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，证明是等腰直角三角形，求出，，证明点A、C、O、B四点共圆，得出，证明，得出点、、三点共线，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为，最后求出正方形的面积即可．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，如图所示：

∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形的对角线，相交于点，
∴，
∵，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴点、、三点共线，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
10. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离．若点A、在数轴上表示的数为、，则A、两点之间的距离，给出下列说法：
①若，点A表示的数是1，则点表示的数是5；
②当时，代数式的最小值为3；
③若、、满足，则的最小值为2.以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的几何意义及数轴上有理数的表示可进行求解．
【详解】解：①∵，点A表示的数时1，点表示的数是5或，故①错误，
②当时，数到，1，2距离和最小为3，故②正确，
③∵表示数到0，的距离和，
表示数到1，4的距离和，
表示数到，的距离和，
当，，时，距离分别为2，3，4，
其乘积为，
∴的最小值为，故③错误；
故选B．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上．
11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求范围．
【详解】解：根据二次根式的意义，被开方数，解得；
根据分式有意义的条件，，解得；
所以，自变量的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数有意义的条件，解题的关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12. 已知一次函数的图象经过，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据一次函数的解析式得出y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．
13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决.
【详解】解：，
，
小正方形的面积为：，
由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍，即，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的2倍.
14. 如图，在菱形中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接．若，则的度数为______．

【答案】##度
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形的两边相交，已知，，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】由平移得平移后解析为，结合题意求得与矩形的两边相交的交点坐标，，即可求得平移后的直线与矩形围成的面积．
【详解】解：直线向上平移2个单位长度后为：，如图

∵四边形是矩形，，，
∴当时，，则，
当时，，解得，则，
∴，，
∴平移后的直线与矩形围成的三角形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出平移后的解析式及与矩形两边的交点坐标．
16. 如图，矩形的边、上有两点、，沿着直线折叠使得点、分别落在、，交线段于点，射线恰好经过点，作平分交于，，且恰好落在线段的延长线上，若，则到直线的距离是______．

【答案】##
【解析】
【分析】证明四边形为平行四边形，得出，作于点K，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，根据勾股定理得出，求出，得出，根据勾股定理求出，求出，设到直线的距离为h，得出，求出即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可知，，
，，
，，
∴，
∵恰好经过点，恰好落在线段的延长线上，
∴垂直平分，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
作于点K，

设，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，负值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴，
设到直线的距离为h，则：
，
解得：．
即到直线的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是正确理解和运用轴对称的性质，求出．
17. 关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数之和为______．
【答案】12
【解析】
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程解的情况推出且满足为正整数；解不等式组并根据不等式组的解集求出，则且满足为正整数，则a的值可以为，2，5，8，又犹豫方程不能有增根，可得，则a的值可以为，5，8，由此即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于的分式方程的解为正整数，
∴为正整数；
∴且满足为正整数；

解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴且满足为正整数，
∴a的值可以为，2，5，8，
又∵方程不能有增根，
∴，即，
∴，
∴a的值可以为，5，8，
∴满足条件的所有整数之和为，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，正确得到关于a的取值范围从而确定a的取值是解题的关键．
18. 已知一个三位数，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的三倍，则称为“三和数”，最小的“三和数”为______，若“三和数”的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为；交换的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．当能被整除时，符合条件的的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“三和数”的定义，即可求出最小的“三和数”；根据，的定义，求出相对应的数，再根据能被4整除，求出满足条件的数，即可．
【详解】∵百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的三倍，称为“三和数”
∴最小的“三和数”为；
故答案为：；
设“三和数”的百位为，十位为，个位为，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
当，时，有最大值．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握新定义实数的性质和运算．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根，零整数指数幂以及绝对值的意义计算即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【小问1详解】


；
【小问2详解】



．
【点睛】本题主要考查了实数的运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
20. 已知四边形是平行四边形，．

（1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ① ，
∵平分，
∴
∴ ② ，
∴
又∵，
∴ ③ ，
又∵ ④ ，
∴四边形为平行四边形，
又∵ ⑤ ，
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）；；；；
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可；
（2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形．
【小问1详解】
如图，为所作；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ① ，
∵平分，
∴
∴ ② ，
∴
又∵，
∴ ③ ，
又∵ ④ ，
∴四边形为平行四边形，
又∵ ⑤ ，
∴四边形是菱形．
故答案为：；；；；
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
21. 今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“贯彻总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养，夯实以新安全格局保障新发展格局的社会基础”．某中学开展了国家安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：75，69，82，88，92，73，93，81，82，95
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在C组的数据是：86，83，89
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
82

八年级
83

95

（1）直接写出：______，______，______；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写一条理由）；
（3）若七年级有700人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的约有多少人？
【答案】（1）87.5，82，40
（2）八年级，见解析 （3）530人
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的意义可求出、的值，根据扇形统计图的制作方法可求出“D组”所占的百分比；
（2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案；
（3）利用样本所占百分比估计总体即可．
【小问1详解】
解：八年级成绩在“C组”的有3人，占，
所以“D组”所占的百分比为，
因此，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是86，89，因此中位数是，即；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是82，因此众数是82，即，
故答案为：87.5，82，40；
【小问2详解】
八年级学生的竞赛成绩更好，八年级的中位数为87.5，七年级的中位数为82，因为，所以八年级的竞赛成绩更好；
【小问3详解】
（人）
答：估计七年级、八年级竞赛在90分以上的人数约为530人．
【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键.
23. 夏季来临，某批发商决定购进一批防晒产品来销售，批发商分别用元购进了遮阳帽，用元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，其中太阳伞的单价比遮阳帽贵元．
（1）遮阳帽的单价为多少元；
（2）由于畅销，该批发商决定再购进这两款产品共件，其中购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的倍，销售时，售价均定为元每件，那么该批发商需购进这两款产品各多少件才能使利润最大，最大利润为多少？
【答案】（1）元
（2）当遮阳帽购进件，太阳伞件时，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）设遮阳帽的单价为元，则太阳伞的单价为元，根据两款产品的数量一样，列方程求解即可；
（2）设购进遮阳帽件，利润为元，根据题意列方程，根据一次函数的特点即可求解．
【小问1详解】
解：设遮阳帽的单价为元，则太阳伞的单价为元，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
∴遮阳帽的单价为10元．
【小问2详解】
解：设购进遮阳帽件，利润为元，
∵，解得，

∵，
∴随的增大而增大，
当，有最大值5000元，
∴当遮阳帽购进件，太阳伞件时，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数实际运用，理解题目中的数量关系，掌握分式方程的运用，一次函数图像的性质是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与、两点重合时，的值为0）

（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质______；
（3）根据函数图象直接写出不等式的解集是______．
【答案】（1）
（2）见解析；该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称
（3），
【解析】
【分析】（1）分三种情况讨论：当点在上时，当点在上时，当点在上时，分别写出函数关系式即可；
（2）结合（1）即可画出函数图象，进而根据图象写出函数的性质；
（3）根据观察图象在及其下方部分所对应的自变量的值即可．
【小问1详解】
解：设点的运动时间为，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，则点的运动路程为，
当点在上时，即时，，
的面积；
当点在上时，即时，
面积；
当点在上时，即时，，
的面积；
综上所述：；
【小问2详解】
函数图象右图所示

该函数的一条性质：该函数图象关于直线对称；
故答案为：该函数图象关于直线对称；
【小问3详解】
由图象可知：不等式的解集是，；
故答案为：，．
【点睛】本题四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解题意得到分段函数是本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点，以为边在第二象限内作等腰，．

（1）求的面积；
（2）求直线的解析式；
（3）点为线段上一动点，过点作轴交于点，当时，求四边形的面积及此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点坐标为，四边形的面积为
【解析】
【分析】（1）求出A和点B坐标，可得的长，运用三角形面积公式可得绪论
（2）过点作轴于点，证明，可求出点C坐标，运用待定系数法可求出直线的解析式；
（3）根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴当时，，即点，
当时，，，那么，
在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，

∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴点为，
设，
∵点，点在直线上，
∴b=2-5k+b=3，
解得，
∴直线解析式为 ；
【小问3详解】
解：∵轴，且，
因为点交线段上，点交线段上，

∴设点 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
此时点坐标为，四边形的面积为．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征等．
26. 在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中．
（1）如图1，求的度数；

（2）如图2，在上取点，使得，求证：；

（3）如图3，在2问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积．


【答案】（1）45° （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论；
（2）过点作交于点，连接，过点作，证明为等腰直角三角形，得，再证明，，从而可得出结论；
（3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：设，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
即，
∵四边形是平行四边形，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：过点作交于点，连接，过点作，

∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，，
即，
∴，
∴，
∴和均为等腰三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
即 设，
∴，
∴，
在中，，
∵，
解得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．