数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时同步练习题

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时同步练习题，共8页。试卷主要包含了有下列说法，在平面几何中，有真命题等内容，欢迎下载使用。
第八章　8.6　8.6.3　第1课时

A级——基础过关练
1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
【答案】D　
【解析】由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．
2．有下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A　
【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．
3．阅读下面的题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是(　　)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE．

证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．
A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBD
C．BD⊥平面PAC D．AC⊥平面BDE
【答案】C　
【解析】根据线面垂直的判定定理可知横线处应填“BD⊥平面PAC”．故选C．
4．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
【答案】A　
【解析】A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．故选A．
5．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)

A．60° B．30°
C．45° D．15°
【答案】C　
【解析】由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°．故选C．
6．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是(　　)

A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】ABC　
【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，∴GE∥面PBC，GF∥面PBC，GF∩GE＝G，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
7．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)

A． B．
C． D．
【答案】C　
【解析】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．

8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．
【答案】90°　
【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°．
9．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．
你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)
【答案】错误　
【解析】如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A－C1D1－C为45°，二面角A－BC－C1为90°．则这两个二面角既不相等又不互补．

10．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC．

证明：如图，连接OC，CB．因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．又因为PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO．因为OD∩PO＝O，所以AC⊥平面POD．

又因为AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．
B级——能力提升练
11．(多选)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论成立的是(　　)

A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
【答案】ACD　
【解析】如图，在A中，取PB中点O，连接AO，CO，则AO⊥PB，CO⊥PB，∴PB⊥平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，设AC∩BD＝M，连接PM，易知PA＝PC，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，易知PB⊥平面AOC，∴PB⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．

12．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的平面角的余弦值为(　　)

A． B．
C． D．
【答案】A　
【解析】在菱形ABCD中，连接BD交AC于O点，则AC⊥BD．在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝．因为DO⊥AC，BO⊥AC，所以∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角．由BD＝1，得cos∠DOB＝＝＝．

13．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小为________；二面角A′－AB－D的大小为________．

【答案】45°　90°　
【解析】在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角，在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°．因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又因为∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°．
14．如图，一张矩形白纸的长、宽分别为2a,2a，且A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)

①该多面体是三棱锥；
②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD．
【答案】①②③　
【解析】由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP⊂平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确．综上，正确命题的序号为①②③．
15．如图，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．
(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；
(2)若M是AB的中点，求三棱锥A－MCD的体积．

【答案】(1)证明：如图，在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，由已知可知AD＝5，OA＝4，∴OD＝3．翻折后，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32．
在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
又∵AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD．
又∵AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．

(2)解：∵M是AB的中点，∴点A，B到平面MCD的距离相等．
∴VA－MCD＝VB－MCD＝VA－BCD＝S△BCD·AO＝8．