2022-2023学年北京市门头沟区七年级（下）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2022-2023学年北京市门头沟区七年级（下）期末数学试卷-普通用卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两；牛二，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列调查中适合于抽样调查的是( )
A. 了解某班学生的身高情况B. 机场对登记人员的安检
C. 了解全国中学生的健康状况D. 检查一批飞行员的视力情况
3. 下列说法错误的是( )
A. 2的平方根是 2B. −1的立方根是−1
C. 10是100的一个平方根D. 算术平方根是本身的数只有0和1
4. 在平面直角坐标系中，如果点P(x,y)满足x<0，y>0，那么它所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 已知aA. a−3>b−3B. a3>b3C. −3a>−3bD. 3a−1>3b−1
6. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
7. 如图，将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，该大正方形的边长最接近的整数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8. 如果x=2y=1是方程2ax+by=13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. π的相反数是______．
10. 将3x+2y=1写成用含x的代数式表示y的形式，y=______．
11. 某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是______．
12. 如图，请你添加一个条件，使AB//CD，这个条件是______．
13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______．
14. 已知A(0,a)，B(1,2)是平面直角坐标系xOy中的两点，那么线段AB长度的最小值为______ ．
15. 在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,0).如果三角形MOP的面积为1，写出一个满足条件的点P的坐标为______ ．
16. 定义一种运算：a☆b=a(a≥b)b(a1的解集是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 解不等式组4(x+1)≤7x+10x−518. 解方程组：3x+4y=165x−6y=33．
四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
计算：| 2− 3|+38− 2( 2−1)．
20. (本小题5.0分)
(1)完成下面框图中解方程组的过程：
(2)上面框图所示的解方程组的方法是______ ．
21. (本小题5.0分)
下面是小明解不等式1+x3解：去分母得2(1+x)<3x．
去括号，得______ ；
移项，得______ ；
合并同类项，得______ ；
系数化1，得x ______ .(填依据：______ )
22. (本小题5.0分)
如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院主要建筑分布图(图中的小方格均为边长为1的正方形)，其中太和门的坐标为(0,−1)，九龙壁的坐标为(4,1)．
(1)在图中画出平面直角坐标系，并写出景仁宫的坐标；
(2)如果养心殿的坐标是(−2,3)，在图中用点P表示它的位置．
23. (本小题6.0分)
按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°．
求证：DE//BC．
证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1+______=90°(______).
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴______=∠2(______).
∴DE//BC(______).
24. (本小题6.0分)
列方程(组)解应用题
有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
25. (本小题6.0分)
为了更好的开展“我爱阅读”活动，小明针对某校七年级部分学生(该校七年级共有16个班，480名学生)课外阅读喜欢图书的种类(每人只能选一种书籍)进行了调查.并且他根据问卷调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“其它”所在的扇形的圆心角等于______ 度；
(2)补全条形统计图；
(3)根据调查结果，估计七年级课外阅读喜欢“漫画”的同学有______ 人.
26. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4,4)，B(8,0)，C(−3,0)，D(−3,3)，F(−1,0)．
(1)如果四边形DCFE是长方形，请画出该长方形，并直接写出点E的坐标；
(2)将长方形DCFE向右平移t个单位长度，得到长方形D′C′F′E′．
①当点E′落在线段AB上时，结合图形直接写出此时t的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如果长方形D′C′F′E′和三角形AOB重叠区域(不含边界)内恰好有3个整点，直接写出t的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，直线m和n相交于点A，点D，C是直线m上两点，点B是直线n上一点，连接BC，并过点D作DE//BC交直线n于点E.点F是直线n上一动点，连接FD和FC，设∠EDF=α，∠FCB=β，∠DFC=γ．
(1)当点F在线段BE上时，
①依题意补全图；
②判断a，β，γ的数量关系并加以证明．
(2)当点F不在线段BE上时，直接写出α，β，γ的数量关系，不用证明．
28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y)，给出如下定义：如果a=12x−2，b=12y+1，那么点M(a,b)就是点P的“关联点”．
例如，点P(6,2)的“关联点”是点M(1,2)．
(1)点A(2,1)的“关联点”坐标是______ ；
(2)将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点C′，如果点C与点C′的“关联点”互相重合，求点C的坐标；
(3)设点D(n,−2)的“关联点”为点D′，连接DD′，如果线段DD′与y轴有公共点，直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，故A符合题意；
故选：A．
根据对顶角的定义求解即可．
本题考查了对顶角，利用对顶角的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、解某班学生的身高情况是准确度要求高的调查，适于全面调查，故本选项错误；
B、机场对登记人员的安检是准确度要求高的调查，适于全面调查，故本选项错误；
C、了解全国中学生的健康状况的调查因为普查工作量大，适合抽样调查，故本选项正确；
D、检查一批飞行员的视力情况是准确度要求高的调查，适于全面调查，故本选项错误．
故选：C．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】A
【解析】解：∵2的平方根为± 2，
∴A选项的说法错误，符合题意；
∵−1的立方根是−1，
∴B选项的说法正确，不符合题意；
∵10是100的一个平方根，
∴C选项的说法正确，不符合题意；
∵算术平方根是本身的数只有0和1，
∴D选项的说法正确，不符合题意．
故选：A．
利用平方根，算术平方根与立方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了平方根，算术平方根与立方根的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：在平面直角坐标系中，如果点P(x,y)满足x<0，y>0，那么它所在的象限是第二象限，
故选：B．
根据第二象限点的坐标特征(−,+)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵a∴a−3∴选项A不正确；
∵a∴a3∴选项B不正确；
∵a∴−3a>−3b，
∴选项C正确；
∵a∴3a<3b，
∴3a−1<3b−1，
∴选项D不正确．
故选：C．
(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此解答即可．
(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，据此判断即可．
(3)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
(4)首先根据不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，可得3a<3b，然后根据不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，可得3a−1<3b−1，据此解答即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=180°−∠3−90°=180°−65°−90°=25°．
故选：D．
根据AB//CD可得∠3=∠1=65°，然后根据∠2=180°−∠3−90°求解．
本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．
7.【答案】C
【解析】解：较大正方形的面积为1²+2²=5，
∵2.2²=4.84，2.3²=5.29，
∴较大正方形的边长应该大于2.2，小于2.3，
即该大正方形的边长最接近的整数是2．
故选：C．
先求出该正方形的面积为5，通过计算2.2，2.3的平方，确定边长的范围，从而可选出正确答案．
本题考查了图形的拼接．本题的关键是运用面积去估算边长．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：4a+b=13．
又∵a、b是正整数，
∴a=1，b=9或a=2，b=5或a=3，b=1．
当a=1，b=9时，a+b=10．
当a=2，b=5时，a+b=7．
当a=3，b=1时，a+b=4．
∴a+b的最小值为4．
故选：B．
根据方程的解的定义，将x=2y=1代入方程2ax+by=13，可得4a+b=13.因a，b是正整数，故可知a及b的值，从而求出a+b的最小值．
本题属于简单题，主要考查方程的解的定义．
9.【答案】−π
【解析】解：π的相反数是：−π．
故答案为：−π．
互为相反数的两个数绝对值相同而符号相反，由此可得出答案．
本题考查了相反数．能够正确把握相反数的定义是解题的关键．
10.【答案】1−3x2
【解析】解：方程3x+2y=1，
解得：y=1−3x2，
故答案为：1−3x2
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
11.【答案】x≥−2
【解析】解：∵−2处是实心圆点，且折线向右，
∴x≥−2．
故答案为：x≥−2．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
12.【答案】∠CDA=∠DAB
【解析】解：若要证AB//CD，只需找出∠CDA=∠DAB，
故答案为：∠CDA=∠DAB
根据平行线的判定，选择“内错角相等，两直线平行．”来证明平行，根据∠CDA与∠DAB为内错角，令其相等，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟记两直线平行的各判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记平行线的判定定理是关键．
13.【答案】5x+2y=102x+5y=8
【解析】解：根据题意得：5x+2y=102x+5y=8，
故答案为：5x+2y=102x+5y=8．
根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
14.【答案】1
【解析】解：AB= (0−1)2+(a−2)2= (a−2)2+1，
∴当a=2时，AB取最小值，最小值为1，
故答案为：1．
根据两点间的距离公式得出AB的长即可求解．
本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
15.【答案】(0,1)
【解析】解：设P(0,t)(t>0)，
∵三角形MOP的面积为1，
∴12×t×2=1，解得t=1，
即P点坐标为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
设P(0,t)(t>0)，利用三角形面积公式得到12×t×2=1，然后求出t得到满足条件的一个P点坐标．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
16.【答案】x≥3或−2【解析】解：分两种情况：
当2x≥x+3时，即x≥3时，
∵2x☆(x+3)>1，
∴2x>1，
∴x>12，
综上所述：x≥3；
当2x∵2x☆(x+3)>1，
∴x+3>1，
∴x>1−3，
∴x>−2，
综上所述：−2∴不等式2x☆(x+3)>1的解集是x≥3或−2故答案为：x≥3或−2分两种情况：当2x≥x+3时，即x≥3时；当2x本题考查了解一元一次不等式，分两种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：4(x+1)≤7x+10①x−5由①得：x≥−2；
由②得：x<72，
∴不等式组的解集为−2≤x<72，
则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解．
18.【答案】解：原方程组变形为：15x+20y=80 ①15x−18y=99 ②,
由①−②得：y=−12，
代入①得：x=6．
所以原方程组的解为x=6y=−12．
【解析】解此题时先找出某个未知数系数的最小公倍数，用加减消元法进行解答．
此题较简单，只要明白二元一次方程及方程组的解法就可．
19.【答案】解：原式= 3− 2+2−(2− 2)
= 3− 2+2−2+ 2
= 3．
【解析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】代入消元法
【解析】解：(1)
x−y=3①3x−2y=13②，
由①变形得x=y+3③，
将③代入②得，3(y+3)−2y=13，
解得y=4，将y=4代入③得x=7，
∴方程组的解为：x=7y=4．
∴完成框图中解方程组的过程如下：

(2)上面框图所示的解方程组的方法的名称是：代入消元法，
故答案为：代入消元法．
根据代入消元法解二元一次方程组的步骤依次计算可得．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21.【答案】2+2x<3x 2x−3x<−2 −x<−2 >2 不等式两边同乘(或除)一个负数，不等号改变方向
【解析】解：去分母得2(1+x)<3x，
去括号，得2+2x<3x，
移项，得2x−3x<−2，
合并同类项，得−x<−2；
系数化1，得x>2.(不等式两边同乘(或除)一个负数，不等号改变方向)，
故答案为：2+2x<3x；2x−3x<−2，−x<−2，>2.不等式两边同乘(或除)一个负数，不等号改变方向．
利用不等式的性质，先去分母，再去括号得到2+2x<3x，然后移项、合并，最后把x的系数化为1即可．
本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质和解一元一次方程的基本步骤是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)直角坐标系如图所示．
景仁宫的坐标为(2,4)；
(2)点P的位置如图所示．
【解析】(1)根据题意根据平面直角坐标系即可解决问题；
(2)根据点P的坐标描出点P即可；
本题考查坐标确定位置、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会根据平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：∠EDC；垂直的定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【解答】
证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1+∠EDC=90°(垂直的定义)．
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴∠EDC=∠2(同角的余角相等)．
∴DE//BC(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：∠EDC；垂直的定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】
本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：2x+3y=15.55x+6y=35，
解得：x=4y=2.5，
∴3x+5y=24.5．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入3x+5y中即可得出结论．
25.【答案】18 96
【解析】解：(1)调查人数为：80÷40%=200(人)，
选择“其它”的部分所对应的圆心角度数为：360°×10200=18°，
故答案为：18；
(2)选择“科普常识”的人数为：300×30%=90(人)，补全图形统计图如下：

(3)480×40200=96(人)，
故答案为：96．
(1)从两个统计图可知，样本中选择“小说”的有80人，占调查人数的40%，由频率=频数总数即可求出调查人数，进而求出选择“其它”的学生所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
(2)求出样本中学生选择“科普常识”的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出样本中选择“漫画”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“漫画”的学生所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
26.【答案】解：(1)∵四边形CDEF是矩形，
∴E点的位置如图，
∴E(−1,3)．

(2)①当E′落在线段AB上时，

此时E′(5,3)，
由E(−1,3)移动至E′(5,3)共移动6个单位，
∴t=6；
②当t≤2时，此时重合部分无整点，不符合题意；

当2
当3
当4
当t=5时，此时重合部分有两个整点，不符合题意；

当5
当t=6时，此时重合部分有两个整点，不符合题意；

当6
当t=7时，此时重合部分有两个整点，不符合题意；

当7
当8≤t<9时，此时重合部分有一个整点，不符合题意；

当t≥9时，重合部分无整点，不符合题意．
综上所述，当4【解析】(1)画出矩形，即可写出E的坐标；
(2)画出E在线段AB上的位置，即可求出t的值；
(3)分成t≤2，2本题主要考查了平面直角坐标系中的图形．本题最后一问的易错点是t的范围的设定不合适，有遗漏取值或者重复取值的情况．
27.【答案】(1)①如图；

②过点F作FH//BC，
∴FH//BC//DE，
∴∠BCF=∠CFH，∠EDF=∠DFH，
∴∠DFC=∠CFH+∠DFH=∠BCF+∠EDF，
∴γ=β+α．
(2)当点F不在线段BE上时，有两种情况；
当F在射线EA上时，过点F作FH//CD，如图，

∴FH//CD//BC，
∴∠BCF=∠CFH，∠EDF=∠DFH，
∴∠CFH=∠CFD+∠DFH，即∠BCF=∠CFD+∠EDF，
∴β=γ+α，
当F在点B上方时，过点F作FH//BC，如图，

∴FH//CD//BC，
∴∠EDF=∠DFH，∠BCF=∠CFH，
∴∠DFH=∠DFC+∠CFH，即∠EDF=∠DFC+∠BCF，
∴α=γ+β，
综上所述，α，β，γ的数量关系为α+γ=β或β+γ=α．
【解析】(1)①根据题意不全图形即可，如图；
②过点F作FH//BC，构造内错角相等即可得出结论．
(2)分两种情况，作出辅助线构造平行即可解答．
本题考查平行线的性质，解题关键是正确作出辅助线，构造平行．
28.【答案】(−1,32)；
【解析】解：(1)∵点A(2,1)，
∴根据定义点A的“关联点”是：(12×2−2,12×1+1)，即(−1,32)，
故答案为：(−1,32)；
(2)设C(a,b)，
∴点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点C′，
∴C′(a+2,b−3)，
∴点C′的“关联点”是[12(a+2)−2,12(b−3)+1]，
∵点C与点C′的“关联点”互相重合，
∴12(a+2)−2=a，12(b−3)+1=b，
解得：a=−2，b=−1，
∴C(−2,−1)；
(3)设点D(n,−2)，
∴点D(n,−2)的“关联点”D′(12n−2,0)，
∵线段DD′与y轴有公共点，
∴D、D′两个点的横坐标异号，
∴n≥012n−2≤0或n≤012n−2≥0，
解得：0≤n≤4，
∴n的取值范围是0≤n≤4．
(1)根据已知中的定义代入点A的坐标即可求得关联点的坐标；
(2)根据坐标平移规律C′坐标，根据定义可求得C′关联点，由题意列方程可解决；
(3)根据题意求得关联点，如果线段DD′与y轴有公共点则，D、D′两个点的横坐标异号，列不等式即可解决．
本题考查平面直角坐标系中点的特征，坐标平移的规律左减右加，上加下减，提议所给的定义建立方程或不等式是解决问题的关键．