2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若二次根式 2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≤3 B. x≥3 C. x<3 D. x≠3
3. 若关于x的方程(m−2)xm2−2+x+1=0是一元二次方程，则m的值是(    )
A. m=3 B. m=2 C. m=−2 D. m=±2
4. 若分式x−2x+1的值为0，则x的值为(    )
A. 2 B. −1 C. 0或2 D. −1或2
5. 刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是(    )
A. AB//CD，AB=CD B. ∠B=∠D，∠A=∠C
C. AB//CD，AD=BC D. AB=CD，BC=AD
6. 如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A(1,0)，C(3,0)，则△OAB与△OCD的面积比是(    )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9


7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=2x(x>0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A(5,0)，点B(8,4).若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时，点A′的坐标为(    )
A. ( 5,2 5)
B. (2 53,103)
C. (2,2 5)
D. (3,5)


二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算： 13× 6= ______ ．
10. 若ab=13，则分式aa−b的值为______ ．
11. 一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大盘重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球______ 个.
12. 关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
13. 如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O.此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为______ m.


14. 如果a是方程x2−2x−2=0的一个实数根，则2a2−4a−1的值为______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D.点E，F分别是AB，AD的中点，则EF的长为______ ．


16. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=CD=4.点M在边AB上，且AM=CM=3.点E，F分别在AB，AD上，且CF⊥DE，垂足为G，则CFDE的值为______ ．


三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 32−4 12+ 2；
(2)( 5−1)2+ 15÷ 3．
18. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)12(x−3)2=18；
(2)x2−4x−5=0．
19. (本小题5.0分)
解方程：2x−2+6xx2−4=3x+2．
20. (本小题6.0分)
化简求值：1−a−2a÷a2−4a2+a，其中a= 5−2．
21. (本小题8.0分)
某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查(每位参与调查的学生均要完成两项调查)，并对数据进行了收集、整理与描述，形成了如下调查报告：

请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生有______ 人，这些学生中选择“跑步”的学生有______ 人；
(2)估计该校1200名学生中，平均每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数；
(3)请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
22. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．

23. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A(2n−1,6)和点B(3,3n−1)，与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出关于x的不等式：mx>kx+b的解集．

24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．
(1)求证：△AED∽△ADC；
(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．

25. (本小题10.0分)
定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点N顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”.例如.点(−1,1)是原点O关于函数y=x图象的一个“直旋点”
(1)在①(−1,2)②(1,3)③(−3,2)三点中，是原点O关于一次函数y=2x−1图象的“直旋点”的有______ (填序号)；
(2)点M(−2,4)是点N(1,0)关于反比例函数y=kx图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点A(1,3)在反比例函数y=kx图象上，点B是在反比例函数y=kx图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数y=kx的“直旋点”，求点B的坐标．

26. (本小题10.0分)
如图1，已知正方形ABCD，AB=3，E是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD于点G，连接AG，AF．
(1)求∠EAG的度数；
(2)如图2，连接CF，若CF//AG，求线段BE的长；
(3)如图3，在点E运动过程中，作∠GEC的平分线EH交AG延长线于H，若S△AGE：S△EGH=4：1，请直接写出线段BE的长．


27. (本小题10.0分)
已知，如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=6，BC=10，点E是射线BA上的动点，点D是边BC上的动点，且BD=DE，射线DE交射线CA于点F．
(1)求证：△ABC∽△DBE；
(2)连接AD，如果△AED是以AE为腰的等腰三角形，求线段BD的长；
(3)如图2，当点E在边AB上时，连接BF，CE，若∠BFD=∠ACE，线段BD的长为______ ．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：由题意得：2x−6≥0，
解得：x≥3，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得2x−6≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

3.【答案】C 
【解析】解：∵关于x的方程(m−2)xm2−2+x+1=0是一元二次方程，
∴m−2≠0且m2−2=2，
解得：m=−2，
故选：C．
根据一元二次方程的定义得出m−2≠0且m2−2=2，再求出m即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m−2≠0和m2−2=2是解此题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：由题意，得x−2=0，且x+1≠0，
∴x=2，
故选：A．
根据分式值为0，分子等于0，且分母不等于0，求解即可．
本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
C、不能进行判定，故此选项符合题意；
D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．

6.【答案】D 
【解析】解：∵A(1,0)，C(3,0)，
∴OA=1，OC=3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC=1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：D．
根据已知，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．

7.【答案】B 
【解析】解：设AB、CD交于点E，
∵点A在函数y=2x(x>0)的图象上，
∴可设点A的坐标为(m,2m) (m>0)，
∴AB=2m，
∵CD垂直平分AB，
∴BE=12AB，
又∵AB⊥x轴，
∴点E的坐标为(m,1m)，
∴点D的纵坐标为1m，
∵点D在函数y=2x(x>0)的图象上，
∴点D的横坐标应为21m=2m，
∴D(2m,1m)，
∴CD=2m，
∴四边形ABCD的面积=12CD×AE+12CD×BE=12CD(AE+BE)=12CD×AB，
将AB=2m，CD=2m代入上式得：
四边形ABCD的面积=12×2m×2m=2．
故选：B．
设点A的坐标为(m,2m)(m>0)，由CD垂直平分AB得出D(2m,1m)，利用四边形ABCD的面积=12CD×AE+12CD×BE计算即可．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．

8.【答案】A 
【解析】解：过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，
∴∠BNO=90°，
∵点A(5,0)，点B(8,4)，
∴OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，
∴AN=3，
∴ON=8，
∴OB= ON2+BN2= 82+42=4 5，
∵∠ONB=∠AMO=90°，∠AOM=∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴OAOB=AMBN=OMON，
即54 5=AM4=OM8，
∴AM= 5，OM=2 5，
∵将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，
∴OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，
∵∠AMO=∠A′M′O=90°，
∴△AOM≌△A′OM′(AAS)，
∴OM′=OM=2 5，A′M′=AM= 5，
∴A′( 5,2 5)，
故选：A．
过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，先求出ON=8，再证明△AOM∽△BON得出，AM= 5，OM=2 5，再证明∴△AOM≌△A′OM′(AAS)，推出OM′=OM=2 5，A′M′=AM= 5，从而求出点A′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．

9.【答案】 2 
【解析】解： 13× 6
= 63
= 2．
故答案为： 2．
根据二次根式的性质和二次根式的乘法运算计算即可．
本题考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简．

10.【答案】−12 
【解析】解：∵ab=13，
∴设a=k，b=3k(k≠0)，
∴原式=kk−3k
=k−2k
=−12，
故答案为：−12．
根据ab=13，所以设a=k，b=3k(k≠0)，代入分式中化简即可．
本题考查了分式的求值，根据条件设a=k，b=3k(k≠0)是解题的关键．

11.【答案】12 
【解析】解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷0.4=20(个)，
所以袋子中有红球20−8=12(个)，
故答案为：12．
先用白球的个数除以摸到白球的频率稳定值求出球的总个数，继而可得答案．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

12.【答案】m<4 
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m>0，
解得m<4．
故答案为：m<4．
利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

13.【答案】7.5 
【解析】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD//AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴CDAB=ODOB，即2.5AB=66+12=13，
∴AB=3CD=7.5m；
故答案为：7.5．
由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．

14.【答案】3 
【解析】解：把x=a代入方程得a2−2a−2=0，则a2−2a=2，
所以2a2−4a−1=2(a2−2a)−1=2×2−1=3．
故答案为：3．
根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入方程得到a2−2a−2=0，则a2−2a=2，然后把2a2−4a变形为2(a2−2a)，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的计算方法．

15.【答案】56 
【解析】解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= BC2+AC2= 32+42=5，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，
则有12×3×4=12×4×x+12×5×x，
∴x=43，
∴BD=BC−CD=3−43=53，
∵AF=FD，AE=EB，
∴EF=12DB=56．
故答案为：56
过点D作DH⊥AB于点H.证明DC=DH，利用面积法求出DC，再求出BD，利用三角形中位线定理求解．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

16.【答案】2425 
【解析】解：连接DM，AC交于O，
∵AD=CD=4，AM=CM=3，
∴DM垂直平分AC，
∴AC=2AO，DM⊥AC，
∵∠DAE=90°，
∴DM= AM2+AD2=5，
∵S△ADM=12AD⋅AM=12DM⋅AO，
∴AO=AM⋅ADDM=3×45=125，
∴AC=245，
∵DM⊥AC，
∴∠AOM=∠DAE=90°，
∴∠AMO+∠MAO=∠MAO+∠FAC=90°，
∴∠EMD=∠FAC，
∵DE⊥CF，
∴∠DFG+∠FDG=∠ADG+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFG，
∴∠DEM=∠AFC，
∴△EDM∽△FCA，
∴CFDE=ACDM=2455=2425．
故答案为：2425．
连接DM，AC交于O，根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AO，DM⊥AC，根据勾股定理得到DM= AM2+AD2=5，根据三角形的面积公式得到AC=245，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：(1) 32−4 12+ 2
=4 2−2 2+ 2
=3 2；

(2)( 5−1)2+ 15÷ 3
=5+1−2 5+ 5
=6− 5． 
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据完全平方公式进行计算，同时根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

18.【答案】解：(1)12(x−3)2=18，
(x−3)2=36，
x−3=±6，
x−3=6或x−3=−6，
x1=9，x2=−3；
(2)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
x1=5，x2=−1． 
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

19.【答案】解：原方程两边同乘(x2−4)，去分母得：2(x+2)+6x=3(x−2)，
去括号得：2x+4+6x=3x−6，
移项，合并同类项得：5x=−10，
系数化为1得：x=−2，
检验：将x=−2代入(x2−4)中得(−2)2−4=4−4=0，
则x=−2是原分式方程的增根，
故原分式方程无解． 
【解析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程后必须进行检验．

20.【答案】解：原式=1−a−2a⋅a(a+1)(a+2)(a−2)
=1−a+1a+2
=1a+2，
当a= 5−2时，
原式=1 5= 55． 
【解析】先化简，再带入求解．
本题考查了分式的化简及二次根式的运算，因式分解是解题的关键．

21.【答案】200  84 
【解析】解：(1)36÷18%=200(人)，
∴参与本次抽样调查的学生有200人；
200×42%=84(人)，
∴这些学生中选择“跑步”的学生有84人．
故答案为：200，84；
(2)1200×36+83200=714(人)，
∴估计全校平均每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数为714人；
(3)由第一项可知平均每周校外体育锻炼时间x为“6≤x<8”的人数最多，由第二项可知校外锻炼方式中选择“跳绳”的人数最多．(答案不唯一)．
(1)用条形图中A组的人数除以扇形图中A组所占的百分比即可求出参与本次抽样调查的学生，再用调查的学生总数乘以选择“跑步”的学生所占的百分比即可；
(2)用全校学生人数乘以样本中每周校外体育锻炼时间“不少于6小时”的人数占比即可；
(3)由第一项可知平均每周校外体育锻炼时间x为“6≤x<8”的人数最多，“0≤x<4”的人数最少，由第二项可知校外锻炼方式中选择“跳绳”的人数最多，“其他”的人数最少(答案不唯一)．
本题考查了扇形统计图、条形统计图、频率分布表，用样本估计总体，正确读懂统计图表是解题的关键．

22.【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB=∠FOD，
在△BEO和△DFO中，
∠1=∠2OB=OD∠EOB=∠FOD，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
∴OE=OF，
∵AE=CF，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形． 
【解析】由条件可利用ASA，可得OE=OF，则可求得AE=CF，可求得OA=OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边相等、对应角相等)是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(x>0)的图象过点A(2n−1,6)和点B(3,3n−1)，
∴m=6(2n−1)=3(3n−1)，
∴n=1，
∴m=6(2n−1)=6，
∴A(1,6)，B(3,2)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得k+b=63k+b=2，
解得k=−2b=8，
∴一次函数为y=−2x+8，反比例函数为y=6x；
(2)令y=0，则−2x+8=0，
解得x=4，
∴C(4,0)，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12×4×6−12×4×2=8；
(3)观察图象，关于x的不等式：mx>kx+b的解集为03． 
【解析】(1)利用待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
(2)由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC−S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

24.【答案】(1)证明：∵AD=AB，
∴∠ADB=∠B，
∵∠DEC=∠B，
∴∠DEC=∠ADB，
又∵∠DEC+∠AED=180°，∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠AED=∠ADC，
又∵∠EAD=∠DAC，
∴△AED∽△ADC．
(2)解：由(1)可知，△AED∽△ADC，
∴AEAD=ADAC，
∵AE=1，CE=3，
∴AC=4，
将AE、AC的值代入上式，得：AD2=AE×AC=4，故AD=2，
又∵AB=AD，
∴AB=2． 
【解析】(1)利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
(2)利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；(2)利用相似三角形的性质，求出AD的长．

25.【答案】③ 
【解析】解：(1)①点(−1,2)绕原点顺时针旋转90°得点(2,1)，
当x=2时，y=3，
∴点(−1,2)不是一次函数y=2x−1图象的“直旋点”；
②点(1,3)绕原点顺时针旋转90°得点(3,−1)，
当x=3时，y=5，
∴点(1,3)不是一次函数y=2x−1图象的“直旋点”；
③点(−3,2)绕原点顺时针旋转90°得(2,3)，
当x=2时，y=3，
∴点(−3,2)是一次函数y=2x−1图象的“直旋点”；
故答案为：③；
(2)点M(−2,4)绕点N(1,0)顺时针旋转90°得点(5,3)，
∵点M(−2,4)是点N(1,0)关于反比例函数y=kx图象的“直旋点”，
∴3=k5，
∴k=15；
(3)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数为y=3x，
设点B(m,3m)，
∴点B绕点A(1,3)顺时针旋转90°得点(3m−2,4−m)，
∵点B是点A关于函数y=kx的“直旋点”，
∴(3m−2)(4−m)=3，
解得m=6或m=1(舍去)，
∴B(6,12).
(1)根据“直旋点”的定义依次判断即可；
(2)先将点M绕N点顺时针旋转90°的点算出来，再根据“直旋点”的定义即可求解；
(3)根据待定系数求得反比例函数为y=3x，设点B(m,3m)，再将点B绕点A顺时针旋转90°的点表示出来，最后根据“直旋点”的定义即可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式，理解新定义，找出点M绕点N顺时针旋转90°后的点的坐标是解题关键．

26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，点B关于AE对称，
∴AB=AF=AD，∠BAE=∠EAF=12∠BAF，∠B=∠AFE=∠D=90°，
∵AG=AG，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，
∴∠FAG=∠DAG=12∠FAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12∠BAF+12∠DAF=12∠BAD=45°．
(2)∵CF//AG，
∴∠AGF=∠CFG，∠AGD=∠FCG，
∵△AFG≌△ADG，
∴∠AGF=∠AGD，
∴∠GFC=∠FCG，
∴FG=DG=CG=1.5，
设BE=x，则EG=x+1.5，EC=3−x，
∵EC2+CG2=EG2，
∴(3−x)2+1.52=(x+1.5)2，
∴x=1，
即BE=1．
(3)过点H作HM⊥EG，交EG的延长线于点M，HN⊥BC，交BC的延长线于点N，

∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，
∵EH平分∠CEG，
∴∠CEH=∠GEH，
∴∠AEH=12∠BEC=90°，
∵∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠AHE，
∴AE=EH，
∵∠AEB+∠HEN=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEN，
∵∠ABE=∠ENH=90°，
∴△ABE≌△ENH(AAS)，
∴BE=HN，
∵EH平分∠CEG，HM⊥EG，HN⊥BC，
∴MH=HN，
∵S△AEG=12EG⋅AF，S△EGH=12EG⋅MH，
∴S△AEGS△EGH=AFMH=41=4，
∴ABBE=4，
∵AB=3，
∴BE=34． 
【解析】(1)由轴对称的性质可知∠EAB=∠EAF，利用全等三角形的性质证明∠DAG=∠FAG即可解决问题；
(2)证出FG=DG=CG=1.5，设BE=x，则EG=x+1.5，EC=3−x，由勾股定理得出(3−x)2+1.52=(x+1.5)2，则可得出答案；
(3)过点H作HM⊥EG，交EG的延长线于点M，HN⊥BC，交BC的延长线于点N，证明△ABE≌△ENH(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=HN，由角平分线的性质得出MH=HN，根据三角形面积公式可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

27.【答案】2 
【解析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD=DE，
∴∠B=∠BED，
∴∠BED=∠C，
∴△ABC∽△DBE；
(2)解：如图1，

当点E在AB上时，设BD=DE=t，
∵△AED是以AE为腰的三角形，
∴AE=DE=t，
∴BE=6−t，
由(1)得：△ABC∽△DBE；
∴BDDE=ABBC，
∴t6−t=610=35
∴t=94，
∴BD=94，
如图2，

当点E在BA的延长线上，当AD=AE时，
设AE=AD=3x，则BD=DE=5x，
由(2)知：BDBE=35，
∴5x6+3x=35，
∴x=98，
∴BD=5x=458，
如图3，

当AE=AD时，设BD=DE=AE=m，
由BDBE=35得，
m6+m=35，
∴m=9，
∴BD=9，
综上所述：BD=94或458或9；
(3)如图4，

作FG//BC，交BA于点G，作AH⊥BC于H，作FQ⊥BC于Q，作ET⊥BC于T，
可得：△BDE∽△BAC∽△EFG，△BET∽△BAH≌△CAH，△DET∽△DFQ，
∴EFEG=BDBE=ABBC=35，BEBT=ABBH=65，
设BD=DE=3x，则BE=5x，设EF=FG=3y，则EF=5y，
∴5xBT=65，
∴BT=256x，
∴DT=BT−BD=256x−3x=76x，
∴DTDE=76x3x=718，
∴ETDE=5 1118，DQDF=DTDE=718，
∴FQDF=ETDE=5 1118，DQ3(x+y)=718，
∴FQ3(x+y)=5 1118，DQ=7(x+y)6，
∴FQ=5 116⋅(x+y)
∵ACCH=65，
∴ AHCH= 115，
∴FQCQ=AHCH= 115，
∴5 116⋅(x+y)CQ= 115，
∴CQ=256(x+y)，
由BD+DQ+CQ=BC得，
∴3x+76(x+y)+256(x+y)=10，
∴25x+16y=30①，
∵∠ACB=∠EBD=∠BEF=∠BFD+∠FBG，
∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠BFD=∠ACE，
∴∠FBG=∠BCE，
∵∠FGE=∠ABC，
∴△FBG∽△ECB，
∴FGBE=BGBC，
∴3y5x=5(x+y)10②，
由①②得，
x=23y=56，
∴BD=3x=2，
故答案为：2．
(1)可推出∠B=∠BED，∠BED=∠C，从而得出结论；
(2)分为三种情形：当点E在AB上时，设BD=DE=t，则BE=6−t，根据△ABC∽△DBE得出t6−t=610=35，从而求得结果；当点E在BA的延长线上，当AD=AE时，设AE=AD=3x，则BD=DE=5x，根据BDBE=35得出5x6+3x=35，进而求得结果；当AE=AD时，设BD=DE=AE=m，由BDBE=35得出m6+m=35，求得m的值，进一步得出结果；
(3)作FG//BC，交BA于点G，作AH⊥BC于H，作FQ⊥BC于Q，作ET⊥BC于T，可得：△BDE∽△BAC∽△EFG，△BET∽△BAH≌△CAH，△DET∽△DFQ，从而得出比例式，设BD=DE=3x，则BE=5x，设EF=FG=3y，则EF=5y，依次表示出DQ，FQ，CQ，根据BD+DQ+CQ=BC列出3x+76(x+y)+256(x+y)=10①；可得出△FBG∽△ECB，从而FGBE=BGBC，进而得出3y5x=5(x+y)10②，由①②求x的值，进而得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．