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2022-2023学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是( )
A. 0.34×10−5 B. 3.4×106 C. 3.4×10−5 D. 3.4×10−6
3. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. a⋅a2=a3 C. a6÷a2=a3 D. (2a2)3=6a6
4. 已知三角形的两边长分别是5和10，则此三角形第三边长可能是( )
A. 3 B. 5 C. 10 D. 16
5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
6. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是( )
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B. 从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C. 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球的概率
D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
7. 如图，AB//CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1=65°，则∠2的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 57.5°
D. 65°
8. 如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母B所代表的正方形的边长是( )
A. 12cm
B. 15cm
C. 144cm
D. 306cm
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 14
10. 如图1，在四边形ABCD中，AB=8，∠C=90°，DC//AB，动点P从B点出发，沿着B→C→D→A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，下列说法：
①BC⊥AB；
②四边形ABCD的周长是22；
③AD=CD；
④△ABP面积的最大值为16，
其中正确的是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：(a+3)(a−3)= ______ ．
12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______ ．
13. 若x2−mx+25是完全平方式，则m=______．
14. 某电影院地面的一部分为扇形，观众席的座位数按下列方式设置：
排数(x)
1
2
3
4
……
座位数(y)
40
43
46
49
……
若排数x是自变量，y是因变量，则y与x之间的函数关系式为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM=BN；分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F.若CF=2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是______．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=10cm.点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N.当点P运动时间为______ 秒时，△PMC与△QNC全等．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(π−3)0+(13)−1+(−1)2023；
(2)a2⋅a3⋅a+(a2)3+(2a3)2．
18. (本小题6.0分)
先化简再求值：(x+2)2−x(x+1)，其中x=−2．
19. (本小题6.0分)
推理填空．
已知如图，∠1+∠3=180°，∠B=∠D，试说明∠E=∠F.请将下面的解答过程补充完整．
证明：∵∠1=∠2(______ )，
∠1+∠3=180°(已知)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换)，
∴AD//BC(______ )，
∴∠D=∠BCF(______ )，
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠B=∠BCF(______ )，
∴BE//DF(______ )，
∴∠E=∠F(______ )，
20. (本小题8.0分)
如图，现有一个圆形转盘被平均分成6份，分别标有3、4、5、6、7、8这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字(若指针指向分界线，则重新转)，求：
(1)转到数字5是______事件；(填“随机”、“必然”或“不可能”)
(2)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
(3)若小明转动两次后分别转到的数字是3和7，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段(长度单位均相同)，求这三条线段能构成三角形的概率．
21. (本小题8.0分)
已知：如图，A、B、C、D在同一直线上，且AE//DF，AE=DF，AB=CD．
求证：∠E=∠F．
22. (本小题8.0分)
如图，把一块直角三角形ABC(其中∠ACB=90°)土地划出一个△ADC后，测得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米．
(1)根据条件，求AC的长度：
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(3)图中阴影部分土地的面积是______ 平方米．
23. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
(2)求出△ABC的面积．
(3)在直线MN上画出点P，使得△PAC的周长最小．
24. (本小题10.0分)
中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某型无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的函数关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是______ ，因变量是______ ；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是______ 分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______ 米/分钟；
(4)图中a表示的数是______ ；b表示的数是______ ；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
25. (本小题12.0分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1：______ ，方法2：______ ．
观察图2请你写出三个代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系：______ ．
(2)直接应用：根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b=8，a2+b2=34，求ab的值．
②已知(2023−x)2+(x−2021)2=3，求(2023−x)(x−2021)的值．
(3)拓展应用：两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别是x，y，若x2+y2=34，BE=2，求图中阴影部分面积和．
26. (本小题12.0分)
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，线段BD与CE的数量关系是______ ，∠DCE= ______ °.
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，连接CE，请求解下列问题并说明理由：
①∠DCE的度数；
②线段BD，CD，DE之间的数量关系；
(3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，连接CE，BE，若BE=10，BC=6，请直接写出DE2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n的绝对值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此解答即可．
【解答】
解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10−6．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：a2+a2=2a2，
故A不符合题意；
a⋅a2=a3，
故B符合题意；
a6÷a2=a4，
故C不符合题意；
(2a2)3=8a6，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，则10−5
故选：C．
设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可解答．
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率1352=14；故此选项不符合题意；
C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球的概率为13，故此选项符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在35%附近波动，即其概率P≈13，计算四个选项的概率，约为13者即为正确答案．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEC=∠1=65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED=2∠AEC=130°．
∴∠2=180°−∠AED=50°．
故选：B．
根据平行线的性质，由AB//CD，得∠AEC=∠1=65°.根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED=2∠AEC=130°，进而求得∠2=180°−∠AED=50°．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2+EF2=DE2，
∴字母B所代表的正方形的面积=EF2=DE2−DF2=225−81=144(cm2)，
∴字母B所代表的正方形的边长=12cm，
故选：A．
根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解决问题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示．连接AP，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．
连接AF，
∵AB=AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AF=10．
∵BC=4，
∴BF=2，AF=5，
∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．
故选：A．
连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，DC//AB，
∴∠B=90°，
∴BC⊥AB，故①正确；
由图2可知；BC=4，DC=9−4=5，AD=14−9=5，
∴AD=CD，故③正确；
∵AB=8，
∴四边形ABCD的周长是AD+CD+BC+AB=5+5+4+8=22，
故②正确；
当P点在CD上运动是△ABP面积的最大，
△ABP面积的最大为8×4×12=16，故④正确．
故选：D．
由∠C=90°，DC//AB，可判断①；由图2可以得出BC，DC，AD的值，从而判断②和③；当点P在CD边上时，△ABP的面积不变，从而判断④．
本题主要考查动点问题与函数图象等知识点的理解和掌握，正确观察图形得到数据是解此题的关键．
11.【答案】a2−9
【解析】解：原式=a2−32=a2−9．
故答案是：a2−9．
利用平方差公式即可求解．
本题主要考查平方差公式：(1)两个两项式相乘；(2)有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】49
【解析】解：由图可知，黑色方砖4块，共有9块方砖，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是49．
故答案为：49．
用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13.【答案】±10
【解析】解：∵x2−mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故答案为：±10
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】y=3x+37
【解析】解：根据题意得y=40+3(x−1)，
即y=3x+37．
故答案为y=3x+37．
第1排40个座位，以后每增加一个排，座位增加3个，从而可表示出x排的座位数即可．
本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
15.【答案】2
【解析】解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF=FC=2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
如图，过点F作FG⊥AB于G.根据角平分线的性质定理证明GF=FC=2，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】2或6
【解析】解：如图1所示：
∵△PMC≌△QNC，
∴PC=QC，
∴8−t=10−2t，
解得：t=2；
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PMC≌△QNC，
∴8−t=2t−10，
解得：t=6；
故答案为：2或6．
对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(π−3)0+(13)−1+(−1)2023
=1+3−1
=3；
(2)a2⋅a3⋅a+(a2)3+(2a3)2
=a6+a6+4a6
=6a6．
【解析】(1)分别根据零指数幂的定义，负整数指数幂的定义以及有理数的乘方的定义计算即可；
(2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算以及整数的混合运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：原式=x2+4x+4−(x2+x)
=x2+4x+4−x2−x
=3x+4，
当x=−2时，
原式=3×(−2)+4
=−6+4
=−2．
【解析】利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则将原式化简后代入数值计算即可．
本题考查整式的化简求值，利用相关运算法则将原式进行正确的化简是解题的关键．
19.【答案】对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2(对顶角相等 )，
∠1+∠3=180°(已知)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换)，
∴AD//BC( 同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠D=∠BCF(两直线平行，同位角相等)，
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠B=∠BCF( 等量代换)，
∴BE//DF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠E=∠F( 两直线平行，内错角相等 )．
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定得出AD//CB，根据平行线的性质得出∠D=∠BCF，从而∠B=∠BCF，根据平行线的判定得出BE//DF，再由平行线的性质得出∠E=∠F．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】随机
【解析】解：(1)转到数字5是随机事件，
故答案为：随机；
(2)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是36=12；
(3)小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成三角形的有5、6、7、8这4种结果，
所以这三条线段能构成三角形的概率为46=23．
(1)根据随机事件的概念求解即可；
(2)直接根据概率公式求解即可；
(3)转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成三角形的有5、6、7、8这4种结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查随机事件以及概率的计算，理解必然事件，不可能事件、随机事件的意义是正确判断的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是计算相应事件发生概率的关键．
21.【答案】证明：∵AE//DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△EAC和△FDB中，
AE=DF∠A=∠DAC=DB，
∴△EAC≌△FDB(SAS)，
∴∠E=∠F．
【解析】根据AE//DF，可以得到∠A=∠D，再根据AB=CD，可以得到AC=DB，然后即可证明△EAC和△FDB全等，从而可以得到∠E=∠F．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
22.【答案】24
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)；
(2)△ACD是直角三角形，
理由：∵CD=3米，AD=4米，AC=5米
∴AD2+CD2=AC2=25，
∴∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形；
(3)S阴影=S△ABC−S△ACD
=12AC⋅BC−12AD⋅CD
=12×5×12−12×4×3
=30−6
=24(平方米)．
故答案为：24．
(1)利用勾股定理即可求解；
(2)利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；
(3)由S阴影=S△ABC−S△ACD，结合三角形面积公式解答．
本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23.【答案】解：(1)如图：△A′B′C′即为所求；
(2)△ABC的面积为：
S=3×3−12×2×3−12×2×1−12×1×3=72；
∴△ABC的面积为72；
(3)如图：连接AC′交MN于点P，则点P即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′，再依次连接起来，即可得出答案；
(2)利用割补法求解可得；
(3)路线最短问题，连接AC′与MN的交点即为所求．
此题主要考查了轴对称变换、坐标系中三角形面积的计算以及路线最短问题，正确得出对应点位置是解题的关键．
24.【答案】时间(或t) 高度(或h) 5 25 2 15
【解析】解：(1)由图象可知，图中的自变量是时间(或t)，因变量高度(或h)；
故答案为：时间(或t)，高度(或h)；
(2)由图可知，无人机在75米高的上空停留的时间为12−7=5(分钟)；
故答案为：5；
(3)由图可知，6～7分钟，无人机从50米上升到75米，
∵无人机上升和下降过程中速度相同，
∴在上升或下降过程中，无人机的速度为75−507−6=25(米/分钟)；
故答案为：25；
(4)无人机从0上升到50米所需时间为5025=2(分钟)，
∴图中a表示的数是2，
无人机从75米下降到0所需时间为7525=3(分钟)，
∴b表示的数是12+3=15；
故答案为：2，15；
(5)第14分钟时无人机的飞行高度为75−25×(14−12)=25(米)，
∴第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
(1)根据函数图象即可得出自变量和因变量；
(2)利用函数图象即可求解；
(3)利用“速度=路程÷时间”即可解答；
(4)利用“时间=路程÷速度即可求解”；
(5)根据该点的实际意义即可解答．
本题主要考查函数的图象，利用数形结合思想，从函数图象中获取答题所必要的信息是解题关键．
25.【答案】(a+b)2 a2+b2+2ab (a+b)2=a2+b2+2ab
【解析】解：(1)方法1：(a+b)2，方法2：a2+b2+2ab，
观察图2请你写出三个代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab，
故答案为：(a+b)2，a2+b2+2ab，(a+b)2=a2+b2+2ab；
(2)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
又a+b=8，a2+b2=34，
∴2ab=64−34=30，
∴ab=15；
②令2023−x=a，x−2021=b，
∴a2+b2=3，a+b=2023−x+x−2021=2，
∴2ab=22−3，
ab=12，
∴(2023−x)(x−2021)=12；
(3)由题知：x−y=BE=2，x2+y2=34，
∴2xy=34−22=30，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=34+30=64，
∴x+y=8，
图中阴影部分面积为：2y÷2+(x−y)x÷2=y+x=8．
(1)根据图形可得图2大正方形的面积表示为(a+b)2或a2+b2+2ab；
(2)①由a+b=8，a2+b2=34，直接根据(a+b)2=a2+b2+2ab即可求出答案；
②用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设a=2023−x，b=x−2021，则a+b=2，a2+b2=3，利用等量关系求出ab即可求解；
(3)根据图形得到DG=BE=2，x−y=2，利用完全平方公式分别求得xy和x+y即可求解．
本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
26.【答案】BD=CE 120
【解析】解：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°，
故答案为：BD=CE，120；
(2)①∠DCE=90°，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠B=∠ACD=45°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=90°；
②BD2+CD2=DE2，理由如下：
由①可知，∠DCE=90°，BD=CE，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
(3)同(2)得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°，
∴CE= BE2−BC2= 102−62=8，
∴BD=CE=8，
∴CD=BD−BC=8−6=2，
∵∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE2=CE2+CD2=82+22=68，
即DE2的值为68．
(1)由等边三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°，∠BAC=∠DAE=60°，再证∠BAD=∠CAE，然后证△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
(2)①由等腰直角三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，再证△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
②由①可知，∠DCE=90°，BD=CE，再由勾股定理得CE2+CD2=DE2，即可得出结论；
(3)同(2)得△ABD≌△ACE(SAS)，则∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，再证∠BCE=90°，则CE=8，然后由勾股定理即可得出结论．
此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是是解题的关键，属于中考常考题型．
2022-2023学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是( )
A. 0.34×10−5 B. 3.4×106 C. 3.4×10−5 D. 3.4×10−6
3. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. a⋅a2=a3 C. a6÷a2=a3 D. (2a2)3=6a6
4. 已知三角形的两边长分别是5和10，则此三角形第三边长可能是( )
A. 3 B. 5 C. 10 D. 16
5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
6. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是( )
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B. 从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C. 从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球的概率
D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
7. 如图，AB//CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1=65°，则∠2的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 57.5°
D. 65°
8. 如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母B所代表的正方形的边长是( )
A. 12cm
B. 15cm
C. 144cm
D. 306cm
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 14
10. 如图1，在四边形ABCD中，AB=8，∠C=90°，DC//AB，动点P从B点出发，沿着B→C→D→A向终点A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y与x的关系如图2所示，下列说法：
①BC⊥AB；
②四边形ABCD的周长是22；
③AD=CD；
④△ABP面积的最大值为16，
其中正确的是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：(a+3)(a−3)= ______ ．
12. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______ ．
13. 若x2−mx+25是完全平方式，则m=______．
14. 某电影院地面的一部分为扇形，观众席的座位数按下列方式设置：
排数(x)
1
2
3
4
……
座位数(y)
40
43
46
49
……
若排数x是自变量，y是因变量，则y与x之间的函数关系式为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM=BN；分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F.若CF=2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是______．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=10cm.点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N.当点P运动时间为______ 秒时，△PMC与△QNC全等．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(π−3)0+(13)−1+(−1)2023；
(2)a2⋅a3⋅a+(a2)3+(2a3)2．
18. (本小题6.0分)
先化简再求值：(x+2)2−x(x+1)，其中x=−2．
19. (本小题6.0分)
推理填空．
已知如图，∠1+∠3=180°，∠B=∠D，试说明∠E=∠F.请将下面的解答过程补充完整．
证明：∵∠1=∠2(______ )，
∠1+∠3=180°(已知)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换)，
∴AD//BC(______ )，
∴∠D=∠BCF(______ )，
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠B=∠BCF(______ )，
∴BE//DF(______ )，
∴∠E=∠F(______ )，
20. (本小题8.0分)
如图，现有一个圆形转盘被平均分成6份，分别标有3、4、5、6、7、8这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字(若指针指向分界线，则重新转)，求：
(1)转到数字5是______事件；(填“随机”、“必然”或“不可能”)
(2)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
(3)若小明转动两次后分别转到的数字是3和7，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段(长度单位均相同)，求这三条线段能构成三角形的概率．
21. (本小题8.0分)
已知：如图，A、B、C、D在同一直线上，且AE//DF，AE=DF，AB=CD．
求证：∠E=∠F．
22. (本小题8.0分)
如图，把一块直角三角形ABC(其中∠ACB=90°)土地划出一个△ADC后，测得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米．
(1)根据条件，求AC的长度：
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(3)图中阴影部分土地的面积是______ 平方米．
23. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
(2)求出△ABC的面积．
(3)在直线MN上画出点P，使得△PAC的周长最小．
24. (本小题10.0分)
中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某型无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的函数关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是______ ，因变量是______ ；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是______ 分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______ 米/分钟；
(4)图中a表示的数是______ ；b表示的数是______ ；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
25. (本小题12.0分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1：______ ，方法2：______ ．
观察图2请你写出三个代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系：______ ．
(2)直接应用：根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b=8，a2+b2=34，求ab的值．
②已知(2023−x)2+(x−2021)2=3，求(2023−x)(x−2021)的值．
(3)拓展应用：两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别是x，y，若x2+y2=34，BE=2，求图中阴影部分面积和．
26. (本小题12.0分)
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，线段BD与CE的数量关系是______ ，∠DCE= ______ °.
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，连接CE，请求解下列问题并说明理由：
①∠DCE的度数；
②线段BD，CD，DE之间的数量关系；
(3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，连接CE，BE，若BE=10，BC=6，请直接写出DE2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n的绝对值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此解答即可．
【解答】
解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10−6．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：a2+a2=2a2，
故A不符合题意；
a⋅a2=a3，
故B符合题意；
a6÷a2=a4，
故C不符合题意；
(2a2)3=8a6，
故D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，则10−5
故选：C．
设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可解答．
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率1352=14；故此选项不符合题意；
C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球的概率为13，故此选项符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在35%附近波动，即其概率P≈13，计算四个选项的概率，约为13者即为正确答案．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEC=∠1=65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED=2∠AEC=130°．
∴∠2=180°−∠AED=50°．
故选：B．
根据平行线的性质，由AB//CD，得∠AEC=∠1=65°.根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED=2∠AEC=130°，进而求得∠2=180°−∠AED=50°．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2+EF2=DE2，
∴字母B所代表的正方形的面积=EF2=DE2−DF2=225−81=144(cm2)，
∴字母B所代表的正方形的边长=12cm，
故选：A．
根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解决问题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示．连接AP，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．
连接AF，
∵AB=AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AF=10．
∵BC=4，
∴BF=2，AF=5，
∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．
故选：A．
连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，DC//AB，
∴∠B=90°，
∴BC⊥AB，故①正确；
由图2可知；BC=4，DC=9−4=5，AD=14−9=5，
∴AD=CD，故③正确；
∵AB=8，
∴四边形ABCD的周长是AD+CD+BC+AB=5+5+4+8=22，
故②正确；
当P点在CD上运动是△ABP面积的最大，
△ABP面积的最大为8×4×12=16，故④正确．
故选：D．
由∠C=90°，DC//AB，可判断①；由图2可以得出BC，DC，AD的值，从而判断②和③；当点P在CD边上时，△ABP的面积不变，从而判断④．
本题主要考查动点问题与函数图象等知识点的理解和掌握，正确观察图形得到数据是解此题的关键．
11.【答案】a2−9
【解析】解：原式=a2−32=a2−9．
故答案是：a2−9．
利用平方差公式即可求解．
本题主要考查平方差公式：(1)两个两项式相乘；(2)有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】49
【解析】解：由图可知，黑色方砖4块，共有9块方砖，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是49．
故答案为：49．
用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
13.【答案】±10
【解析】解：∵x2−mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故答案为：±10
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】y=3x+37
【解析】解：根据题意得y=40+3(x−1)，
即y=3x+37．
故答案为y=3x+37．
第1排40个座位，以后每增加一个排，座位增加3个，从而可表示出x排的座位数即可．
本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
15.【答案】2
【解析】解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF=FC=2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
如图，过点F作FG⊥AB于G.根据角平分线的性质定理证明GF=FC=2，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】2或6
【解析】解：如图1所示：
∵△PMC≌△QNC，
∴PC=QC，
∴8−t=10−2t，
解得：t=2；
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PMC≌△QNC，
∴8−t=2t−10，
解得：t=6；
故答案为：2或6．
对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(π−3)0+(13)−1+(−1)2023
=1+3−1
=3；
(2)a2⋅a3⋅a+(a2)3+(2a3)2
=a6+a6+4a6
=6a6．
【解析】(1)分别根据零指数幂的定义，负整数指数幂的定义以及有理数的乘方的定义计算即可；
(2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算以及整数的混合运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：原式=x2+4x+4−(x2+x)
=x2+4x+4−x2−x
=3x+4，
当x=−2时，
原式=3×(−2)+4
=−6+4
=−2．
【解析】利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则将原式化简后代入数值计算即可．
本题考查整式的化简求值，利用相关运算法则将原式进行正确的化简是解题的关键．
19.【答案】对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1=∠2(对顶角相等 )，
∠1+∠3=180°(已知)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换)，
∴AD//BC( 同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠D=∠BCF(两直线平行，同位角相等)，
∵∠B=∠D(已知)，
∴∠B=∠BCF( 等量代换)，
∴BE//DF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠E=∠F( 两直线平行，内错角相等 )．
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定得出AD//CB，根据平行线的性质得出∠D=∠BCF，从而∠B=∠BCF，根据平行线的判定得出BE//DF，再由平行线的性质得出∠E=∠F．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】随机
【解析】解：(1)转到数字5是随机事件，
故答案为：随机；
(2)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是36=12；
(3)小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成三角形的有5、6、7、8这4种结果，
所以这三条线段能构成三角形的概率为46=23．
(1)根据随机事件的概念求解即可；
(2)直接根据概率公式求解即可；
(3)转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成三角形的有5、6、7、8这4种结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查随机事件以及概率的计算，理解必然事件，不可能事件、随机事件的意义是正确判断的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是计算相应事件发生概率的关键．
21.【答案】证明：∵AE//DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△EAC和△FDB中，
AE=DF∠A=∠DAC=DB，
∴△EAC≌△FDB(SAS)，
∴∠E=∠F．
【解析】根据AE//DF，可以得到∠A=∠D，再根据AB=CD，可以得到AC=DB，然后即可证明△EAC和△FDB全等，从而可以得到∠E=∠F．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
22.【答案】24
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)；
(2)△ACD是直角三角形，
理由：∵CD=3米，AD=4米，AC=5米
∴AD2+CD2=AC2=25，
∴∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形；
(3)S阴影=S△ABC−S△ACD
=12AC⋅BC−12AD⋅CD
=12×5×12−12×4×3
=30−6
=24(平方米)．
故答案为：24．
(1)利用勾股定理即可求解；
(2)利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形；
(3)由S阴影=S△ABC−S△ACD，结合三角形面积公式解答．
本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23.【答案】解：(1)如图：△A′B′C′即为所求；
(2)△ABC的面积为：
S=3×3−12×2×3−12×2×1−12×1×3=72；
∴△ABC的面积为72；
(3)如图：连接AC′交MN于点P，则点P即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′，再依次连接起来，即可得出答案；
(2)利用割补法求解可得；
(3)路线最短问题，连接AC′与MN的交点即为所求．
此题主要考查了轴对称变换、坐标系中三角形面积的计算以及路线最短问题，正确得出对应点位置是解题的关键．
24.【答案】时间(或t) 高度(或h) 5 25 2 15
【解析】解：(1)由图象可知，图中的自变量是时间(或t)，因变量高度(或h)；
故答案为：时间(或t)，高度(或h)；
(2)由图可知，无人机在75米高的上空停留的时间为12−7=5(分钟)；
故答案为：5；
(3)由图可知，6～7分钟，无人机从50米上升到75米，
∵无人机上升和下降过程中速度相同，
∴在上升或下降过程中，无人机的速度为75−507−6=25(米/分钟)；
故答案为：25；
(4)无人机从0上升到50米所需时间为5025=2(分钟)，
∴图中a表示的数是2，
无人机从75米下降到0所需时间为7525=3(分钟)，
∴b表示的数是12+3=15；
故答案为：2，15；
(5)第14分钟时无人机的飞行高度为75−25×(14−12)=25(米)，
∴第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
(1)根据函数图象即可得出自变量和因变量；
(2)利用函数图象即可求解；
(3)利用“速度=路程÷时间”即可解答；
(4)利用“时间=路程÷速度即可求解”；
(5)根据该点的实际意义即可解答．
本题主要考查函数的图象，利用数形结合思想，从函数图象中获取答题所必要的信息是解题关键．
25.【答案】(a+b)2 a2+b2+2ab (a+b)2=a2+b2+2ab
【解析】解：(1)方法1：(a+b)2，方法2：a2+b2+2ab，
观察图2请你写出三个代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab，
故答案为：(a+b)2，a2+b2+2ab，(a+b)2=a2+b2+2ab；
(2)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
又a+b=8，a2+b2=34，
∴2ab=64−34=30，
∴ab=15；
②令2023−x=a，x−2021=b，
∴a2+b2=3，a+b=2023−x+x−2021=2，
∴2ab=22−3，
ab=12，
∴(2023−x)(x−2021)=12；
(3)由题知：x−y=BE=2，x2+y2=34，
∴2xy=34−22=30，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=34+30=64，
∴x+y=8，
图中阴影部分面积为：2y÷2+(x−y)x÷2=y+x=8．
(1)根据图形可得图2大正方形的面积表示为(a+b)2或a2+b2+2ab；
(2)①由a+b=8，a2+b2=34，直接根据(a+b)2=a2+b2+2ab即可求出答案；
②用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设a=2023−x，b=x−2021，则a+b=2，a2+b2=3，利用等量关系求出ab即可求解；
(3)根据图形得到DG=BE=2，x−y=2，利用完全平方公式分别求得xy和x+y即可求解．
本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
26.【答案】BD=CE 120
【解析】解：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°，
故答案为：BD=CE，120；
(2)①∠DCE=90°，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠B=∠ACD=45°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=90°；
②BD2+CD2=DE2，理由如下：
由①可知，∠DCE=90°，BD=CE，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
(3)同(2)得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°，
∴CE= BE2−BC2= 102−62=8，
∴BD=CE=8，
∴CD=BD−BC=8−6=2，
∵∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE2=CE2+CD2=82+22=68，
即DE2的值为68．
(1)由等边三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°，∠BAC=∠DAE=60°，再证∠BAD=∠CAE，然后证△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
(2)①由等腰直角三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，再证△ABD≌△ACE(SAS)，即可解决问题；
②由①可知，∠DCE=90°，BD=CE，再由勾股定理得CE2+CD2=DE2，即可得出结论；
(3)同(2)得△ABD≌△ACE(SAS)，则∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，再证∠BCE=90°，则CE=8，然后由勾股定理即可得出结论．
此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是是解题的关键，属于中考常考题型．
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