2023年广东省江门实验中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省江门实验中学中考数学一模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省江门实验中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的相反数是(    )
A. −13 B. 13 C. 3 D. −3
2. 2020年新冠病毒肆虐全球，据报道，截止至2020年4月11日，全球新冠肺炎确诊病例达1700000人，将1700000用科学记数法表示正确的是(    )
A. 170×104 B. 17×105 C. 1.7×106 D. 0.17×107
3. 物体的形状如图所示，则此物体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 方程kx−4=0的根是x=1，则k的值是(    )
A. −4 B. −1 C. 4 D. −3
5. 如图，∠1=∠2，∠D=50°，则∠B的度数为(    )
A. 50°
B. 40°
C. 100°
D. 130°


6. 若x、y为实数，且满足(x+3)2+ y−3=0，则(xy)2020的值为(    )
A. 1 B. −1 C. 1或−1 D. 无法确定
7. 小明在九年级进行的五次数学中考模拟测验成绩如下(单位：分)：76、82、84、85、85，则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为(    )
A. 85，76 B. 84，85 C. 85，85 D. 85，84
8. 不等式组2−3x≥−1,x−1≥−2(x+2)的解集为(    )
A. 无解 B. x≤1 C. x≥−1 D. −1≤x≤1
9. 一次函数y=x−2的图象大致是(    )
A. B. C. D.
10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，下列结论：
①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，
正确的有(    )


A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若1x−4在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是          ．
12. 反比例函数y=kx经过点(2,3)，则k=______．
13. 分解因式：x3−9x=          ．
14. 如图，AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=2 3，则阴影部分面积为______ ．


15. 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推，可求得阴影部分的面积是126，受此启发，12+14+18+⋯+126的值为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：( 2−2020)0− 8+4sin45°．
17. (本小题8.0分)
为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同.求这种药品每次降价的百分率是多少？
18. (本小题8.0分)
有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、−3.B组有二张，分别标有数字−1、2.小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为(x,y)．
(1)用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标；
(2)求点P落在第一象限的概率．
19. (本小题9.0分)
关于x的一元二次方程x2−3x−k+1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x12+x22=3，求k的值．
20. (本小题9.0分)
如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2．
(1)试说明△ACD≌△CBE；
(2)求BE多长？

21. (本小题9.0分)
小红和小亮相约周六去登山，小红从北坡山脚C处出发，已知小山北坡的坡度i=1： 3，坡面AC长240米．同时李强从南坡山脚B处出发，南坡的坡角是45°，
(1)尺规作图作AD⊥BC于点D；
(2)求两人出发前的水平距离．

22. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6⋅点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值．
(2)在(1)的条件下，证明：FG是圆O的切线．

23. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−2经过点A(4,0)、B(1,0)两点，点C为抛物线与y轴的交点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
根据相反数的概念解答即可．
【解答】
解：−3的相反数是3．  
2.【答案】C 
【解析】解：1700000=1.7×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1700000有7位，所以可以确定n=7−1=6．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3.【答案】C 
【解析】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体，故选C．
根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4.【答案】C 
【解析】解：把x=1代入方程得k−4=0，
解得k=4．
故选：C．
根据一元一次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程k−4=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解．

5.【答案】D 
【解析】解：如图所示：

∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB/​/CD，
∴∠B+∠D=180°，
又∵∠D=50°，
∴∠B=130°，
故选：D．
本题由对顶角相等得∠1=∠3，等量代换得∠2=∠3，根据同位角相等，判定AB/​/CD，其性质得∠B+∠D=180°，最后由角的和差计算得∠B=130°．
本题综合考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的判定与性质；难点是一题多解几种方法证明两直线平行．

6.【答案】A 
【解析】解：∵(x+3)2+ y−3=0，
∴x+3=0，y−3=0，
解得：x=−3，y=3，
则(xy)2020=1．
故选：A．
直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用有理数的乘方运算法则进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．

7.【答案】D 
【解析】解：众数出现次数最多的数，85出现了2次，次数最多，所以众数是85，
把所有的数从小到大排列：76，82，84，85，85，位置处于中间的数是：84，因此中位数是84．
故选：D．
根据众数的定义：出现次数最多的数；中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数；即可得到答案．
此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】
解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，
解不等式x−1≥−2(x+2)，得：x≥−1，
则不等式组的解集为−1≤x≤1，
故选D．  
9.【答案】C 
【解析】解：∵一次函数y=x−2中的x的系数为1，1>0，
∴该函数图象经过第一、三象限．
又∵−2<0，
∴该函数图象与y轴交于负半轴，
综上所述，该函数图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
根据一次函数y=ax+b中的a、b的符号来判定其图象所经过的象限．
此题考查了一次函数的图象，要求学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②正确；
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a=1，可得b=−2a，
由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，
∴4a−2×(−2a)+c<0，
即8a+c<0，故③正确；
由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，
两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确．
∴结论正确的有3个．
故选：B．  
11.【答案】x≠4 
【解析】解：由题意可得x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．

12.【答案】6 
【解析】解：∵反比例函数y=kx经过点(2,3)，
∴3=k2，解得k=6．
故答案为：6．
直接把点(2,3)代入反比例函数y=kx求出k的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

13.【答案】x(x+3)(x−3) 
【解析】解：原式=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)，
故答案为：x(x+3)(x−3)．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．

14.【答案】43π 
【解析】解：∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠AOC=120°，
∵E为OB的中点，OB过O，CD=2 3，
∴CE=DE= 3，∠OEC=90°，
∴OC=CEsin60∘=2，
∴阴影部分的面积为120π×22360=43π，
故答案为：43π.
根据圆周角定理求出∠COB，求出∠AOC，根据垂径定理求出∠OEC=90°，CE=2 3，解直角三角形求出OC，根据扇形面积公式求出即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，扇形面积公式等知识点，能求出线段OC的长和∠AOC的度数是解此题的关键．

15.【答案】6364 
【解析】解：∵部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，
∴阴影部分的面积是(12)6=164，
∴12+14+18+⋯+126=1−(12)6=1−164=6364．
故答案为：6364．
根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出所求式子的值．
本题考查图形的变化类，根据图形的面积关系，列出等式，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想．

16.【答案】解：原式=1−2 2+4× 22
=1−2 2+2 2
=1． 
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

17.【答案】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：200(1−x)2=128．
解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
答：这种药品每次降价的百分率是20%． 
【解析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18.【答案】解：(1)画树状图为：

共有6种等可能的结果数，它们是(1,−1)，(1,2)，(2,−1)，(2,2)，(−3,−1)，(−3,2)；
(2)P点在第一象限的结果为2，
所以点P落在第一象限的概率=26=13． 
【解析】(1)利用画树状图展示所有6种等可能的结果数；
(2)利用第一象限点的坐标特征得到P点在第一象限的结果，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

19.【答案】解：(1)∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
∵a=1，b=−3，c=−k+1，
∴Δ=b2−4ac=9−4(−k+1)>0，
解得：k>−54，
∴k的取值范围k>−54；
(2)∵x1+x2=3，x1x2=−k+1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=3，
∴9+2k−2=3，
解得k=−2，
∵k>−54，
∴k的值不存在． 
【解析】(1)根据根的判别式Δ>0即可求解；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=−k+1，即可求解．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解不等式的综合运用，掌握一元二次方程中根的判别式的含义，解一元一次不等式是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC．
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB．
在△ADC和△CEB中，
∠DAC=∠ECB∠ADC=∠CEBAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
(2)解：由(1)得△ADC≌△CEB，
∴BE=CD=2． 
【解析】(1)根据已知易得∠ACB=90°，AC=BC，再由AD⊥CP，BE⊥CP，利用同角的余角相等易得∠DAC=∠ECB，进而证明△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)由全等三角形性质可知BE=CD．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键．

21.【答案】解：(1)如图，线段AD即为所求．

(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵tan∠C=ADCD= 33，AC=240°，
∴∠C=30°，
∴AD=12AC=120(米)，CD= 3AD=120 3(米)，
∵∠B=45°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD=120(米)，
∴BC=BD+CD=(120+120 3)(米)． 
【解析】(1)利用尺规作AE⊥BC交BC于点D．
(2)解直角三角形求出CD，BD即可解决问题．
本题考查作图−应用与设计，解直角三角形−坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD/​/AB，CD=AB=13，
∴∠EAB=∠DEA，
∵E是CD的中点，
∴DE=12CD=132，
∴tan∠EAB=ADDE=6132=1213．

(2)证明：连接OF，

在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA．
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠OFA=∠EBA．
∴OF//EB．
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线． 
【解析】(1)可得∠EAB=∠DEA，求出tan∠DEA的值即可；
(2)连接OF，证明△ADE≌△BCE(SAS)，得出AE=BE，则∠EAB=∠EBA.证出OF//EB.可得出FG⊥OF，则结论得证．
本题考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)=a(x−1)(x−4)=a(x2−5x+4)=ax2+bx−2，
故4a=−2，解得：a=−12，
故抛物线的表达式为：y=−12x2+52x−2；
(2)存在，理由：
设点P(x,−12x2+52x−2)，则点M(x,0)，
则PM=−12x2+52x−2，AM=4−x，
∵tan∠OAC=12，

∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
故tan∠PAM=12或2，故−12x2+52x−24−x=2或12，
解得：x=2或4(舍去)或5(舍去)，
故x=2，
经检验x=2是方程的解，
故P(2,1)；
(3)设直线AC的表达式为：y=kx+t，则0=4k+tt=−2，解得k=12t=−2，
故直线AC的表达式为：y=12x−2，
设点D(x,−12x2+52x−2)，则点E(x,12x−2)，
DE=(−12x2+52x−2)−(12x−2)=−12x2+2x，
∵−12<0，故DE有最大值，当x=2时，DE的最大值为2，
此时点D(2,1)；
故点D的坐标(2,1)，此时DE的长为2． 
【解析】(1)用抛物线交点式表达式确定c的值，进而求解；
(2)tan∠OAC=12，以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，则tan∠PAM=2或12，即可求解；
(3)确定DE的函数表达式，即可求解．
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的的基本性质、相似三角形的基本性质、待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数最值等知识点，熟悉数形结合与分类讨论思想是解答关键．