2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十九两，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是(    )
A. −2 B. −12 C. 0 D. 32
2. 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为(    )

A. 12×103 B. 1.2×104 C. 0.12×105 D. 1.2×106
3. 下列运算正确的是(    )
A. a9−a7=a2 B. a6÷a3=a2
C. a2⋅a3=a6 D. (−2a2b)2=4a4b2
4. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是(    )
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式
B. 一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和中位数都是5
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
6. 如图所示，几何体的左视图是(    )


A. B. C. D.
7. 如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A=50°，∠DBC的度数是(    )

A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°
8. 如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心.若AD=3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为(    )
A. 10
B. 15
C. 25
D. 125
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两：牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子：2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为(    )
A. 5x+2y=192x+3y=12 B. 5x+2y=122x+3y=19 C. 2x+5y=193x+2y=12 D. 2x+3y=123x+2y=19
10. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有4个队，小组内进行单循环赛(两支球队间只比赛一场)，已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名(相同积分比较净胜球)可以进入下一轮比赛.如表是某次小组赛的积分表：
排名
球队
积分
1
甲
6
2
乙
4
3
丙
4
4
丁

如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：x3y−9xy=______．
12. 函数y=x x+1中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m+n的值为______ ．
14. 一副三角板如图摆放，直线AB//CD，则∠α的度数是______．


15. 如图，点M是反比例函数y=kx(x<0)图象上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，点P在y轴上，若△MNP的面积是2，则k= ______ ．

16. 为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡井放回，经过一段时间后观察发现，300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______ 只A种候鸟．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：|1− 3|+tan60°− 12+(−12)−2．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2xx−2−1)÷x2+4x+4x−2，其中x= 3−2．
19. (本小题8.0分)
长沙银盆岭大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔湘江之上.已知大桥主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为51m，求主塔AB的高度(结果保留整数，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73 )．

20. (本小题8.0分)
中国共产党的助手和后备军——中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=2 3，求BD的长．

22. (本小题8.0分)
平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶.设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
(1)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是______ ；
(2)若售价为每顶50元，求每周的销售利润；
(3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
23. (本小题8.0分)
如图，点P是边长为6的菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E．
(1)求证：AP=CP；
(2)若CE垂直平分AD，求PB的长．

24. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点(x,12x)成中心对称(此三个点可以重合)，则称这两个函数互为“友好函数”.例如：y=34x和y=14x互为“友好函数”．
(1)判断：①y=−x和y=2x；②y=12x+3和y=12x−3；③y=12x2+1和y=12x2−1，其中互为“友好函数”的是______ (填序号)．
(2)若函数y=2x−4的“友好函数”与反比例函数y=mx(m≠0)的图象在第一象限内有两个交点点C和点D．
①求m的取值范围；
②若△COD的面积为5 2，求m的值．
(3)若M(1,m)，N(3,n)，P(t,m)三个不同的点均在二次函数y=−ax2+(1−b)x−c(a,b,c为常数，且a>0)的“友好函数”的图象上，且满足m−14t2−t+2恒成立，求w的取值范围．
25. (本小题8.0分)
如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．

(1)证明：∠ABO=∠ACO；
(2)连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；
(3)①试探究(ADOD)2−OCOD的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S2= S1⋅S3，求OD的长．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−2的绝对值是2，−12的绝对值是12，0的绝对值是0，32的绝对值是32．
∵2>32>12>0，
∴−2的绝对值最大．
故选A．
正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．先求出各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，由此确定出绝对值最大的数．
本题考查绝对值的求解，同时会比较有理数的大小．

2.【答案】B 
【解析】解：1.2万=12000=1.2×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】D 
【解析】解：A.a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意；
B.原式=a3，故B不符合题意；
C.原式=a5，故C不符合题意；
D.原式=4a4b2，故D符合题意．
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．

4.【答案】B 
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

5.【答案】C 
【解析】解：A.为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查方式，故此选项不符合题意；
B.该组数据众数为5，中位数为3，故此选项不符合题意；
C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以甲组数据比乙级数据稳定，此选项符合题意；
D.抛掷硬币，“正面向上”为随机事件，出现次数随机，故此选项不符合题意．
故选：C．
对于涉及范围较广的数据的调查应根据实际情况采用抽样调查；将一组数据由小到大(或由大到小)排列，如果数据个数为奇数，则处于中间位置的数就是中位数，如果数据个数是偶数，则中间两数的平均数即是中位数；众数指一组数据中出现次数最多的数；一组数据的方差越小，则表示该组数据越稳定；在随机实验中，随机事件出现的次数是不确定的．
本题主要考查统计调查收集数据的方法，数据分析的众数、中位数及方差，概率与随机事件；理解各概念及代表的数据特征是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：B．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=90°−∠D=40°．
故选：C．
由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD=90°，又由圆周角定理可得∠D=∠A=50°，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

8.【答案】A 
【解析】解：∵AD=3OA，
∴OD=2OA，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，DE//AB，
∴△ABO∽△DEO，
∴DEAB=ODOA=2，
∴△DEF的周长：△ABC的周长=2，
∵△ABC的周长为5，
∴△DEF的周长为10，
故选：A．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，DE//AB，得到△ABO∽△DEO，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
5x+2y=192x+3y=12，
故选：A．
根据5头牛、2只羊共19两银子：2头牛、3只羊共12两银子，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

10.【答案】D 
【解析】解：设丁队的积分是x分，
根据题意得：6+4+4+x=3×[12×4×(4−1)−1]+2×1，
解得：x=3，
∴丁队的积分是3分．
故选：D．
分析比赛规则可知：胜一场两队共积3分，平一场两队共积2分，设丁队的积分是x分，根据本小组比赛中只有一场战平及甲、乙、丙三队的积分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

11.【答案】xy(x+3)(x−3) 
【解析】解：x3y−9xy，
=xy(x2−9)，
=xy(x+3)(x−3)．
先提取公因式xy，再对余下的多项式x2−9利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.【答案】x>−1 
【解析】解：根据题意得：x+1>0，解得x>−1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．

13.【答案】−2 
【解析】解：根据根与系数的关系得m+n=−2．
故答案为：−2．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

14.【答案】15° 
【解析】解：如图：

由题意得：
∠EBD=90°，∠BDE=45°，∠EDC=30°，
∵AB//CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠α=180°−∠EBD−∠BDE−∠EDC
=180°−90°−45°−30°
=15°，
故答案为：15°．
根据题意可得：∠EBD=90°，∠BDE=45°，∠EDC=30°，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC=180°，从而进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

15.【答案】−4 
【解析】解：连接OM，如图，
∵MN⊥x轴，
∴MN//y轴，
∴S△OMN=S△PMN=2，
∵S△OMN=12|k|，
∴12|k|=2，
而k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
利用反比例函数系数k的几何意义求得即可．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

16.【答案】1500 
【解析】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则300：6=x：30，
解得x=1500．
答：估计该湿地约有1500只A种候鸟．
故答案为：1500．
在样本中300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．

17.【答案】解：|1− 3|+tan60°− 12+(−12)−2
= 3−1+ 3−2 3+4
=3． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行是解题的关键．

18.【答案】解：原式=(2xx−2−x−2x−2)÷(x+2)2x−2
=x+2x−2⋅x−2(x+2)2
=1x+2，
当x= 3−2时，
原式=1 3−2+2=1 3= 33． 
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

19.【答案】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=45°，
∴∠BAC=45°．
∴AB=BC．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB=ABBD，
∴BD=ABtan∠ADB=AB tan60∘=AB 3≈0.58AB．
∵BC−BD=CD，
∴AB−0.58AB=51．
∴AB≈121.4≈121(米)．
答：主塔AB的高度约为121米． 
【解析】在Rt△ABC中利用等腰三角形的性质，用AB表示BC，在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系，用AB表示出BD，最后利用线段的和差关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．

20.【答案】解：(1)200；
(2)C的人数为：200−20−80−40=60(名)，
补全条形统计图如下：

(3)1280×80200=512(名)，
答：估计参加B项活动的学生为512名；
(4)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为416=14． 
【解析】(1)由D的人数除以所占的比例即可求得，一共抽取的学生为：40÷72°360∘=200(名)；
(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】(1)证明：连接OD．

∵AC=CD，
∴∠A=∠ADC．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠ADC+∠BDO=90°．
∴∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵AC=CD=2 3，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD=60°．
∴∠DCO=∠ACB−∠ACD=30°．
在Rt△OCD中，OD=CDtan∠DCO=2 3⋅tan30°=2．
∵∠B=90°−∠A=30°，OB=OD，
∴∠ODB=∠B=30°．
∴∠BOD=180°−(∠B+∠BDO)=120°．
∴BD的长=120π×2180=43π． 
【解析】(1)连接OD.由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A=∠ADC，∠B=∠BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°.最后由切线的判定定理可得结论；
(2)根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO=∠ACB−∠ACD=30°.再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．

22.【答案】y=100+20x 
【解析】解：(1)根据题意得：y=100+40×x2=100+20x．
故答案为：y=100+20x；
(2)根据题意得：(50−40)[100+20×(68−50)]
=10×[100+20×18]
=10×[100+360]
=10×460
=4600(元)．
答：每周的销售利润为4600元；
(3)根据题意得：(68−x−40)(100+20x)=4000，
整理得：x2−23x+60=0，
解得：x1=3，x2=20，
当x=3时，68−x=68−3=65>58，不符合题意，舍去；
当x=20时，68−x=68−20=48<58，符合题意．
答：每顶头盔应降价20元．
(1)利用平均每周的销售量=100+40×每顶头盔降低的价格2，即可找出y与x之间的函数关系式；
(2)利用每周的销售利润=每顶的销售利润×每周的销售量，即可求出结论；
(3)利用每周的销售利润=每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论．
本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(2)根据各数量之间的关系，列式计算；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP(SAS)，
∴AP=CP；
(2)解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=DA，
∵CE垂直平分AD，
∴△ACD是等腰三角形，AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∵AD=6，
∴CE=3 3，
∴PD=23×3 3=2 3，
∵AD=AB=AC=6，
∴BD=6 3，
∴PB=BD−PD=4 3． 
【解析】(1)根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
(2)根据菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP解答．

24.【答案】①② 
【解析】解：(1)y=−x图象上的点(x,−x)和y=2x图象上的点(x,2x)关于(x,12x)成中心对称，
∴y=−x和y=2x是“友好函数”；
y=12x+3图象上的点(x,12x+3)和y=12x−3图象上的点(x,12x−3)关于(x,12x)成中心对称，
∴y=12x+3和y=12x−3是“友好函数”；
y=12x2+1图象上的点(x,12x2+1)和y=12x2−1图象上的点(x,12x2−1)不关于(x,12x)成中心对称，
∴y=12x2+1和y=12x2−1不是“友好函数”；
∴互为“友好函数”的是①②，
故答案为：①②；
(2)①根据“友好函数”的定义得：y1+y22=x2，
∴2x−4+y22=x2，
∴y2=−x+4，即函数y=2x−4的“友好函数”解析式为y=−x+4，
∵反比例函数y=mx(m≠0)的图象与直线y=−x+4在第一象限内有两个交点，
∴方程−x+4=mx有两个不相等的实数根，且两根均为正数，
整理得：x2−4x+m=0，
∴Δ=(−4)2−4m>0且m>0，
解得：0 ②记直线y=−x+4与坐标轴的交点为A，B，如图，

在y=−x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=4，
∴A(0,4)，B(4,0)，
设C，D的横坐标分别为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2−4x+m=0的两根，
∴x1+x2=4，x1⋅x2=m，
∵S△COD=5 2，
∴S△AOB−S△AOC−S△BOD=5 2，
∴12×4×4−12×4⋅x1−12×4⋅mx2=5 2，
将x1x2=m代入上式得：
8−2x1−2×x1x2x2=5 2，
解得：x1=2−5 24，
∵x1+x2=4，
∴2−5 24+x2=4，
解得：x2=2+5 22，
∴m=x1⋅x2=(2−5 24)×(2+5 24)=78，
∴m的值为78；
(3)由−ax2+(1−b)x−c+y22=12x得：y2=ax2+bx+c，
∴y=−ax2+(1−b)x−c (a≠0)的“友好函数”解析式为y=ax2+bx+c，
∵M(1,m)，N(3,n)在函数y=ax2+bx+c的上，
∴m=a+b+c，n=9a+3b+c，
∵m ∴a+b+c<9a+3b+c ∴a+b<9a+3b<0，
∵a>0，
∴3<−ba<4，
∵点M(1.m)，P(t,m)的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x=1+t2，即t+12=−b2a，
∴−ba=t+1，
∴3 解得：2 设h=−14t2−t+2=−14(t+2)2+3，
当t=2时，h=−1；
当t=3时，h=−134；
∴−134 ∵w+25>−14t2−t+2恒成立，
∴w+25≥−1，
∴w≥−75．
(1)根据“友好函数”的定义逐个判断即可；
(2)①求出函数y=2x−4的“友好函数”解析式为y=−x+4，由方程−x+4=mx有两个不相等的实数根，且两根均为正数，可得(−4)2−4m>0且m>0，即可解得答案；
②记直线y=−x+4与坐标轴的交点为A，B，则A(0,4)，B(4,0)，设C，D的横坐标分别为x1，x2，知x1+x2=4，x1⋅x2=m，根据S△COD=5 2，可得12×4×4−12×4⋅x1−12×4⋅mx2=5 2，结合 x1x2=m，x1+x2=4，可得m的值为78；
(3)由−ax2+(1−b)x−c+y22=12x得y=−ax2+(1−b)x−c (a≠0)的“友好函数”解析式为y=ax2+bx+c，根据m=a+b+c，n=9a+3b+c，m0，可得3<−ba<4，而抛物线对称轴为直线x=1+t2，即t+12=−b2a，故−ba=t+1，可得：2−14t2−t+2恒成立，解得w≥−75．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是读懂新定义，列出相关的方程和不等式解决问题．

25.【答案】(1)证明：连接BC，

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
同理：∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠OBC=∠ACB−∠OCB，
即∠ABO=∠ACO；
(2)解：(i)当∠CDO=90°时，

∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为正三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DBA=30°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=12，CD= 32，
∴BC=AC=2CD= 3；
(ii)当∠COD=90°时，∠BOC=90°，
∴BC= 2；

(iii)当∠OCD=90°时，∠OAC=90°，与三角形内角和定理矛盾，此种情况不成立．
综上所述：BC= 3或BC= 2；
(3)解：①∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C，
∵∠ABO=∠ACO，
∴∠OAC=∠B，
∵∠ODA=∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
∴ADBD=ODAD，
∴AD2=OD⋅BD，
∴AD2=OD⋅(OD+BO)
∴AD2=OD⋅(OD+CO)，
∴AD2=OD2+OD⋅OC，
∴(ADOD)2−OCOD=1，即(ADOD)2−OCOD的值是定值1；
②在△ABO和△ACO中，
OA=OAAB=ACOB=OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴S△ABO=S△ACO，
作AH⊥BD交BD于H，设AH=h，OD=x，

S1=12×1×h，S2=12xh，
∴S3=S1−S2=12(1−x)h，
又S2= S1⋅S3，
∴S22=S1⋅S3，
∴(12xh)2=12h⋅12(1−x)h，
∴x2=1−x，
∴x=−1± 52，
∵x>0，
∴x= 5−12，即OD= 5−12． 
【解析】本题属于圆综合题，考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
(1)连BC，利用等腰三角形中等边对等角进行证明即可；
(2)分∠CDO=90°，∠COD=90°，∠OCD=90°三种情况，分别讨论即可；
(3)①先证△ADO∽△BDA，推出AD2=OD⋅BD，等量代换可得AD2=OD⋅(OD+CO)，变形可得(ADOD)2−OCOD=1；
②先证△ABO≌△ACO(SSS)，推出S1=S2+S3，作AH⊥BD交BD于H，设AH=h，OD=x，可得S1=12×1×h，S2=12xh，S3=S1−S2=12(1−x)h，利用S22=S1⋅S3列方程，求出x的值即可．