2022-2023学年陕西省宝鸡市眉县中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市眉县中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省宝鸡市眉县中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 抛物线y2=8x的焦点坐标是(    )
A. (−2,0) B. (0,−2) C. (2,0) D. (0,2)
3. 已知函数f(x)=lnx−x2，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
2 23= 223，3 38= 338，4 415= 4415，5 524= 5524，
则按照以上规律，若8 8n= 88n具有“穿墙术”，则n=(    )
A. 7 B. 35 C. 48 D. 63
5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为(    )


A. 2 B. 32 C. 53 D. 85
6. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a7+b7=(    )
A. 15 B. 18 C. 29 D. 47
7. 2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异.如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y(万人)与时间t(天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是(    )

A. y=a+bx B. y=a+b x C. y=a+bex D. y=a+blnx
8. 已知x与y之间的一组数据：
x
1
2
3
4
y
m
3.2
4.8
7.5
若y关于x的线性回归方程为y =2.1x−0.25，则m的值为(    )
A. 1.5 B. 2.5 C. 3.5 D. 4.5
9. 哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为(    )


A. 10 B. 13 C. 15 D. 17
10. 关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：
甲：x=1是该方程的根；
乙：x=3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
11. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在1+11+11+⋯表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程1+1x=x解得x= 5+12，类比上述方法，则 2+ 2+ …=(    )
A. 5−12 B. 5+12 C. 2 D. 2
12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是“心形”曲线．给出以下列两个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2；
则正确的判断是(    )
A. ①正确②错误
B. ①错误②正确
C. ①②都错误
D. ①②都正确
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a= 2，b= 3，c=2，则该三角形的面积S=______．
14. 已知集合{a,b,c}={1,2,5}，且下列三个关系：a≠5，b=5，c≠2有且只有一个正确，则100a+10b+c= ______ ．
15. 意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{an}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：
①an+an+1=an+2(n∈N+)；
②a12+a22+a32+a42=a4⋅a5；
③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；
④a2n+12=a2n⋅a2n+2−1(n∈N+)．
其中正确命题的序号是______．

三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
观察下列不等式1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，…照此规律，第五个不等式为______．
17. (本小题10.0分)
用分析法证明： 8− 6< 5− 3．
18. (本小题12.0分)
已知f(x)=axa+x(x≠−a)，且f(2)=1．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若在数列{an}中，a1=1，an+1=f(an),(n∈N∗)，计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(Ⅲ)证明(Ⅱ)中的猜想．
19. (本小题12.0分)
根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2 i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx·y i=1nx i2−nx2 i=1nyi2−ny2，
参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95．
回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nx i2−nx2，a=y−bx

20. (本小题12.0分)
北京冬奥会的举办，不仅带动了3亿人参与冰雪运动，还激发了全民健身的热情．冰雪运动的开展，全民健身的顺利推进，为建设体育强国奠定了坚实基础．随着冰雪运动“南展西扩东进”战略的实施，冰雪运动已不再局限于一些传统冰雪省市．某调查中心为了解市民参与冰雪运动的情况，从A城和B城各随机抽取100人，调查这些人是否参与过冰雪运动，得到了如下2×2列联表：

参与过冰雪运动
没有参与过冰雪运动
合计
A城
60

100
B城

70

合计


200
(1)完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；
(2)依据统计表，按城市用分层抽样的方法从“参与过冰雪运动”的人中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求A城和B城恰好各1人的概率．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若存在x0，使得f(x0)>0，求a的取值范围．
22. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且△DF1F2为等边三角形.经过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，△F1AB的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△F1AB的面积的最大值及此时直线l的方程．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
解得a的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由a2>a，解得a<0或a>1，
故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，
故选：A．
  
2.【答案】C 
【解析】解：抛物线y2=8x，
所以p=4，
所以焦点(2,0)，
故选：C．
根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．
本题考查抛物线的焦点，部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点(p,0)，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了导数的概念，学生的数学运算能力，属于基础题．
直接利用导数的定义，即可解出．
【解答】
解：由题意可得，f′(x)=1x−2x，
∴f′(1)=1−2=−1，
故选：A．
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，属于基础题．
观察已知式子，找到其中的规律，问题得以解决．
【解答】
解：2 23=2 222−1= 223，
3 38=3 332−1= 338，
4 415=4 442−1= 4415，
5 524=5 552−1= 5524
则按照以上规律8 8n= 88n，可得n=82−1=63．
故选D．  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=32，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=53，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：53，
故选：C．  
6.【答案】C 
【解析】解：由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…
可以看到：其规律an+bn(n≥3)是前两个式的和．
可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，
故选：C．
由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…其规律an+bn(n≥3)是前两个式的和．于是可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29．
本题考查了观察分析归纳其规律的合情推理求和，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查可线性化的回归分析，属于基础题．
由题意结合所给曲线的特点确定回归方程的类型即可．
【解答】
解：函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，复合指数型函数模型，
只有选项C为指数型函数．
故选C．
  
8.【答案】D 
【解析】解：∵x−=1+2+3+44=2.5，∴y−=2.1×2.5−0.25=5，
∴m+3.2+4.8+7.5=4×5=20，解得m=4.5，
故选：D．
由已知求得x−，代入线性回归方程求得y−，再由平均数公式求得m值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．

9.【答案】A 
【解析】解：根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，
从左到右，依次有点A、B、C、D、E、F
，BD之间的距离为9，可以一次性度量9，
AD、BE之间的距离为11，可以一次性度量11，
CF之间的距离为12，可以一次性度量12，
AE之间的距离为13，可以一次性度量13，
BF之间的距离为15，可以一次性度量15，
AF之间的距离为17，可以一次性度量17，
任意两点间的距离不会等于10，不能一次性度量10．
故选：A．
根据题意，分析图中的哥隆尺的任意两点间的距离，分析选项可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意理解“哥隆尺”测量的依据，属于基础题．

10.【答案】A 
【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得x1=3，x2=−1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得x1=1，x2=1，两根不异号，不合题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得x1=3，x2=1，两根不异号，不合题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2，不合题意．
综上可知，甲为假命题．
故选：A．
分别设甲、乙、丙、丁为假命题，结合真命题中方程两根的情况判断．
本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．

11.【答案】D 
【解析】解：类比上述方法可得： 2+x=x，
∴x2−x−2=02+x≥0x≥0，解得x=2．
故选：D．
令 2+x=x，解不等式即可求得结果．
本题考查无理式求值，考查类比推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.【答案】D 
【解析】解：根据题意，曲线C：x2+y2=1+|x|y，当x≥0时，曲线的方程为x2+y2=1+xy，当x<0时，曲线的方程为x2+y2=1−x|y，
则曲线C关于y轴对称，
对于②，当x≥0时，曲线的方程为x2+y2=1+xy，则有x2+y2=1+xy≤1+x2+y22，变形可得x2+y2≤2，当且仅当x=y时等号成立，
又由曲线C关于y轴对称，则曲线C上任意一点(x,y)都满足x2+y2≤2，即曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2，所以②正确；
对于①，曲线C：x2+y2=1+|x|y，
当x=0时，y2=1，所以y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)；
当x>0时，方程为y2−xy+x2−1=0，有Δ=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2 33]，所以x只能取整数1，
当x=1时，有y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，
根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，所以曲线一共经过6个整点，所以①正确；
故选：D．
根据题意，先判断出曲线C关于y轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，分析可得②正确，结合基本不等式和对称性可以得到曲线经过的6个整数点可得①正确，即可得答案．
本题考查曲线与方程，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．

13.【答案】 234 
【解析】解：由S= 14[c2a2−(c2+a2−b22)2]=12 22⋅( 2)2−[22+( 2)2−( 3)22]2= 234，
故答案为： 234．
直接由秦九韶计算可得面积．
本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．

14.【答案】521 
【解析】解：①若a≠5正确，则b≠5，c=2，a=1，b=1，不合题意；
②若b=5正确，则a=5，c=2，不合题意；
③若c≠2正确，则a=5，b=2，c=1，符合题意，
所以100a+10b+c=521．
故答案为：521．
根据题意以及集合元素的互异性和集合相等的概念可知，对a，b，c的所有可能取值分类讨论即可得a=5，b=2，c=1符合题意，代入计算即可得出结果．
本题主要考查集合的相等，属于基础题．

15.【答案】①②③ 
【解析】解：斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以an+an+1=an+2(n∈N+)，①正确；a12+a22+a32+a42=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；
a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=…=a2021+a2019+a2017+a2016=…=a2021+a2019+a2017+a2015+…+a3+a2=a2021+a2019+a2017+a2015+…+a3+a1，
所以③正确．
当n=1时，a2n+12=a32=4，a2n⋅a2n+2−1=a2⋅a4−1=1×3−1=2，所以④错误．
故答案为：①②③．
根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．
本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．

16.【答案】1+122+132+142+152+162<116 
【解析】解：由已知中：不等式：
1+122<32，
1+122+132<53，
1+122+132+142<74，
…
归纳可得：第n个不等式为：1+122+132+…+1(n+1)2<2n+1n+1，
当n=5时，第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116，
故答案为：1+122+132+142+152+162<116
由已知中不等式1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，…，分析不等式两边的变化规律，可得答案．
本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．

17.【答案】证明：要证明 8− 6< 5− 3成立，
只需证明 8+ 3< 5+ 6，即( 8+ 3)2<( 5+ 6)2，
即8+2 24+3<5+2 30+6，
从而只需证明2 24<2 30，即24<30，这显然成立．
则 8− 6< 5− 3． 
【解析】利用分析法即证明 8+ 3< 5+ 6，再两边同平方即证8+2 24+3<5+2 30+6，即证2 24<2 30，即证24<30，其显然成立．
本题主要考查利用分析法求证不等式，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=axa+x，f(2)=1，
所以2aa+2=1，解得 a=2.  
(Ⅱ)在{an}中，因为a1=1，an+1=f(an)=2an2+an．
所以a2=2a12+a1=23，a3=2a22+a2=12=24，a4=2a32+a3=25，
所以猜想{an}的通项公式为an=2n+1;
(Ⅲ)证明：因为a1=1，an+1=2an2+an，
所以1an+1=2+an2an=1an+12，即1an+1−1an=12．
所以{1an}是以1a1=1为首项，12为公差的等差数列．
所以1an=1+12(n−1)=12n+12=n+12，
所以{an}的通项公式an=2n+1.得证． 
【解析】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，不完全归纳法的应用，用综合法证明数列{an}的通项公式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
(Ⅰ)因为f(x)=axa+x，f(2)=1，可得2aa+2=1，由此解得a的值;
(Ⅱ)根据在{an}中，a1=1，an+1=f(an)=2an2+an，令n=1、2、3，即可求得a2，a3，a4的值，由此猜想通项公式an;
(Ⅲ)由题意可得1an+1=2+an2an=1an+12，即1an+1−1an=12，根据等差数列的通项公式求出{1an}的通项公式，即可得到{an}的通项公式．

19.【答案】解：(1)由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，
y=3+4+4+4+55=4．
∴i=15(xi−x)(yi−y)=(−3)×(−1)+(−1)×0+0×0+1×0+3×1=6，
i=15(xi−x)2= (−3)2+(−1)2+02+12+32=2 5，
i=15(yi−y)2= (−1)2+02+02+02+12= 2，
∴相关系数r=i=15(xi−x)(yi−y) i=15(xi−x)2 i=15(yi−y)2=62 5⋅ 2= 910≈0.95．
∵r>0.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系;
(2)b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=620=0.3．
a=y−bx=4−5×0.3=2.5，
∴回归方程为y=0.3x+2.5，
当x=12时，y=0.3×12+2.5=6.1，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 
【解析】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
(1)由已知表格中的数据求得相关系数，结合r>0.75，可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)求出b与a的值，得到线性回归方程，取x=12求得y值即可．


20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：

参与过冰雪运动
没有参与过冰雪运动
合计
A城
60
40
100
B城
30
70
100
合计
90
110
200
因为K2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110=20011≈18.182>10.828，
所以有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；
(2)按照分层抽样，从A城抽取4人，记为a，b，c，d，从B城抽取2人，记为e，f，
从这6人中抽取2人的所有情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，
共15种，其中A城和B城恰好各1人的情况有(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，共8种，所以所求概率为815． 
【解析】(1)根据列联表特征完成表格，根据公式计算K2的值并与99.9%把握即犯错率为0.001对应的k0比较，K2≥k0则判断有关，否则不能判断有关．
(2)根据分层抽样及古典概型即可解决．
考查独立性检验思想以及古典概型，属基础题．

21.【答案】解：(Ⅰ)a=1时，f(x)=lnx+x，
则f′(x)=1x+1，f(1)=1，f′(1)=2，
故切线方程为：y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0．
(Ⅱ)函数f(x)=lnx+ax(a∈R)的定义域为(0,+∞)；
f′(x)=1+axx，
①当a≥0时，f′(x)=1+axx>0，
则函数f(x)=lnx+ax(a∈R)在(0,+∞)上单调递增；
②当a<0时，x∈(0,−1a)时，f′(x)>0，
则函数f(x)=lnx+ax(a∈R)在(0,−1a)上单调递增；
x∈(−1a,+∞)时，f′(x)<0，
则函数f(x)=lnx+ax(a∈R)在(−1a,+∞)上单调递减．
综上所述，
当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；
当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,−1a)；单调递减区间为(−1a,+∞)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知：a≥0时，f(x)在(0,+∞)单调递增，而f(1)=a≥0，
则存在x0，使得f(x0)>0，
a<0时，f(x)在(0,−1a)递增，在(−1a,+∞)递减，
故f(x)max=f(−1a)=−ln(−a)−1>0，
即ln(−a)<−1，解得：−1e 综上：a的取值范围是(−1e,+∞)． 
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(Ⅲ)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可．
本题考查了切线方程，函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是中档题．

22.【答案】解：(1)由△DF1F2为等边三角形，|DF1|=|DF2|=a，|F1F2|=2c，
故a=2c，
∵|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
∴△F1AB的周长为4a=8，得a=2．
∴c=1,b= a2−c2= 3，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1；
(2)由(1)知F2(1,0)，且直线l斜率不为0．
设直线l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2).
由x=my+1,x24+y23=1消去x，得(3m2+4)y2+6my−9=0，
显然Δ=144(m2+1)>0，
∴y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
由△F1AB面积S=12⋅|F1F2|⋅|y1−y2|=|y1−y2|，
而|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (−6m3m2+4)2−4⋅−93m2+4=12 m2+13m2+4，
设t= m2+1≥1，
则|y1−y2|=12t3t2+1=123t+1t．
∵y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，
∴当t=1时，(3t+1t)min=4．
即当m=0时，S=|y1−y2|取得最大值3，此时直线l的方程为x=1． 
【解析】(1)由△DF1F2为等边三角形，得到a=2c，由椭圆定义得到△F1AB的周长为4a=8，求出a=2，进而求出b，得到椭圆方程；
(2)推理出直线l斜率不为0，设出直线l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出△F1AB的面积S=12⋅|F1F2|⋅|y1−y2|=12 m2+13m2+4，换元后结合基本不等式求出最大值及此时直线l的方程．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．