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2022-2023学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中最简二次根式是( )
A. 9 B. 4a C. x2 D. a
2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面( )
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米
3. 下列算式中正确的是( )
A. 4÷ 2= 2 B. 3+ 2= 5 C. 3− 2=1 D. (−2)2=−2
4. 若a是实数，则 a2−2a+1=( )
A. a−1 B. 1−a C. ±(a−1) D. |a−1|
5. 如图，四边形ABCD是矩形，有一动点P从点B出发，沿B→C→D→A路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动.在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 八年级1班班主任从全班选出15名同学参加合唱训练，已知15名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高(cm)
158
160
163
165
168
170
人数
2
3
5
2
2
1
则该合唱队15名同学的身高的众数和中位数分别是( )
A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164
7. 已知M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，若x1<0
A. 14 B. 24 C. 14+2 7 D. 24或14+2 7
9. 如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则 22(AE+ 2BE)的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 6
10. 小华、小伟相约去从甲地到乙地玩耍，两人到达甲地后，小华想起要去丙地取一份文件，于是小华先快于小伟的速度匀速前往丙地，取文件还耽误了5分钟，之后掉头以起先速度的910倍匀速返回甲地再前
往乙地，小伟匀速先到乙地后便等待，已知丙、甲、乙三地依次在一直线上，设两人同时从甲地出发所用的时间为x(单位：分钟)，两人的距离为y(单位：米)，其函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. a=1760 B. b=145
C. c=150 D. 甲、丙两地距离800米
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若二次根式 2x−2有意义，则x的取值范围为______．
12. 若ab<0，则化简 a2b2+2ab为______ ．
13. 若y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，则实数m= ______ ．
14. 已知三组数据5，6，7，8，9；5，6，8，9，11；8，8，8，8，8的方差为分别为S12，S22，S32；则S12，S22，S32的大小关系是______ .(用“<”连接)
15. 如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地毯，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要______ 元.
16. 已知关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，且一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，则整数a的值为______ ．
17. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△GDE，连接CG.若CG//BD，则∠CEG= ______ ．
18. 对任意一个三位数n，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称n为“中和数”.现将n的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n′，规定F(n)=(n′−n)+9，例如143是一个“中和数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n′=431，所以F(143)=(431−143)÷9=32.如果F(n)是13的倍数，那么称这样的“中和数”n为“幸运中和数”，则最大的“幸运中和数”为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算(−1)10−(− 2)2+ (−3)2；
(2)化简( x− y)( x+ y)− x( x− y)．
20. (本小题10.0分)
如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．
(1)请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)的作图，证明：AE//CF.请在答题卡上完成相应编号的填空．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ECF=① ______ (两直线平行，内错角相等)，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF=② ______ ，∠ECF=③ ______ ，
∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，
∴AE//CF ④ ______ (填推理的依据)．
21. (本小题10.0分)
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛.现从两队中各随机抽取10名队员的比赛成绩(百分制)作样本进行整理和分析(用x表示成绩得分，并分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
(2)你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是多少？
22. (本小题10.0分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，坐标原点O为线段BD的中点，x轴正半轴上点C满足OA=3OC，直线AB与直线CD交于点E．
(1)求直线CD的解析式；
(2)求四边形BOCE的面积．
23. (本小题10.0分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AG//CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
24. (本小题10.0分)
房地产管理部门制定了一个购买保障性住房方案如下表：
人均住房面积(平方米)
单价(万元/平方米)
不超过20(平方米)
0.2
超过20平方米且不超过m(平方米)部分(30≤m≤50)
0.4
超过m平方米部分
0.6
王师傅家有3口人，根据这个购房方案：
(1)若王师傅家欲购买85平方米的保障房，求其应缴纳的购房款；
(2)设王师傅家购买保障房的人均面积为x平方米，应缴房款y万元，分别求出当20m时y关于x的函数关系式；
(3)王师傅家欲购买保障房的面积为120平方米，期望应缴购房款可以超过36万元但最多不能超过42万元.若该方案能满足王师傅家期望，求m的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知过点A的直线AB：y=x+3和直线AC分别与x轴交于点B、点C(3,0)，点D在直线AB上，其横坐标为−2；点M、
N分别是直线AC和x轴上的动点．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求AM+MN+DN的最小值；
(3)在(2)的结论下，当点P、Q分别是直线AB、AC上的动点，以点
M、N、P、Q为顶点的四边形是否能构成平行四边形？若能，请直接写出该平行四边形对角线的交点坐标；若不能，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4 2，点D为直线AC上一点，连接BD．
(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F，当CE=2时，求EF的长；
(2)如图2，延长BD至点G，使AG=AC，作∠BAG的平分线交BD于点H，交GC的延长线于点K.求证：GK+CK= 2AK；
(3)如图3，在(2)的条件下，取BC的中点M，连接KM、GM，当点D在直线AC上运动时，直接写出GMKM的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 4a=2 a，故B不符合题意；
C、 x2=|x|，故C不符合题意；
D、 a是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设梯子顶端到离地面高度为h米，
根据勾股定理得h= 52−42=3(米)，
答：梯子顶端到离地面高度为3米，
故选：B．
利用勾股定理即可求出梯子顶端到离地面的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
3.【答案】A
【解析】解：A． 4÷ 2= 4÷2= 2，所以A选项符合题意；
B. 3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. (−2)2=2，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解： a2−2a+1= (a−1)2=|a−1|，
故选：D．
根据 a2=|a|化简即可．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握 a2=|a|．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得，当点P在点B运动到点C时，S=12AB⋅BP，△ABP的面积S随时间t的增大而增大；
当点P在点C运动到点D时，S=12AB⋅BC，△ABP的面积S随时间t的增大而不变；
当点P在点D运动到点A时，S=12AB⋅AP，△ABP的面积S随时间t的增大而减小；
所以在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：B．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
6.【答案】B
【解析】解：因为163出现的次数最多，
所以众数是：163；
因为第8个数是163，
所以中位数是：163．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】A
【解析】解：当x=0时，y=k×0+2=2，
∴一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)．
∵k>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，且x1<0
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)，由k>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合x1<0
8.【答案】D
【解析】解：①当6和8均为直角边时，斜边= 62+82=10，
则这个直角三角形的周长是：6+8+10=24；
②当6为直角边，8为斜边时，
则斜边为： 82−62=2 7．
故这个直角三角形的周长是：14+2 7．
故选：D．
先根据勾股定理求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
此题主要考查了勾股定理，正确分类讨论求出直角三角形的周长是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图所示，以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，
由勾股定理得AF2+EF2=AE2，
∵AF=EF，
∴EF= 22AE，
∴ 22(AE+ 2BE)= 22AE+BE=EF+BE，
∵BE+EF≥BF，
∴当 22(AE+ 2BE)最小，即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，即最小值为线段BE的长，此时∠AFB=90°，如图，
∵∠BAC=15°，∠EAF=45°，
∴∠BAF=60°，
在Rt△AFB中，∠ABF=90°−60°=30°，
∴AF=12AB=12×4=2，
∴BF= AB2−AF2= 42−22=2 3，
∴ 22(AE+ 2BE)的最小值为2 3．
故选：C．
以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，证出 22(AE+ 2BE)=EF+BE，当 22(AE+ 2BE)最小，即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设小华从甲地到丙地的速度为v1米/分，小伟的速度为v2米/分，
根据题意得：10v1+10v2=144045v2+1440−40×910v1=1440，
解得v1=80v2=64，
∴小华从甲地到丙地的速度为80米/分，小伟的速度为64米/分，
∴小华掉头之后的速度为72米/分，
∴a=1440+5×64=1440+320=1760，
∵80×10=800(米)，
∴甲、丙两地的距离是800米，
故A、D正确，不符合题意；
∵64(b−10)+1440−72(b−15)=720，
∴b=145，
故B正确，不符合题意；
由图象知，小伟在145分钟时到达乙地，
∴小华走720米所用时间为：72072=10(分)，
∴c=145+10=155，
故C错误，符合题意．
故选：C．
设小华从甲地到丙地的速度为v1米/分，小伟的速度为v2米/分，先根据10分和55分时两人相距1440米，列出方程组求出v1和v2，再根据路程，时间，速度之间的关系逐一求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得，2x−2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】ab
【解析】解：∵ab<0，
∴原式=|ab|+2ab
=−ab+2ab
=ab，
故答案为：ab．
a2=|a|=a,a≥0−a,a<0，据此进行化简即可．
本题考查二次根式的化简，二次根式的性质是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】−1
【解析】解：∵y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，
∴|m|=1且m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
根据一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题关键．
14.【答案】S32
∴S12=15×[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，
S22=15×[(5−7.8)2+(6−7.8)2+(8−7.8)2+(9−7.8)2+(11−7.8)2]=4.56，
S32=15×[(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2]=0，
∴S32
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
15.【答案】560
【解析】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是 52−32=4(m)，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3+4=7(m)，
所以面积是7×2=14(m2)，
所以价格是14×40=560(元)．
故答案为：560．
根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱．
本题考查了生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：去分母得：1−ax+1+2−x=0，
解得：x=4a+1且x≠2，
∵关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，
∴4a+1为整数且4a+1≠2，
解得：a=0或3或−5或−3或−2，
∵一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，
∴a>0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
解分式方程得x=4a+1且x≠2，则整数a为0，3，−5，−3，−2时分式方程的解为整数解，再解不等式a>0，从而得到满足条件的整数a的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出a值是本题的关键．
17.【答案】60°
【解析】解：连接AC交BD于点O，作GI⊥OB于点I，作AH⊥GI交GI的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AC=BD，AC⊥BD，BC=DC，∠BCD=90°，
∵CG//BD，
∴∠OCG=∠COD=90°，
∴∠COI=∠OIG=∠AOI=∠OIH=∠AHI=90°，
∴四边形OAHI、四边形OCGI、四边形ACGH都是矩形，
∴IH=OA，IG=OC，GH=AC=BD，
∴IH=IG，
∴BD垂直平分GH，
∴GD=HD，
由翻折得GD=BD，
∴GH=GD=HD，
∴∠GDH=60°，
∴∠GDB=∠HDB=12∠GDH=30°，
∴∠GDE=∠BDE=12∠GDB=15°，
∵∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠DEG=∠DEB=180°−∠CBD−∠BDE=120°，
∵∠CED=∠BDE+∠CBD=60°，
∴∠CEG=∠DEG−∠CED=60°，
故答案为：60°．
连接AC交BD于点O，作GI⊥OB于点I，作AH⊥GI交GI的延长线于点H，由正方形的性质得OA=OC，AC=BD，AC⊥BD，BC=DC，∠BCD=90°，因为CG//BD，所以∠OCG=∠COD=90°，可证明四边形OAHI、四边形OCGI、四边形ACGH都是矩形，则IH=OA，IG=OC，GH=AC=BD，所以IH=IG，则GD=HD，由翻折得GD=BD，则GH=GD=HD，所以∠GDH=60°，则∠GDB=∠HDB=30°，∠GDE=∠BDE=15°，而∠CBD=∠CDB=45°，则∠DEG=∠DEB=120°，因为∠CED=∠BDE+∠CBD=60°，所以∠CEG=∠DEG−∠CED=60°，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】594
【解析】解：设这个幸运中和数的个位数字为x，百位数字为y，则十位数字为x+y，x，y为非负整数，
∴n=100y+10(x+y)+x=110y+1lx，
∴n′=100(x+y)+10x+y=110x+101y，
∴F(n)=[(110x+101y)−(110y+11x)]+9=11x−y=13x−(2x+y)，
∵F(n)是13的倍数，
则2x+y是13的倍数，
∵0≤x≤9，1≤y≤9，
∴1≤2x+y≤27，
∴2x+y的值为：13，26，
∵x，y为非负整数，且1≤x+y≤9，
∴x=4y=5或x=5y=3或x=6y=1，
∴所有幸运中和数为：594，385，176，
∴最大的幸运中和数为：594．
故答案为：594．
设这个幸运中和数的个位数字为x，百位数字为y，则十位数字为x+y，x，y为非负整数，则F(n)=11x−y=13x−(2x+y)，根据题意2x+y是13的倍数，0≤x≤9，1≤y≤9，且1≤2x+y≤27，从而确定2x+y的值为：13，26，再分别列举出满足条件的x，y的值即可．
本题考查了整式的加减运算，理解新定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(−1)10−(− 2)2+ (−3)2
=1−2+3
=2；
(2)( x− y)( x+ y)− x( x− y)
=x−y−x+ xy
= xy−y．
【解析】(1)先算乘方与开方，再进行加减运算即可；
(2)先利用平方差公式与单项式乘多项式的法则计算，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20.【答案】∠CFB 12∠BAD 12∠BCD 同位角相等，两直线平行
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ECF=①∠CFB(两直线平行，内错角相等)，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF=②12∠BAD，∠ECF=③12∠BCD，
∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，
∴AE//CF ④(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠CFB，12∠BAD，12∠BCD，同位角相等，两直线平行．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明∠EAF=∠CFB，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)1−20%−10%−3÷10×100%=40%，
则a=40，
蓝队样本的众数为96，
红队样本的中位数为(93+94)÷2=93.5；
(2)我认为蓝队比赛成绩好些(一条合理即得分)，
因为蓝队的中位数96大于红队的中位数93.5：
(3)两队抽取的20人中此次比赛活动成绩优秀的有6+4=10(人)，
占样本的50%，该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有100×50%=50(人)．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是50人．
【解析】(1)用“1”分别减去其他三组所占比例可得a的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
(2)根据中位数的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．
22.【答案】解：(1)当y=0时，23x+2=0，解得x=−3，
∴A(−3,0)，
当x=0时，y=23x+2=2，
∴B(0,2)，
∵OA=3OC，
∴OC=1，
∴C(1,0)，
∵坐标原点O为线段BD的中点，
∴D(0,−2)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C(1,0)，D(0,−2)分别代入得k+b=0b=−2，
解得k=2b=−2，
∴直线CD的解析式为y=2x−2；
(2)解方程组y=23x+2y=2x−2得x=3y=4，
∴E(3,4)，
∴四边形BOCE的面积=S△BDE−S△OCD=12×(2+2)×3−12×1×2=5．
【解析】(1)先利用直线AB的解析式求出A(−3,0)，B(0,2)，则利用OA=3OC和坐标原点O为线段BD的中点得到C(1,0)，D(0,−2)，然后利用待定系数法求出直线CD的解析式；
(2)先解方程组y=23x+2y=2x−2得E(3,4)，再根据三角形面积公式，利用四边形BOCE的面积=S△BDE−S△OCD进行计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
23.【答案】证明：(1)∵AG//DC，AD//BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=12AG，DF=12DC，
即GE=DF，GE//DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；
(2)连结DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG，
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD，
∵AD//BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB//DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．
【解析】(1)求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG//DF，根据平行四边形的判定推出即可；
(2)连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24.【答案】解：(1)三口之家的人均住房面积为853=2813(平方米)，
∴王师傅家应缴购房款为：0.2×60+0.4×25=22 (万元)；
(2)由题意得：当20
=1.8x−0.6m−12；
(3)∵120÷3=40，由题意得36
②当30
解得30≤m<40．
【解析】(1)求出三口之家的人均住房面积为2813平方米，再列式计算即可；
(2)分两种情况：当20m时，根据题意分别列出函数关系式即可；
(3)分两种情况：①当40≤m≤50时，②当30
25.【答案】解：(1)令x=0，则y=0+3=3，
∴A(0,3)，
设直线AC：y=kx+b，
把A(0,3)和C(3,0)代入y=kx+b中，
得b=33k+b=0，
解得k=−1b=3，
∴直线AC的解析式y=−x+3；
(2)在y=x+3中，令y=0，则x=−3，
∴B(−3,0)，
∴AB= 32+32=3 2，AC= 32+32=3 2，BC=6，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
由题意得D(−2,1)，
∴点D关于直线AC的对称点D′(2,5)，
而点D关于x轴的对称点D″(−2,−1)，
连接D′D″交直线AC于点M，交x轴于点N，
则AM+MN+DN最小，
∴D′D′= (−2−2)2+(−1−5)2=2 13，
∴AM+MN+DN的最小值为2 13；
(3解：设直线D′D″的解析式为y=px+q，
把D′(2,5)和D′(−2,−1)代入，
得−2p+q=−12p+q=5，
解得p=32q=2，
∴直线D′D″的解析式为y=32x+2，
当y=0时，
则32x+2=0，
解得x=−43，
∴N(−43,0)，
联立y=32x+2y=−x+3，
解得x=25y=135，
∴M(25,135)．
①当MN为对角线时，MN的中点即为对角线的交点，如图，
∴MN的中点坐标为(−43+252,0+1352)，
即(−715,1310)；
②当MN为边，且点P在直线AC左侧时，如图，
∵NP//QM，
∴设NP的解析式为y=−x+a，
把N(−43,0)代入y=−x+a，
得0=−(−43)+a，
解得a=−43，
∴NP的解析式为y=−x−43，
由y=−x−43y=x+3，
解得x=−136y=56，
∴P(−136,56)，
∴平行四边形PNMQ的对角线的交点坐标为(−136+252,135+562)，
即(−5360,10560)，
③当点P在直线AC右侧时，如图，
∵PQ//MN，
∴设直线PQ的解析式为y=32x+n，
由y=32x+ny=x+3，
解得x=6−2ny=9−2n，
∴P(6−2n,9−2n)，
由y=32x+ny=−x+3，
解得x=6−2n5y=9+2n5，
∴Q(6−2n5,9+2n5)，
由中点坐标公式得，6−2n−432=6−2n5+252，
解得n=2312，
∴6−2n−432=6−2×2312−432=512，9−2n2=9−2×23122=3112，
∴平行四边形NQPM对角线交点坐标为(512,3112)，
综上，以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，平行四边形对角线交点坐标为(−715,1310)或(−5360,10360)或(512,3112)．
【解析】(1)先求出直线AB与y轴交点A的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
(2)求出点B的坐标，判断△ABC为直角三角形，分别作出点D关于直线AC的对称点D′(2,5)，点D关于x轴的对称点D″(−2,−1)，连接D′D″交直线AC于点M，交x轴于点N，则AM+MN+DN最小，最小值为D′D″；
(3)求出直线D′D″的解析式，得到点M，N的坐标，分MN为边和对角线两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用分类讨论的思想和方程思想解决问题是解答本题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，
令∠BAF=∠1，∠FAD=∠2，∠CAE=∠3，∠DCE=∠4，∠ABE=∠5，∠CDE=∠6，∠BDA=∠7，
由题意∠5+∠7=90°，∠4+∠6=90°，而∠6=∠7，
∴∠4=∠5，
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=4 2，
∴BC=8，
在Rt△BCE中，BE=2 15，
∴EF=BE−BF=2 15−2；
(2)证明：如图2，过点A作AQ⊥AK交KB的延长线于点Q，
令∠QAB=∠1，∠BAH=∠2，∠GAC=∠3，∠ACG=∠4，∠QBA=∠5，
∵AG=AC，AB=AC，∠BAG的平分线交BD于点H，
∴AB=AG，∠AGK=∠4，
∴在等腰三角形AGB中，AK垂直平分BG，
∴GK=BK，△ABK≌△AGK(SSS)，
∴∠ABK=∠AGK=∠4，
∴∠5=∠ACK，
∵∠1+∠2=∠2+∠KAC=90°，
∴∠1=∠KAC，又AB=AC，
∴△ABQ≌△ACK(ASA)，
∴CK=BQ，AQ=AK，
∴△AQK是等腰直角三角形，
∴QK= 2AK，
∵QK=BQ+BK=CK+GK，
∴CK+GK= 2AK；
(3)解：GMKM的最大值为 2+1．
根据(2)可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACK(ASA)，AK垂直平分BG，
∴∠CKA=∠AQB=45°，∠CKA=∠BKA，
∴∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，
∵BC的中点为点M，
∴KM=12BC=4，AM=12BC=4，即GMKM=GM4，
∴当GM最大时，GMKM有最大值，
∵AG=AC=4 2，
∴点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，
∴当点G在点G1，且G1M⊥BC时，GM最大，
∴G1M=G1A+AM=4 2+4．
∴GM最大为4 2+4，GMKM=GM4= 2+1，即GMKM的最大值为 2+1．
【解析】(1)令∠BAF=∠1，∠FAD=∠2，∠CAE=∠3，∠DCE=∠4，∠ABE=∠5，∠CDE=∠6，∠BDA=∠7，证明△ABF≌△ACE(ASA)，即可得BF=CE=2，然后利用勾股定理求得EF；
(2)过点A作AQ⊥AK交KB的延长线于点Q，令∠QAB=∠1，∠BAH=∠2，∠GAC=∠3，∠ACG=∠4，∠QBA=∠5，先证明在等腰△AGB中，AK垂直平分BG，即有GK=BK，△ABK≌△AGK，再证明△ABQ≌△ACK(ASA)，即有CK=BQ，AQ=AK，推导出△AQK是等腰直角三角形，进一步解答得到CK+GK= 2AK；
(3)根据(2)可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ=△ACK(ASA)，AK垂直平分BG，先证明∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，即可得KM=BC=4，AM=12BC=4即GMKM=GM4即当GM最大时，GM有最大值；易知点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，即当点G在点G，且GM⊥BC时，GM最大，可得G1M=G1A+AM=4 2+4，进一步解答得到GMKM的最大值为 2+1．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出科学的辅助线，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2022-2023学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中最简二次根式是( )
A. 9 B. 4a C. x2 D. a
2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面( )
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米
3. 下列算式中正确的是( )
A. 4÷ 2= 2 B. 3+ 2= 5 C. 3− 2=1 D. (−2)2=−2
4. 若a是实数，则 a2−2a+1=( )
A. a−1 B. 1−a C. ±(a−1) D. |a−1|
5. 如图，四边形ABCD是矩形，有一动点P从点B出发，沿B→C→D→A路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动.在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 八年级1班班主任从全班选出15名同学参加合唱训练，已知15名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高(cm)
158
160
163
165
168
170
人数
2
3
5
2
2
1
则该合唱队15名同学的身高的众数和中位数分别是( )
A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164
7. 已知M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，若x1<0
A. 14 B. 24 C. 14+2 7 D. 24或14+2 7
9. 如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则 22(AE+ 2BE)的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 6
10. 小华、小伟相约去从甲地到乙地玩耍，两人到达甲地后，小华想起要去丙地取一份文件，于是小华先快于小伟的速度匀速前往丙地，取文件还耽误了5分钟，之后掉头以起先速度的910倍匀速返回甲地再前
往乙地，小伟匀速先到乙地后便等待，已知丙、甲、乙三地依次在一直线上，设两人同时从甲地出发所用的时间为x(单位：分钟)，两人的距离为y(单位：米)，其函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. a=1760 B. b=145
C. c=150 D. 甲、丙两地距离800米
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若二次根式 2x−2有意义，则x的取值范围为______．
12. 若ab<0，则化简 a2b2+2ab为______ ．
13. 若y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，则实数m= ______ ．
14. 已知三组数据5，6，7，8，9；5，6，8，9，11；8，8，8，8，8的方差为分别为S12，S22，S32；则S12，S22，S32的大小关系是______ .(用“<”连接)
15. 如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地毯，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要______ 元.
16. 已知关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，且一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，则整数a的值为______ ．
17. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△GDE，连接CG.若CG//BD，则∠CEG= ______ ．
18. 对任意一个三位数n，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称n为“中和数”.现将n的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n′，规定F(n)=(n′−n)+9，例如143是一个“中和数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数n′=431，所以F(143)=(431−143)÷9=32.如果F(n)是13的倍数，那么称这样的“中和数”n为“幸运中和数”，则最大的“幸运中和数”为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算(−1)10−(− 2)2+ (−3)2；
(2)化简( x− y)( x+ y)− x( x− y)．
20. (本小题10.0分)
如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．
(1)请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)的作图，证明：AE//CF.请在答题卡上完成相应编号的填空．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ECF=① ______ (两直线平行，内错角相等)，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF=② ______ ，∠ECF=③ ______ ，
∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，
∴AE//CF ④ ______ (填推理的依据)．
21. (本小题10.0分)
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛.现从两队中各随机抽取10名队员的比赛成绩(百分制)作样本进行整理和分析(用x表示成绩得分，并分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
(2)你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是多少？
22. (本小题10.0分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，坐标原点O为线段BD的中点，x轴正半轴上点C满足OA=3OC，直线AB与直线CD交于点E．
(1)求直线CD的解析式；
(2)求四边形BOCE的面积．
23. (本小题10.0分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AG//CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
24. (本小题10.0分)
房地产管理部门制定了一个购买保障性住房方案如下表：
人均住房面积(平方米)
单价(万元/平方米)
不超过20(平方米)
0.2
超过20平方米且不超过m(平方米)部分(30≤m≤50)
0.4
超过m平方米部分
0.6
王师傅家有3口人，根据这个购房方案：
(1)若王师傅家欲购买85平方米的保障房，求其应缴纳的购房款；
(2)设王师傅家购买保障房的人均面积为x平方米，应缴房款y万元，分别求出当20
(3)王师傅家欲购买保障房的面积为120平方米，期望应缴购房款可以超过36万元但最多不能超过42万元.若该方案能满足王师傅家期望，求m的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知过点A的直线AB：y=x+3和直线AC分别与x轴交于点B、点C(3,0)，点D在直线AB上，其横坐标为−2；点M、
N分别是直线AC和x轴上的动点．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求AM+MN+DN的最小值；
(3)在(2)的结论下，当点P、Q分别是直线AB、AC上的动点，以点
M、N、P、Q为顶点的四边形是否能构成平行四边形？若能，请直接写出该平行四边形对角线的交点坐标；若不能，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4 2，点D为直线AC上一点，连接BD．
(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F，当CE=2时，求EF的长；
(2)如图2，延长BD至点G，使AG=AC，作∠BAG的平分线交BD于点H，交GC的延长线于点K.求证：GK+CK= 2AK；
(3)如图3，在(2)的条件下，取BC的中点M，连接KM、GM，当点D在直线AC上运动时，直接写出GMKM的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 4a=2 a，故B不符合题意；
C、 x2=|x|，故C不符合题意；
D、 a是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设梯子顶端到离地面高度为h米，
根据勾股定理得h= 52−42=3(米)，
答：梯子顶端到离地面高度为3米，
故选：B．
利用勾股定理即可求出梯子顶端到离地面的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
3.【答案】A
【解析】解：A． 4÷ 2= 4÷2= 2，所以A选项符合题意；
B. 3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. (−2)2=2，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解： a2−2a+1= (a−1)2=|a−1|，
故选：D．
根据 a2=|a|化简即可．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握 a2=|a|．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得，当点P在点B运动到点C时，S=12AB⋅BP，△ABP的面积S随时间t的增大而增大；
当点P在点C运动到点D时，S=12AB⋅BC，△ABP的面积S随时间t的增大而不变；
当点P在点D运动到点A时，S=12AB⋅AP，△ABP的面积S随时间t的增大而减小；
所以在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：B．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
6.【答案】B
【解析】解：因为163出现的次数最多，
所以众数是：163；
因为第8个数是163，
所以中位数是：163．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】A
【解析】解：当x=0时，y=k×0+2=2，
∴一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)．
∵k>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，且x1<0
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)，由k>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合x1<0
8.【答案】D
【解析】解：①当6和8均为直角边时，斜边= 62+82=10，
则这个直角三角形的周长是：6+8+10=24；
②当6为直角边，8为斜边时，
则斜边为： 82−62=2 7．
故这个直角三角形的周长是：14+2 7．
故选：D．
先根据勾股定理求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
此题主要考查了勾股定理，正确分类讨论求出直角三角形的周长是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图所示，以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，
由勾股定理得AF2+EF2=AE2，
∵AF=EF，
∴EF= 22AE，
∴ 22(AE+ 2BE)= 22AE+BE=EF+BE，
∵BE+EF≥BF，
∴当 22(AE+ 2BE)最小，即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，即最小值为线段BE的长，此时∠AFB=90°，如图，
∵∠BAC=15°，∠EAF=45°，
∴∠BAF=60°，
在Rt△AFB中，∠ABF=90°−60°=30°，
∴AF=12AB=12×4=2，
∴BF= AB2−AF2= 42−22=2 3，
∴ 22(AE+ 2BE)的最小值为2 3．
故选：C．
以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，证出 22(AE+ 2BE)=EF+BE，当 22(AE+ 2BE)最小，即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设小华从甲地到丙地的速度为v1米/分，小伟的速度为v2米/分，
根据题意得：10v1+10v2=144045v2+1440−40×910v1=1440，
解得v1=80v2=64，
∴小华从甲地到丙地的速度为80米/分，小伟的速度为64米/分，
∴小华掉头之后的速度为72米/分，
∴a=1440+5×64=1440+320=1760，
∵80×10=800(米)，
∴甲、丙两地的距离是800米，
故A、D正确，不符合题意；
∵64(b−10)+1440−72(b−15)=720，
∴b=145，
故B正确，不符合题意；
由图象知，小伟在145分钟时到达乙地，
∴小华走720米所用时间为：72072=10(分)，
∴c=145+10=155，
故C错误，符合题意．
故选：C．
设小华从甲地到丙地的速度为v1米/分，小伟的速度为v2米/分，先根据10分和55分时两人相距1440米，列出方程组求出v1和v2，再根据路程，时间，速度之间的关系逐一求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得，2x−2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】ab
【解析】解：∵ab<0，
∴原式=|ab|+2ab
=−ab+2ab
=ab，
故答案为：ab．
a2=|a|=a,a≥0−a,a<0，据此进行化简即可．
本题考查二次根式的化简，二次根式的性质是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】−1
【解析】解：∵y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，
∴|m|=1且m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
根据一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题关键．
14.【答案】S32
∴S12=15×[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，
S22=15×[(5−7.8)2+(6−7.8)2+(8−7.8)2+(9−7.8)2+(11−7.8)2]=4.56，
S32=15×[(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2]=0，
∴S32
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
15.【答案】560
【解析】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是 52−32=4(m)，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3+4=7(m)，
所以面积是7×2=14(m2)，
所以价格是14×40=560(元)．
故答案为：560．
根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱．
本题考查了生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：去分母得：1−ax+1+2−x=0，
解得：x=4a+1且x≠2，
∵关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，
∴4a+1为整数且4a+1≠2，
解得：a=0或3或−5或−3或−2，
∵一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，
∴a>0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
解分式方程得x=4a+1且x≠2，则整数a为0，3，−5，−3，−2时分式方程的解为整数解，再解不等式a>0，从而得到满足条件的整数a的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出a值是本题的关键．
17.【答案】60°
【解析】解：连接AC交BD于点O，作GI⊥OB于点I，作AH⊥GI交GI的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AC=BD，AC⊥BD，BC=DC，∠BCD=90°，
∵CG//BD，
∴∠OCG=∠COD=90°，
∴∠COI=∠OIG=∠AOI=∠OIH=∠AHI=90°，
∴四边形OAHI、四边形OCGI、四边形ACGH都是矩形，
∴IH=OA，IG=OC，GH=AC=BD，
∴IH=IG，
∴BD垂直平分GH，
∴GD=HD，
由翻折得GD=BD，
∴GH=GD=HD，
∴∠GDH=60°，
∴∠GDB=∠HDB=12∠GDH=30°，
∴∠GDE=∠BDE=12∠GDB=15°，
∵∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠DEG=∠DEB=180°−∠CBD−∠BDE=120°，
∵∠CED=∠BDE+∠CBD=60°，
∴∠CEG=∠DEG−∠CED=60°，
故答案为：60°．
连接AC交BD于点O，作GI⊥OB于点I，作AH⊥GI交GI的延长线于点H，由正方形的性质得OA=OC，AC=BD，AC⊥BD，BC=DC，∠BCD=90°，因为CG//BD，所以∠OCG=∠COD=90°，可证明四边形OAHI、四边形OCGI、四边形ACGH都是矩形，则IH=OA，IG=OC，GH=AC=BD，所以IH=IG，则GD=HD，由翻折得GD=BD，则GH=GD=HD，所以∠GDH=60°，则∠GDB=∠HDB=30°，∠GDE=∠BDE=15°，而∠CBD=∠CDB=45°，则∠DEG=∠DEB=120°，因为∠CED=∠BDE+∠CBD=60°，所以∠CEG=∠DEG−∠CED=60°，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】594
【解析】解：设这个幸运中和数的个位数字为x，百位数字为y，则十位数字为x+y，x，y为非负整数，
∴n=100y+10(x+y)+x=110y+1lx，
∴n′=100(x+y)+10x+y=110x+101y，
∴F(n)=[(110x+101y)−(110y+11x)]+9=11x−y=13x−(2x+y)，
∵F(n)是13的倍数，
则2x+y是13的倍数，
∵0≤x≤9，1≤y≤9，
∴1≤2x+y≤27，
∴2x+y的值为：13，26，
∵x，y为非负整数，且1≤x+y≤9，
∴x=4y=5或x=5y=3或x=6y=1，
∴所有幸运中和数为：594，385，176，
∴最大的幸运中和数为：594．
故答案为：594．
设这个幸运中和数的个位数字为x，百位数字为y，则十位数字为x+y，x，y为非负整数，则F(n)=11x−y=13x−(2x+y)，根据题意2x+y是13的倍数，0≤x≤9，1≤y≤9，且1≤2x+y≤27，从而确定2x+y的值为：13，26，再分别列举出满足条件的x，y的值即可．
本题考查了整式的加减运算，理解新定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(−1)10−(− 2)2+ (−3)2
=1−2+3
=2；
(2)( x− y)( x+ y)− x( x− y)
=x−y−x+ xy
= xy−y．
【解析】(1)先算乘方与开方，再进行加减运算即可；
(2)先利用平方差公式与单项式乘多项式的法则计算，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20.【答案】∠CFB 12∠BAD 12∠BCD 同位角相等，两直线平行
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ECF=①∠CFB(两直线平行，内错角相等)，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF=②12∠BAD，∠ECF=③12∠BCD，
∴∠EAF=∠ECF=∠CFB，
∴AE//CF ④(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：∠CFB，12∠BAD，12∠BCD，同位角相等，两直线平行．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明∠EAF=∠CFB，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)1−20%−10%−3÷10×100%=40%，
则a=40，
蓝队样本的众数为96，
红队样本的中位数为(93+94)÷2=93.5；
(2)我认为蓝队比赛成绩好些(一条合理即得分)，
因为蓝队的中位数96大于红队的中位数93.5：
(3)两队抽取的20人中此次比赛活动成绩优秀的有6+4=10(人)，
占样本的50%，该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有100×50%=50(人)．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是50人．
【解析】(1)用“1”分别减去其他三组所占比例可得a的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
(2)根据中位数的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．
22.【答案】解：(1)当y=0时，23x+2=0，解得x=−3，
∴A(−3,0)，
当x=0时，y=23x+2=2，
∴B(0,2)，
∵OA=3OC，
∴OC=1，
∴C(1,0)，
∵坐标原点O为线段BD的中点，
∴D(0,−2)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C(1,0)，D(0,−2)分别代入得k+b=0b=−2，
解得k=2b=−2，
∴直线CD的解析式为y=2x−2；
(2)解方程组y=23x+2y=2x−2得x=3y=4，
∴E(3,4)，
∴四边形BOCE的面积=S△BDE−S△OCD=12×(2+2)×3−12×1×2=5．
【解析】(1)先利用直线AB的解析式求出A(−3,0)，B(0,2)，则利用OA=3OC和坐标原点O为线段BD的中点得到C(1,0)，D(0,−2)，然后利用待定系数法求出直线CD的解析式；
(2)先解方程组y=23x+2y=2x−2得E(3,4)，再根据三角形面积公式，利用四边形BOCE的面积=S△BDE−S△OCD进行计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
23.【答案】证明：(1)∵AG//DC，AD//BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=12AG，DF=12DC，
即GE=DF，GE//DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；
(2)连结DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG，
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD，
∵AD//BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB//DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．
【解析】(1)求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG//DF，根据平行四边形的判定推出即可；
(2)连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24.【答案】解：(1)三口之家的人均住房面积为853=2813(平方米)，
∴王师傅家应缴购房款为：0.2×60+0.4×25=22 (万元)；
(2)由题意得：当20
=1.8x−0.6m−12；
(3)∵120÷3=40，由题意得36
②当30
解得30≤m<40．
【解析】(1)求出三口之家的人均住房面积为2813平方米，再列式计算即可；
(2)分两种情况：当20
(3)分两种情况：①当40≤m≤50时，②当30
25.【答案】解：(1)令x=0，则y=0+3=3，
∴A(0,3)，
设直线AC：y=kx+b，
把A(0,3)和C(3,0)代入y=kx+b中，
得b=33k+b=0，
解得k=−1b=3，
∴直线AC的解析式y=−x+3；
(2)在y=x+3中，令y=0，则x=−3，
∴B(−3,0)，
∴AB= 32+32=3 2，AC= 32+32=3 2，BC=6，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
由题意得D(−2,1)，
∴点D关于直线AC的对称点D′(2,5)，
而点D关于x轴的对称点D″(−2,−1)，
连接D′D″交直线AC于点M，交x轴于点N，
则AM+MN+DN最小，
∴D′D′= (−2−2)2+(−1−5)2=2 13，
∴AM+MN+DN的最小值为2 13；
(3解：设直线D′D″的解析式为y=px+q，
把D′(2,5)和D′(−2,−1)代入，
得−2p+q=−12p+q=5，
解得p=32q=2，
∴直线D′D″的解析式为y=32x+2，
当y=0时，
则32x+2=0，
解得x=−43，
∴N(−43,0)，
联立y=32x+2y=−x+3，
解得x=25y=135，
∴M(25,135)．
①当MN为对角线时，MN的中点即为对角线的交点，如图，
∴MN的中点坐标为(−43+252,0+1352)，
即(−715,1310)；
②当MN为边，且点P在直线AC左侧时，如图，
∵NP//QM，
∴设NP的解析式为y=−x+a，
把N(−43,0)代入y=−x+a，
得0=−(−43)+a，
解得a=−43，
∴NP的解析式为y=−x−43，
由y=−x−43y=x+3，
解得x=−136y=56，
∴P(−136,56)，
∴平行四边形PNMQ的对角线的交点坐标为(−136+252,135+562)，
即(−5360,10560)，
③当点P在直线AC右侧时，如图，
∵PQ//MN，
∴设直线PQ的解析式为y=32x+n，
由y=32x+ny=x+3，
解得x=6−2ny=9−2n，
∴P(6−2n,9−2n)，
由y=32x+ny=−x+3，
解得x=6−2n5y=9+2n5，
∴Q(6−2n5,9+2n5)，
由中点坐标公式得，6−2n−432=6−2n5+252，
解得n=2312，
∴6−2n−432=6−2×2312−432=512，9−2n2=9−2×23122=3112，
∴平行四边形NQPM对角线交点坐标为(512,3112)，
综上，以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，平行四边形对角线交点坐标为(−715,1310)或(−5360,10360)或(512,3112)．
【解析】(1)先求出直线AB与y轴交点A的坐标，再运用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
(2)求出点B的坐标，判断△ABC为直角三角形，分别作出点D关于直线AC的对称点D′(2,5)，点D关于x轴的对称点D″(−2,−1)，连接D′D″交直线AC于点M，交x轴于点N，则AM+MN+DN最小，最小值为D′D″；
(3)求出直线D′D″的解析式，得到点M，N的坐标，分MN为边和对角线两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用分类讨论的思想和方程思想解决问题是解答本题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1，
令∠BAF=∠1，∠FAD=∠2，∠CAE=∠3，∠DCE=∠4，∠ABE=∠5，∠CDE=∠6，∠BDA=∠7，
由题意∠5+∠7=90°，∠4+∠6=90°，而∠6=∠7，
∴∠4=∠5，
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(ASA)，
∴BF=CE=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=4 2，
∴BC=8，
在Rt△BCE中，BE=2 15，
∴EF=BE−BF=2 15−2；
(2)证明：如图2，过点A作AQ⊥AK交KB的延长线于点Q，
令∠QAB=∠1，∠BAH=∠2，∠GAC=∠3，∠ACG=∠4，∠QBA=∠5，
∵AG=AC，AB=AC，∠BAG的平分线交BD于点H，
∴AB=AG，∠AGK=∠4，
∴在等腰三角形AGB中，AK垂直平分BG，
∴GK=BK，△ABK≌△AGK(SSS)，
∴∠ABK=∠AGK=∠4，
∴∠5=∠ACK，
∵∠1+∠2=∠2+∠KAC=90°，
∴∠1=∠KAC，又AB=AC，
∴△ABQ≌△ACK(ASA)，
∴CK=BQ，AQ=AK，
∴△AQK是等腰直角三角形，
∴QK= 2AK，
∵QK=BQ+BK=CK+GK，
∴CK+GK= 2AK；
(3)解：GMKM的最大值为 2+1．
根据(2)可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACK(ASA)，AK垂直平分BG，
∴∠CKA=∠AQB=45°，∠CKA=∠BKA，
∴∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，
∵BC的中点为点M，
∴KM=12BC=4，AM=12BC=4，即GMKM=GM4，
∴当GM最大时，GMKM有最大值，
∵AG=AC=4 2，
∴点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，
∴当点G在点G1，且G1M⊥BC时，GM最大，
∴G1M=G1A+AM=4 2+4．
∴GM最大为4 2+4，GMKM=GM4= 2+1，即GMKM的最大值为 2+1．
【解析】(1)令∠BAF=∠1，∠FAD=∠2，∠CAE=∠3，∠DCE=∠4，∠ABE=∠5，∠CDE=∠6，∠BDA=∠7，证明△ABF≌△ACE(ASA)，即可得BF=CE=2，然后利用勾股定理求得EF；
(2)过点A作AQ⊥AK交KB的延长线于点Q，令∠QAB=∠1，∠BAH=∠2，∠GAC=∠3，∠ACG=∠4，∠QBA=∠5，先证明在等腰△AGB中，AK垂直平分BG，即有GK=BK，△ABK≌△AGK，再证明△ABQ≌△ACK(ASA)，即有CK=BQ，AQ=AK，推导出△AQK是等腰直角三角形，进一步解答得到CK+GK= 2AK；
(3)根据(2)可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ=△ACK(ASA)，AK垂直平分BG，先证明∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，即可得KM=BC=4，AM=12BC=4即GMKM=GM4即当GM最大时，GM有最大值；易知点G在以A点为圆心，AG为半径的圆上，即当点G在点G，且GM⊥BC时，GM最大，可得G1M=G1A+AM=4 2+4，进一步解答得到GMKM的最大值为 2+1．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出科学的辅助线，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
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