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2022-2023学年湖南省长沙市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a−b+3
C. 3a<3b D. −a4<−b4
2. 如图，直线l1//l2，直线l1，l2被直线l3所截，若∠1=54°，则∠2的大小为( )
A. 126°
B. 46°
C. 36°
D. 136°
3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是( )
A. (1,2) B. (1,−2) C. (−1,2) D. (−1,−2)
4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是( )
A. 环保部门调查湘江的水质情况
B. 调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C. 调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D. 调查神舟十六号飞船各零部件是否正常
5. 下列运算正确的是( )
A. 9=±3 B. 39=3 C. 3−27=−3 D. −4=−2
6. 如图，下列推理不正确的是( )
A. ∵∠1=∠2，∴AB//CD
B. ∵∠1=∠2，∴AD//BC
C. ∵∠3=∠4，∴AD//BC
D. ∵∠4=∠5，∴AB//CD
7. 如果方程组x+y=⋆2x+y=16的解为x=6y=◼，那么被“★、■”遮住的两个数分别为( )
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
8. 不等式组3x+3≥0x−2≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 若关于x，y的方程组2x−y=5k+64x+7y=k的解满足x+y=2023，则k的值为( )
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023
10. 如图，在平面直角坐标系中，AB//EG//x轴，BC//DE//HG//AP//y轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1,2)，B(−1,2)，D(−3,0)，E(−3,−2)，G(3,−2)，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. (1,2) B. (−1,1) C. (−1,2) D. (1,0)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点A(−3,4)与点B(2,4)间的距离是______ ．
12. 如果关于x，y的方程(m−3)x+y|m−2|=2023是二元一次方程，那么m= ______ ．
13. 若 x−4+(5−y)2=0，则x+y的平方根是______ ．
14. 已知关于x的不等式x−a>1的解集如图所示，则a的值等于______
15. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
16. (1)如图一，AB//CD，∠B=70°，∠D=30°，则∠DEB= ______ ．
(2)如图二，AB//CD，∠ABF=23∠ABE,∠CDF=23，∠CDE，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为______
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：(−1)2023− 16+|3− 3|−3−8．
18. (本小题4.0分)
解方程组：3x−13y=−16x+3y=2．
19. (本小题8.0分)
解下列不等式(组)：
(1)4(x+1)≤7x+10；
(2)3x−2≥x+214x−1<8−3x4；
20. (本小题6.0分)
如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC向右平移6个单位长度后，再向下平移2个单位长度后的图形Δ A1B1C1
(2)写出Δ A1B1C1顶点A1B1C1的坐标；
(3)求线段AB所扫过的面积．
21. (本小题8.0分)
为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
22. (本小题6.0分)
完成下面的证明．
已知：如图，∠C=∠D，∠AFD+∠AEC=180°
求证：∠A=∠AED．
证明：∵∠AFD=∠BFE(______ )，
∠AFD+∠AEC=180°(已知)，
∴∠BFE+∠AEC=180°．
∴BD// ______ (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠C= ______ (两直线平行，同位角相等)．
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(______ ).
∴AC//DE(______ ).
∴∠A=∠AED(______ ).
23. (本小题8.0分)
如图，已知∠BAC=90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED=180°．
(1)求证：BD//EC；
(2)连接BE，若∠BDE=30°，且∠DBE=∠ABE+50°，求∠ABE的度数．
24. (本小题8.0分)
为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折.如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
25. (本小题10.0分)
阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m−n=6，就称点P(m−1,3n+1)为“郡麓点”.例如：点E(3,1)，令m−1=33n+1=1得m=4n=0，m−n=4≠6，所以E(3,1)不是“郡麓点”；F(4,−2)，令m−1=43n+1=−2得m=5n=−1，m−n=6，所以F(4,−2)是“郡麓点”．
(1)请判断点A(7,1)，B(6,4)是否为“郡麓点”：______
(2)若以关于x，y的方程组x+y=22x−y=t的解为坐标的点C(x,y)是“郡麓点”，求t的值；
(3)若以关于x，y的方程组x−y=a3x+y=2b的解为坐标的点D(x,y)是“郡麓点”，求正整数a，b的值．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A(a,0)，C(0,c)，其中a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0．
(1)点P从O点出发沿折线OA−AB−BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
①在运动过程中，当点P到OC的距离为2个单位长度时，t= ______ ．
②在点P的运动过程中，记△POC的面积为S，用含t的代数式表示S；
(2)点P在射线OA上，点M为射线OA上一动点，∠CPM=120°，连接MC，作CD平分∠PCM交x轴于点D，直线OA上取点N，连接NC，使∠PNC=2∠NMC，当∠DCN=14∠DNC时，求∠DCM的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、若a−b，则−a+3>−b+3，故该选项正确，不符合题意；
C、若a−b4，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐项分析判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】A
【解析】解：如图：
∵直线l1//l2，
∴∠1=∠3=54°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−∠3=180°−54°=126°．
故选A．
先由两直线平行，内错角相等可得∠3的度数，再由邻补角定义可得结果．
此题主要是考查了平行线性质能够熟练运用平行线的性质得出∠3的度数是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：第二象限内的点横坐标小于0，坐标轴大于0，
∴(−1,2)是第二象限的点，其他的不是．
故选：C．
根据第二象限内点坐标的特点判断出正确选项．
本题考查点坐标所在的象限，掌握各个象限内点坐标的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、环保部门调查湘江的水质情况查，适合抽样调查方式，不符合题意；
B、调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度，适合抽样调查方式，不符合题意；
C、调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长，适合抽样调查方式，不符合题意；
D、调查神舟十六号飞船各零部件是否正常，适合采用全面调查方式，符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵ 9=3，
∴选项A不符合题意；
∵39<3，
∴选项B不符合题意；
∵3−27=−3，
∴选项C符合题意；
∵−4没有平方根，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
运用平方根和立方根知识对各选项进行逐一求解、辨别．
此题考查了平方根和立方根应用的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故B不正确，符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AD//BC，
故C正确，不符合题意；
∵∠4=∠5，
∴AB//CD，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：将x=6y=◼代入2x+y=16得：2×6+■=16，
解得：■=4；
将x=6y=4代入x+y=★得：6+4=★，
∴★=10．
∴被“★、■”遮住的两个数分别为10，4．
故选：C．
将x=6y=◼代入2x+y=16，可求出被“■”遮住的数，再将x=6y=4代入x+y=★，可求出被“★”遮住的数．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在3x+3≥0x−2≤0的解中，
由3x+3≥0得：x≥−1，
由x−2≤0得：x≤2，
∴不等式组的解集为：−1≤x≤2．
故选：A．
首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
9.【答案】C
【解析】解：2x−y=5k+6①4x+7y=k②，
①+②，得6x+6y=6k+6，
∴x+y=k+1，
∵x+y=2023，
∴k+1=2023，
∴k=2022．
故选：C．
用整体思想①+②，得6x+6y=6k+6，等式两边都除以6，得x+y=k+1，再根据x+y=2023，从而计算出k的值．
本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,2)，B(−1,2)，D(−3,0)，E(−3,−2)，G(3,−2)，
∴“凸”形ABCDEFGHP的周长为20，
2023÷20的余数为3，
∴则细线另一端所在位置的点的坐标是(−1,1)．
故选：B．
先求出凸形ABCDEFGHP的周长为20，得到2023÷20的余数为3，由此即可解决问题．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
11.【答案】5
【解析】解：
∵点A、B的纵坐标相同，
∴AB//x轴，
∴AB=2−(−3)=5．
故答案为：5．
在平面直角坐标系中标出点A、B，根据它们的位置关系求解．
本题考查坐标与图形的性质，比较简单，也比较直观．
12.【答案】1
【解析】解：∵关于x，y的方程(m−3)x+y|m−2|=2023是二元一次方程，
∴m−3≠0|m−2|=1，
解得m=1．
故答案为：1．
利用二元一次方程的定义解答即可．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
13.【答案】±3
【解析】解：由题意得， x−4=0，(5−y)2=0，
∴x−4=0，5−y=0．
∴x=4，y=5．
∴x+y=4+5=9．
∴x+y的平方根是± 9=±3．
故答案为：±3．
依据题意，由两个非负数的和为0，可得这两个非负数均为0，从而 x−4=0，(5−y)2=0，进而求出x，y的值，最后可以得解．
本题主要考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：由数轴得x>−1，
∵x−a>1，
∴x>a+1，
∴a+1=−1，
∴a=−2，
故答案为：−2．
由数轴得x>−1，解不等式得x>a+1，由此得到a+1=−1，求解即可．
本题考查了已知解集求不等式中的参数，解一元一次方程，正确理解数轴得到解集是解题的关键．
15.【答案】4x+6y=483x+5y=38
【解析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=483x+5y=38．
故答案是：4x+6y=483x+5y=38．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
16.【答案】100° ∠DQB+34∠DFB=180°
【解析】解：(1)如图，过E点作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=100°，
故答案为：100°；
(2)如图，过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF∠DQB=∠DQK+∠KQB=∠GDQ+∠QBH，
∵∠ABF=23∠ABE,∠CDF=23∠CDE，
∴DFB=∠CDF+∠ABF=23∠CDE+23∠ABE=23(∠CDE+∠ABE)，
∴32∠DFB=∠CDE+∠ABE，
∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=12∠GDE+12∠HBE=12(∠GDE+∠HBE)，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=12(180°−∠CDE+180°−∠ABE)，
∴∠DQB=180°−12(∠CDE+∠ABE)，
∴∠DQB=180°−12×32∠DFB，
∴∠DQB+34∠DFB=180°，
故答案为：∠DQB+34∠DFB=180°．
(1)根据两直线平行，内错角相等解答即可；
(2)根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT//CD，QK//AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．
本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023− 16+|3− 3|−3−8
=−1−4+3− 3−(−2)
=−1−4+3− 3+2
=− 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：3x−13y=−16①x+3y=2②，
①−②×3得：−22y=−22，
∴y=1
把y=1代入②得：x+3=2，
∴x=−1，
∴方程组的解是x=−1y=1．
【解析】①−②×3得出方程−22y=−22，求出y的值，把y的值代入②求出x即可．
本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度不大．
19.【答案】解：(1)4(x+1)≤7x+10，
4x+4≤7x+10，
4x−7x≤10−4，
−3x≤6，
x≥−2；
(2)3x−2≥x+2①14x−1<8−3x4②，
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x<3，
∴原不等式组的解集为：2≤x<3．
【解析】(1)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，ΔA1B1C1即为所求．
(2)由图知A1(5,6)，B1(1,1)，C1(6,4)；
(3)线段AB所扫过的面积为6×5+2×4=38．
【解析】(1)将三个顶点分别向右平移6个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)根据图形可得三个顶点坐标；
(3)根据平行四边形的面积求解即可．
本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
21.【答案】解：(1)本次被抽查学生的总人数是60÷30%=200(人)，
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是360°×20200=36°；
(2)“音乐舞蹈”的人数为200−50−60−20−40=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为50200×1600=400(人)．
【解析】(1)从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的30%，可求出调查人数；用360°乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】对顶角相等 CE ∠ABD 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠AFD=∠BFE(对顶角相等)，
∠AFD+∠AEC=180°(已知)，
∴∠BFE+∠AEC=180°．
∴BD//CE(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)．
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代换)．
∴AC//DE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠A=∠AED(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；CE；∠ABD；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC(已知)，
∴∠AHE=90°(垂直的定义)，
∵∠BAC=90°(已知)，
∴∠BAC=∠AHE=90°(等量代换)，
∴AB//DE(内错角相等，两直线平行)，
∴∠ABD+∠BDE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠ABD+∠CED=180°(已知)，
∴∠BDE=∠CED(等量代换)，
∴BD//EC(内错角相等，两直线平行)；
(2)解：由(1)可得，∠ABD+∠BDE=180°，
∵∠BDE=30°，
∴∠ABD=180°−∠BDE=180°−30°=150°，
∵∠DBE=∠ABE+50°，
∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=∠ABE+∠ABE+50°=2∠ABE+50°=150°，
∴∠ABE=50°．
【解析】(1)根据题意得到BA//DE，根据平行线的性质推出∠BDE=∠CED，即可判定BD//EC；
(2)结合题意，根据平行线的性质定理求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：50x+25y=4500y−x=30，
解得：x=50y=80．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
(2)设购买m个B种品牌的足球，则购买(50−m)个A种品牌的足球，
根据题意得：(50−4)(50−m)+80×0.8m≤2750m≥23，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×27+80×0.8×23=2714(元)；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×26+80×0.8×24=2732(元)；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×25+80×0.8×25=2750(元)．
∵2714<2732<2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1．
【解析】(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个B种品牌的足球，则购买(50−m)个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】A(7,1)不是“郡麓点“，B(6,4)是“郡麓点”；
【解析】解：(1)∵点A(7,1)，令m−1=73n+1=1，
解得m=8n=0，
∵m−n=8≠6，
∴A(7,1)不是“郡麓点“，
∵点B(6,4)，令m−1=63n+1=4，
解得m=7n=1，
∴m−n=6，
∴B(6,4)是“郡麓点”；
故答案为：A(7,1)不是“郡麓点“，B(6,4)是“郡麓点”；
(2)方程组x+y=22x−y=t的解为x=t+23y=4−t3，
∵点C(t+23,4−t3)是“郡麓点”，
∴m−1=t+233n+1=4−t3，
∴m=t+53n=1−t9，
∵m−n=6，
∴t+53−1−t9=6，
解得t=10，
∴t的值为10．
(3)方程组x−y=a3x+y=2b的解为x=a+2b4y=2b−3a4，
∵点D(a+2b4,2b−3a4)是“郡麓点”，
∴m−1=a+2b43n+1=2b−3a4，
∴m=a+2b+44n=2b−3a−412，
∵m−n=6，
∴a+2b+44−2b−3a−412=6，
解得b=14−32a，
∵a，b为正整数，
∴a=2b=11或a=4b=6或a=6b=5或a=8b=2．
(1)根据“郡麓点”的定义分别判断即可；
(2)先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于t方程，解方程求出t的值进而得出答案．
(3)先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于a、b的二元一次方程求出正整数解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解(3)的关键．
26.【答案】1秒或9秒
【解析】解：(1)①∵a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，
∴a−6=0，c+8=0，
∴a=6，c=−8，
∴A(a,0)，C(0,c)，
当点P到AB的距离为2个单位长度时，即OP=2或PC=2，运动路程s=2或s=6+8+6−2=18，
∴2÷2=1(秒)或18÷2=9(秒)，
故答案为：1秒或9秒．
②根据点P的位置有三种情况：
Ⅰ.当0≤t≤3时，点P在OA上，此时P(2t,0)，S=12OC⋅OP=12×8×2t=8t；
Ⅱ.当3≤t≤7时，点P在AB上，此时S=12OC⋅OA=12×8×6=24；
Ⅲ.当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB=2t−OA−AB=2t−14，PC=BC−PB=6−(2t−14)=20−2t，
此时S=12OC⋅OP=12×8×(20−2t)=80−8t，
综上所述：当0≤t≤3时，S=8t；当3≤t≤7时，S=24；当7≤t≤10时，S=80−8t．
(2)设∠PCM=2∠PCD=2∠DCM=2x，∠PNC=2∠NMC=2α，∠DCN=14∠DNC=β，
则∠NMC=α，∠DNC=4β，
∵在△PCM中，∠PCM+∠CMD+∠CPM=180°，
∴2x+α+120°=180°，即2x+α=60°，
Ⅰ.当点N在点P左侧时，∠PNC=∠DNC，如图，
∴∠PNC=2α=4β，即α=2β，
∴∠MCN=∠DCM+∠DCN=x+β，
∵在△MCN中，∠MCN+∠DNC+∠NMC=180°，
∴β+x+α+2α=180°，即：β+x+3α=180°，
联立得2x+α=60°α=2ββ+x+3α=180°，
解得x=5°β=25°a=50°，
此时∠DCM=5°，
Ⅱ.当点N在线段PD上时，∠PNC+∠DNC=180°，如图，
∴2a+4β=180°，即α+2β=90°，
∴∠MCN=∠DCM+∠DCN=x+β，
∵在△CMN中，∠MCN+∠CMN=∠PNC，
∴x+β+4β+α=180°，即5β+x+α=180°，
联立得2x+α=60°α+2β=90°5β+x+α=180°，
解得x=11.25°β=26.25°α=37.5°，
此时∠DCM=11.25°，
Ⅲ.当点N在线段DM上侧时，∠PNC=∠DNC，如图，
∴∠PNC=2α=4β，即α=2β，
∴∠MNC=180°−∠DNC=180−2α，∠MCN=∠DCM−∠DCN=x−β，
∵在△MCN中，∠MCN+∠MNC+∠NMC=180°，
∴(x−β)+(180°−2α)+α=180°，即x−β−α=0，
联立得2x+α=60°α=2βx−α−β=0，
解得x=22.5°α=15°β=7.5°，
此时∠DCM=22.5°，
综上所述，∠DCM=5°或15°或22.5°．
(1)①由非负数的性质得a−6=0，c+8=0，解得a=6，c=−8，根据当点P到OC的距离为2个单位长度分两种情况求出运动时间即可；
②分三种情形：当0≤t≤3时，当3≤t≤7时，当7≤t≤10时，分别求解即可；
(2)分三种情形分别画出三个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和定理，三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．
2022-2023学年湖南省长沙市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a
C. 3a<3b D. −a4<−b4
2. 如图，直线l1//l2，直线l1，l2被直线l3所截，若∠1=54°，则∠2的大小为( )
A. 126°
B. 46°
C. 36°
D. 136°
3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是( )
A. (1,2) B. (1,−2) C. (−1,2) D. (−1,−2)
4. 下列调查中，最适合采用全面调查的是( )
A. 环保部门调查湘江的水质情况
B. 调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C. 调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D. 调查神舟十六号飞船各零部件是否正常
5. 下列运算正确的是( )
A. 9=±3 B. 39=3 C. 3−27=−3 D. −4=−2
6. 如图，下列推理不正确的是( )
A. ∵∠1=∠2，∴AB//CD
B. ∵∠1=∠2，∴AD//BC
C. ∵∠3=∠4，∴AD//BC
D. ∵∠4=∠5，∴AB//CD
7. 如果方程组x+y=⋆2x+y=16的解为x=6y=◼，那么被“★、■”遮住的两个数分别为( )
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
8. 不等式组3x+3≥0x−2≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 若关于x，y的方程组2x−y=5k+64x+7y=k的解满足x+y=2023，则k的值为( )
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023
10. 如图，在平面直角坐标系中，AB//EG//x轴，BC//DE//HG//AP//y轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1,2)，B(−1,2)，D(−3,0)，E(−3,−2)，G(3,−2)，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A−B−C−D−E−F−G−H−P−A的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. (1,2) B. (−1,1) C. (−1,2) D. (1,0)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点A(−3,4)与点B(2,4)间的距离是______ ．
12. 如果关于x，y的方程(m−3)x+y|m−2|=2023是二元一次方程，那么m= ______ ．
13. 若 x−4+(5−y)2=0，则x+y的平方根是______ ．
14. 已知关于x的不等式x−a>1的解集如图所示，则a的值等于______
15. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
16. (1)如图一，AB//CD，∠B=70°，∠D=30°，则∠DEB= ______ ．
(2)如图二，AB//CD，∠ABF=23∠ABE,∠CDF=23，∠CDE，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为______
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算：(−1)2023− 16+|3− 3|−3−8．
18. (本小题4.0分)
解方程组：3x−13y=−16x+3y=2．
19. (本小题8.0分)
解下列不等式(组)：
(1)4(x+1)≤7x+10；
(2)3x−2≥x+214x−1<8−3x4；
20. (本小题6.0分)
如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC向右平移6个单位长度后，再向下平移2个单位长度后的图形Δ A1B1C1
(2)写出Δ A1B1C1顶点A1B1C1的坐标；
(3)求线段AB所扫过的面积．
21. (本小题8.0分)
为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
22. (本小题6.0分)
完成下面的证明．
已知：如图，∠C=∠D，∠AFD+∠AEC=180°
求证：∠A=∠AED．
证明：∵∠AFD=∠BFE(______ )，
∠AFD+∠AEC=180°(已知)，
∴∠BFE+∠AEC=180°．
∴BD// ______ (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠C= ______ (两直线平行，同位角相等)．
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(______ ).
∴AC//DE(______ ).
∴∠A=∠AED(______ ).
23. (本小题8.0分)
如图，已知∠BAC=90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED=180°．
(1)求证：BD//EC；
(2)连接BE，若∠BDE=30°，且∠DBE=∠ABE+50°，求∠ABE的度数．
24. (本小题8.0分)
为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折.如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
25. (本小题10.0分)
阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m−n=6，就称点P(m−1,3n+1)为“郡麓点”.例如：点E(3,1)，令m−1=33n+1=1得m=4n=0，m−n=4≠6，所以E(3,1)不是“郡麓点”；F(4,−2)，令m−1=43n+1=−2得m=5n=−1，m−n=6，所以F(4,−2)是“郡麓点”．
(1)请判断点A(7,1)，B(6,4)是否为“郡麓点”：______
(2)若以关于x，y的方程组x+y=22x−y=t的解为坐标的点C(x,y)是“郡麓点”，求t的值；
(3)若以关于x，y的方程组x−y=a3x+y=2b的解为坐标的点D(x,y)是“郡麓点”，求正整数a，b的值．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A(a,0)，C(0,c)，其中a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0．
(1)点P从O点出发沿折线OA−AB−BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
①在运动过程中，当点P到OC的距离为2个单位长度时，t= ______ ．
②在点P的运动过程中，记△POC的面积为S，用含t的代数式表示S；
(2)点P在射线OA上，点M为射线OA上一动点，∠CPM=120°，连接MC，作CD平分∠PCM交x轴于点D，直线OA上取点N，连接NC，使∠PNC=2∠NMC，当∠DCN=14∠DNC时，求∠DCM的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、若a
C、若a
故选：D．
根据不等式的性质逐项分析判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】A
【解析】解：如图：
∵直线l1//l2，
∴∠1=∠3=54°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−∠3=180°−54°=126°．
故选A．
先由两直线平行，内错角相等可得∠3的度数，再由邻补角定义可得结果．
此题主要是考查了平行线性质能够熟练运用平行线的性质得出∠3的度数是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：第二象限内的点横坐标小于0，坐标轴大于0，
∴(−1,2)是第二象限的点，其他的不是．
故选：C．
根据第二象限内点坐标的特点判断出正确选项．
本题考查点坐标所在的象限，掌握各个象限内点坐标的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、环保部门调查湘江的水质情况查，适合抽样调查方式，不符合题意；
B、调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度，适合抽样调查方式，不符合题意；
C、调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长，适合抽样调查方式，不符合题意；
D、调查神舟十六号飞船各零部件是否正常，适合采用全面调查方式，符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵ 9=3，
∴选项A不符合题意；
∵39<3，
∴选项B不符合题意；
∵3−27=−3，
∴选项C符合题意；
∵−4没有平方根，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
运用平方根和立方根知识对各选项进行逐一求解、辨别．
此题考查了平方根和立方根应用的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AB//CD，
故B不正确，符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AD//BC，
故C正确，不符合题意；
∵∠4=∠5，
∴AB//CD，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：将x=6y=◼代入2x+y=16得：2×6+■=16，
解得：■=4；
将x=6y=4代入x+y=★得：6+4=★，
∴★=10．
∴被“★、■”遮住的两个数分别为10，4．
故选：C．
将x=6y=◼代入2x+y=16，可求出被“■”遮住的数，再将x=6y=4代入x+y=★，可求出被“★”遮住的数．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在3x+3≥0x−2≤0的解中，
由3x+3≥0得：x≥−1，
由x−2≤0得：x≤2，
∴不等式组的解集为：−1≤x≤2．
故选：A．
首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
9.【答案】C
【解析】解：2x−y=5k+6①4x+7y=k②，
①+②，得6x+6y=6k+6，
∴x+y=k+1，
∵x+y=2023，
∴k+1=2023，
∴k=2022．
故选：C．
用整体思想①+②，得6x+6y=6k+6，等式两边都除以6，得x+y=k+1，再根据x+y=2023，从而计算出k的值．
本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,2)，B(−1,2)，D(−3,0)，E(−3,−2)，G(3,−2)，
∴“凸”形ABCDEFGHP的周长为20，
2023÷20的余数为3，
∴则细线另一端所在位置的点的坐标是(−1,1)．
故选：B．
先求出凸形ABCDEFGHP的周长为20，得到2023÷20的余数为3，由此即可解决问题．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
11.【答案】5
【解析】解：
∵点A、B的纵坐标相同，
∴AB//x轴，
∴AB=2−(−3)=5．
故答案为：5．
在平面直角坐标系中标出点A、B，根据它们的位置关系求解．
本题考查坐标与图形的性质，比较简单，也比较直观．
12.【答案】1
【解析】解：∵关于x，y的方程(m−3)x+y|m−2|=2023是二元一次方程，
∴m−3≠0|m−2|=1，
解得m=1．
故答案为：1．
利用二元一次方程的定义解答即可．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
13.【答案】±3
【解析】解：由题意得， x−4=0，(5−y)2=0，
∴x−4=0，5−y=0．
∴x=4，y=5．
∴x+y=4+5=9．
∴x+y的平方根是± 9=±3．
故答案为：±3．
依据题意，由两个非负数的和为0，可得这两个非负数均为0，从而 x−4=0，(5−y)2=0，进而求出x，y的值，最后可以得解．
本题主要考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14.【答案】−2
【解析】解：由数轴得x>−1，
∵x−a>1，
∴x>a+1，
∴a+1=−1，
∴a=−2，
故答案为：−2．
由数轴得x>−1，解不等式得x>a+1，由此得到a+1=−1，求解即可．
本题考查了已知解集求不等式中的参数，解一元一次方程，正确理解数轴得到解集是解题的关键．
15.【答案】4x+6y=483x+5y=38
【解析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=483x+5y=38．
故答案是：4x+6y=483x+5y=38．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
16.【答案】100° ∠DQB+34∠DFB=180°
【解析】解：(1)如图，过E点作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=100°，
故答案为：100°；
(2)如图，过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF∠DQB=∠DQK+∠KQB=∠GDQ+∠QBH，
∵∠ABF=23∠ABE,∠CDF=23∠CDE，
∴DFB=∠CDF+∠ABF=23∠CDE+23∠ABE=23(∠CDE+∠ABE)，
∴32∠DFB=∠CDE+∠ABE，
∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=12∠GDE+12∠HBE=12(∠GDE+∠HBE)，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=12(180°−∠CDE+180°−∠ABE)，
∴∠DQB=180°−12(∠CDE+∠ABE)，
∴∠DQB=180°−12×32∠DFB，
∴∠DQB+34∠DFB=180°，
故答案为：∠DQB+34∠DFB=180°．
(1)根据两直线平行，内错角相等解答即可；
(2)根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT//CD，QK//AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．
本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023− 16+|3− 3|−3−8
=−1−4+3− 3−(−2)
=−1−4+3− 3+2
=− 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：3x−13y=−16①x+3y=2②，
①−②×3得：−22y=−22，
∴y=1
把y=1代入②得：x+3=2，
∴x=−1，
∴方程组的解是x=−1y=1．
【解析】①−②×3得出方程−22y=−22，求出y的值，把y的值代入②求出x即可．
本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度不大．
19.【答案】解：(1)4(x+1)≤7x+10，
4x+4≤7x+10，
4x−7x≤10−4，
−3x≤6，
x≥−2；
(2)3x−2≥x+2①14x−1<8−3x4②，
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x<3，
∴原不等式组的解集为：2≤x<3．
【解析】(1)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，ΔA1B1C1即为所求．
(2)由图知A1(5,6)，B1(1,1)，C1(6,4)；
(3)线段AB所扫过的面积为6×5+2×4=38．
【解析】(1)将三个顶点分别向右平移6个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)根据图形可得三个顶点坐标；
(3)根据平行四边形的面积求解即可．
本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
21.【答案】解：(1)本次被抽查学生的总人数是60÷30%=200(人)，
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是360°×20200=36°；
(2)“音乐舞蹈”的人数为200−50−60−20−40=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为50200×1600=400(人)．
【解析】(1)从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的30%，可求出调查人数；用360°乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】对顶角相等 CE ∠ABD 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠AFD=∠BFE(对顶角相等)，
∠AFD+∠AEC=180°(已知)，
∴∠BFE+∠AEC=180°．
∴BD//CE(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)．
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代换)．
∴AC//DE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠A=∠AED(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：对顶角相等；CE；∠ABD；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC(已知)，
∴∠AHE=90°(垂直的定义)，
∵∠BAC=90°(已知)，
∴∠BAC=∠AHE=90°(等量代换)，
∴AB//DE(内错角相等，两直线平行)，
∴∠ABD+∠BDE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠ABD+∠CED=180°(已知)，
∴∠BDE=∠CED(等量代换)，
∴BD//EC(内错角相等，两直线平行)；
(2)解：由(1)可得，∠ABD+∠BDE=180°，
∵∠BDE=30°，
∴∠ABD=180°−∠BDE=180°−30°=150°，
∵∠DBE=∠ABE+50°，
∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=∠ABE+∠ABE+50°=2∠ABE+50°=150°，
∴∠ABE=50°．
【解析】(1)根据题意得到BA//DE，根据平行线的性质推出∠BDE=∠CED，即可判定BD//EC；
(2)结合题意，根据平行线的性质定理求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：50x+25y=4500y−x=30，
解得：x=50y=80．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
(2)设购买m个B种品牌的足球，则购买(50−m)个A种品牌的足球，
根据题意得：(50−4)(50−m)+80×0.8m≤2750m≥23，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×27+80×0.8×23=2714(元)；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×26+80×0.8×24=2732(元)；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为(50−4)×25+80×0.8×25=2750(元)．
∵2714<2732<2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1．
【解析】(1)设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个B种品牌的足球，则购买(50−m)个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】A(7,1)不是“郡麓点“，B(6,4)是“郡麓点”；
【解析】解：(1)∵点A(7,1)，令m−1=73n+1=1，
解得m=8n=0，
∵m−n=8≠6，
∴A(7,1)不是“郡麓点“，
∵点B(6,4)，令m−1=63n+1=4，
解得m=7n=1，
∴m−n=6，
∴B(6,4)是“郡麓点”；
故答案为：A(7,1)不是“郡麓点“，B(6,4)是“郡麓点”；
(2)方程组x+y=22x−y=t的解为x=t+23y=4−t3，
∵点C(t+23,4−t3)是“郡麓点”，
∴m−1=t+233n+1=4−t3，
∴m=t+53n=1−t9，
∵m−n=6，
∴t+53−1−t9=6，
解得t=10，
∴t的值为10．
(3)方程组x−y=a3x+y=2b的解为x=a+2b4y=2b−3a4，
∵点D(a+2b4,2b−3a4)是“郡麓点”，
∴m−1=a+2b43n+1=2b−3a4，
∴m=a+2b+44n=2b−3a−412，
∵m−n=6，
∴a+2b+44−2b−3a−412=6，
解得b=14−32a，
∵a，b为正整数，
∴a=2b=11或a=4b=6或a=6b=5或a=8b=2．
(1)根据“郡麓点”的定义分别判断即可；
(2)先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于t方程，解方程求出t的值进而得出答案．
(3)先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点“的定义得出关于a、b的二元一次方程求出正整数解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解(3)的关键．
26.【答案】1秒或9秒
【解析】解：(1)①∵a，c满足关系式(a−6)2+ c+8=0，
∴a−6=0，c+8=0，
∴a=6，c=−8，
∴A(a,0)，C(0,c)，
当点P到AB的距离为2个单位长度时，即OP=2或PC=2，运动路程s=2或s=6+8+6−2=18，
∴2÷2=1(秒)或18÷2=9(秒)，
故答案为：1秒或9秒．
②根据点P的位置有三种情况：
Ⅰ.当0≤t≤3时，点P在OA上，此时P(2t,0)，S=12OC⋅OP=12×8×2t=8t；
Ⅱ.当3≤t≤7时，点P在AB上，此时S=12OC⋅OA=12×8×6=24；
Ⅲ.当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB=2t−OA−AB=2t−14，PC=BC−PB=6−(2t−14)=20−2t，
此时S=12OC⋅OP=12×8×(20−2t)=80−8t，
综上所述：当0≤t≤3时，S=8t；当3≤t≤7时，S=24；当7≤t≤10时，S=80−8t．
(2)设∠PCM=2∠PCD=2∠DCM=2x，∠PNC=2∠NMC=2α，∠DCN=14∠DNC=β，
则∠NMC=α，∠DNC=4β，
∵在△PCM中，∠PCM+∠CMD+∠CPM=180°，
∴2x+α+120°=180°，即2x+α=60°，
Ⅰ.当点N在点P左侧时，∠PNC=∠DNC，如图，
∴∠PNC=2α=4β，即α=2β，
∴∠MCN=∠DCM+∠DCN=x+β，
∵在△MCN中，∠MCN+∠DNC+∠NMC=180°，
∴β+x+α+2α=180°，即：β+x+3α=180°，
联立得2x+α=60°α=2ββ+x+3α=180°，
解得x=5°β=25°a=50°，
此时∠DCM=5°，
Ⅱ.当点N在线段PD上时，∠PNC+∠DNC=180°，如图，
∴2a+4β=180°，即α+2β=90°，
∴∠MCN=∠DCM+∠DCN=x+β，
∵在△CMN中，∠MCN+∠CMN=∠PNC，
∴x+β+4β+α=180°，即5β+x+α=180°，
联立得2x+α=60°α+2β=90°5β+x+α=180°，
解得x=11.25°β=26.25°α=37.5°，
此时∠DCM=11.25°，
Ⅲ.当点N在线段DM上侧时，∠PNC=∠DNC，如图，
∴∠PNC=2α=4β，即α=2β，
∴∠MNC=180°−∠DNC=180−2α，∠MCN=∠DCM−∠DCN=x−β，
∵在△MCN中，∠MCN+∠MNC+∠NMC=180°，
∴(x−β)+(180°−2α)+α=180°，即x−β−α=0，
联立得2x+α=60°α=2βx−α−β=0，
解得x=22.5°α=15°β=7.5°，
此时∠DCM=22.5°，
综上所述，∠DCM=5°或15°或22.5°．
(1)①由非负数的性质得a−6=0，c+8=0，解得a=6，c=−8，根据当点P到OC的距离为2个单位长度分两种情况求出运动时间即可；
②分三种情形：当0≤t≤3时，当3≤t≤7时，当7≤t≤10时，分别求解即可；
(2)分三种情形分别画出三个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和定理，三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．
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