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2023年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）（含解析）
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这是一份2023年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的算术平方根为( )
A. −2 B. 2 C. ±2 D. 2
2. 下列运算正确的是( )
A. a−2⋅a3=a−6 B. (m−n)2=m2−mn+n2
C. (2a3)3=8a6 D. (2m+1)(2m−1)=4m2−1
3. 某物体如图所示，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1=( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
5. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6. 正比例函数y=2x和一次函数y=kx+5(k为常数，且k≠0)的图象交于点A(m,2)，则关于x的不等式2x
7. 下列说法正确的是( )
A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D. 若抽奖活动的中奖概率为150，则抽奖50次必中奖1次
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？设兽有x只，鸟有y只，根据题意列方程组正确的是( )
A. 6x+4y=764x+2y=46 B. 4x+6y=762x+4y=46 C. 6x+4y=464x+2y=76 D. 4x+6y=462x+4y=76
9. 在平面直角坐标系中，直线y=− 3x+ 3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，A的对应点A′恰好落在直线AB上，连接BB′，则BB′的长度为( )
A. 32
B. 3
C. 2
D. 3 32
10. 如图，等腰直角三角形纸片ABC，底边BC长为8cm，边长为4cm的正方形纸片的边DG在直线BC上，设BD长为x cm，两个纸片重叠部分图形的面积为y cm2，则y与x的图象大致是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：2m2−2= ．
13. 为弘扬传统文化，在端午节前夕，某校举行了“诗词竞赛”，某班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
人数
2
4
14
10
7
3
成绩(分)
50
60
70
80
90
100
则全班40名同学的成绩的中位数是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5,0)，(0,3)，点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为______．
15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△CPA得到△CPQ，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部上时，AP的取值范围为______ ．
16. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米．
17. 如图，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B，C在x轴上，△OCE的面积为3，则k= ______ ．
18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，AE=3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD=45°，则PE长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，其中x= 2．
20. (本小题12.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在40≤x<60范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
课外阅读时间x(min)
0≤x<20
20≤x<40
40≤x<60
x≥60
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为______ 度；
(3)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______ ；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______ ；
(4)根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数．
(5)A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择两名女生的概率．
21. (本小题12.0分)
某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
22. (本小题12.0分)
如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA与⊙O相交于点P，点B为⊙O上一点，BP的延长线交直线1于点C.且AB=AC．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AC= 3，AP=1，求阴影部分的面积．
23. (本小题12.0分)
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空，20分钟后到达B处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点C，在B处测得着火点C的俯角为30°，求热气球升空点A与着火点C的距离.(结果精确到1米， 2≈1.414)
24. (本小题12.0分)
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数y=−80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元，设每天的利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式；
(2)若每天获得160元的利润，销售单价多少？
(3)每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，E为正方形ABCD所在平面上的动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EA，EB，FD，AF，G为AF的中点，连接DG．
(1)求证：BE=DF；
(2)写出DG与AE的关系并说明理由；
(3)若BC=4，BE=2，∠ABE=30°，直接写出四边形AECF的面积．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=x−4与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，长度为2 2的线段DF在直线AB上滑动，以DF为对角线作正方形DEFG．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形DEFG与抛物线有公共点时，求D点横坐标的取值范围；
(3)连接CE，OD，直接写出CE+OD的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
依据算术平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵a−2⋅a3=a−2+3=a≠a−6，故选项A错误；
(m−n)2=m2−2mn+n2≠m2−mn+n2，故选项B错误；
(2a3)3=8a9≠8a6，故选项C错误；
(2m+1)(2m−1)=4m2−1，故选项D正确．
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从左边看有两层，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠2=40°，
∴∠3=90°−∠2=50°，
∴∠1=50°．
故选：B．
由互余可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了列表法与树状图法有关知识，概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是26=13，
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：把A(m,2)代入y=2x，得2m=2，
解得m=1，
∴A(1,2)，
把A的坐标代入y=kx+5得，k+5=2，
解得k=−3，
∴y=−3x+5，
∴当x<1时，2x
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，即可利用待定系数法求得k的值，然后观察函数图得到当x<1时，y=kx+5的图象都在直线y=2x的上方，由此得到不等式2x
7.【答案】A
【解析】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为150，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴根据题意可列方程组6x+4y=764x+2y=46．
故选：A．
根据兽与鸟共有76个头与46只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在y=− 3x+ 3中，
当x=0时，y= 3，
当y=0时，得0=− 3x+ 3，
解得x=1，
∴A(1,0)，B(0, 3)，
∴OA=1，OB= 3，
∴tan∠OAB=OBOA= 3，
∴∠OAB=60°，
由旋转性质得：OA′=OA，OB′=OB，∠AOA′=∠BOB′，
∴△A′OA是等边三角形，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，
又∵OB′=OB，
∴△B′OB是等边三角形，
∴BB′=OB= 3，
故选：B．
先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明△A′OA和△B′OB为等边三角形得到OB′=OB即可求解．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△B′OB是等边三角形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形CDEF是边长为4的正方形，且边DG在直线BC上，
∴∠CDE=∠DCF=90°，DG=4cm，
当0≤x≤4时，如图，DE交AB于点H，
则△BDH为等腰直角三角形，
∴BD=DH=x cm，
∴y=S△BDH=12BD⋅DH=12x2(cm2)；
当4
则△BMG和△CDN为等腰三角形，AO=12BC=4cm，
∴GM=BG=BD−DG=(x−4)cm，DN=CD=BC−BD=(8−x)cm，
∴y=S△ABC−S△BCM−S△CDN=12BC⋅AO−12BG⋅GM−12CD⋅DN=12×8×4−12(x−4)2−12(8−x)2=−(x−6)2+12；
当8
则△CGP为等腰直角三角形，
∵CD=BD−BC=(x−8)cm，
∴PG=CG=DG−CD=(12−x)cm，
∴y=S△CGP=12CG⋅PG=12(12−x)2．
综上，y=12x2(0≤x≤4)−(x−6)2+12(4
分三种情况讨论：当0≤x≤4时，DE交AB于点H，则BD=DH=xcm，于是y=S△BDH=12BD⋅DH；当4
11.【答案】2.2×10−10
【解析】解：0.00000000022=2.2×10−10．
故答案为：2.2×10−10．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】2(m+1)(m−1)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】
解：2m2−2，
=2(m2−1)，
=2(m+1)(m−1)．
故答案为：2(m+1)(m−1)．
13.【答案】75
【解析】解：把这40名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是70、80，
所以全班40名同学的成绩的中位数是70+802=75．
故答案为：75．
根据中位数的定义解答即可．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
14.【答案】(52,3)或(4,3)或(1,3)
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，顶点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,3)，
∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，
作PM⊥OA于M，如图：
则PM=OC=3，
当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：
①PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，OM=AM=12OA=52，
∴P点的坐标为：(52,3)；
②OP=OA=5时，OM= OP2−PM2= 52−32=4，
∴P点的坐标为：(4,3)；
③AP=OA=5时，AM= 52−32=4，
∴OM=OA−AM=1，
∴P点的坐标为：(1,3)；
综上所述，P点的坐标为：(52,3)或(4,3)或(1,3)；
故答案为：(52,3)或(4,3)或(1,3)．
作PM⊥OA于M，则PM=OC=3，当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PA时，②OP=OA=5时，③AP=OA=5时，分别取OM的长即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键．
15.【答案】2
∵点Q与点A关于PC对称，
∴PC垂直平分AQ，
∴∠APC=∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AC=4，
∴∠ACP=90°−∠A=∠B=30°，
∴AP=12AC=12×4=2；
当点Q落在BC上时，如图2，作PD⊥AC于点D，则∠CDP=∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠ACB，
∴PD//BC，
∴∠APD=∠B=30°，
由折叠得∠ACP=∠QCP=12∠ACB=45°，
∴∠DPC=∠ACP=45°，
∵∠A=90°−∠B=60°，
∴PD=AD⋅tan60°= 3AD，
∴CD=PD= 3AD，
∴AD+CD=AC=4，
∴AD+ 3AD=4，
解得AD=2 3−2，
∴AP=2AD=2(2 3−2)=4 3−4，
∴当点Q落在△ABC内部上时，AP的取值范围为2
16.【答案】4
【解析】解：由图象可得，点(1,8)和点(2,24)在直线CD上，
设直线CD的解析式为：y1=kx+b，
代入得，24=2k+b8=k+b，
解得k=16b=−8，
∴y1=16x−8，
∴当y=0时，0=16x−8，
解得x=12，
∴点C(12,0)，点A(12,8)，
∵点A(12,8)，点B(2.5,24)在直线AB上，
∴设直线AB的解析式为：y2=kx+b
代入得24=2.5k+b8=12k+b，
解得k=8b=4，
∴y2=8x+4，
∴当x=2时，y2=8×2+4=20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24−20=4(千米)．
故答案为：4．
由图象，通过点(1,8)和点(2,24)在直线CD上，求出直线CD的解析式，接着求点C的横坐标，即可求出点A的坐标，从而可以求出直线AB的函数解析式，小帅到达乙地的时间为2小时，则将x=2代入直线AB解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
此题考查的是一次函数的应用，掌握函数图象上点的坐标及其性质是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A(a,ka)，C(c,0)，
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E(a+c2,k2a)，
∵点E在反比例函数y=kx的图象上，
∴a+c2⋅k2a=k，
∴c=3a，
∵△OCE的面积为3，
∴12⋅OC⋅EH=12⋅c⋅k2a=3，
∴k=4，
故答案为：4．
先设点A(a,ka)，C(c,0)，进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c=3a，最后由△OCE的面积为3，建立方程求出k的值．
此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c=3a是解本题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角△ABF，连接FC，FD．
∵∠ABF=∠EBD=45°，
∴∠ABE=∠FBD，
∵ABFB=EBDB= 2，
∴△ABE∽△FBD，
∴AEFD= 2，
∴FD=3 22，
在四边形ACBF中，∠ACB=∠AFB=90°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠ACF=∠ABF=45°，∠CAB=∠CFB，
∵∠PCD=45°
∴∠ACP=∠FCD，
又∵△ABE∽△FBD，
∴∠BAE=∠BFD，
∴∠CAP=∠CFD，
∴△CAP∽△CFD，
∴ACFC=APFD，
在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB= 2CF，
∴CF=3 2
∴23 2=AP3 22，
∴AP=1，
∴PE=2，
故答案为：2
由AE=3得动点E在圆上运动，因为△BDE是等腰直角三角形且∠PCD=45°，所以想到瓜豆原理，可两次构造三角形相似去解答．
本题考查了由瓜豆原理来构造三角形相似，涉及四点共圆、对角互补模型、手拉手模型，难度很大．
19.【答案】解：原式=[x(x−1)x(x−2)−(x+2)(x−2)x(x−2)]÷4−x(x−2)2
=x2−x−x2+4x(x−2)÷4−x(x−2)2
=4−xx(x−2)⋅(x−2)24−x
=x−2x；
当x= 2时，原式= 2−2 2=1− 2．
【解析】先算小括号里面的，然后再算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则及完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
20.【答案】5 144 40 42.5
【解析】解：(1)由题意得，a=20×25%=5，
b=20−3−5−8=4．
故答案为：5；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为360°×820=144°，
故答案为：144；
(3)由题意可知，阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是40+452=42.5．
故答案为：40，42.5；
(4)800×8+420=480(名)，
答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数大约为480名；
(5)画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，
其中恰好选择两名女生的情况有6种，
∴恰好选择两名女生的概率为612=12．
(1)用样本容量乘25%可得a的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值；
(2)用360°乘B等级所占比例即可；
(3)分别根据众数和中位数的定义解答即可；
(4)用800乘样本中课外阅读时间不少于40min的人数所占比例即可；
(5)画出树状图，再利用概率公式．
本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30−a)台．
依题意得：200a+170(30−a)≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
【解析】(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30−a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
22.【答案】(1)证明：连接OB，如图，
∵OA⊥l，
∴∠PCA+∠APC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
而∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，
∴∠ONP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
(2)解：在Rt△PAC中，tan∠APC=ACAP= 3，
∴∠APC=60°，
∴∠OPB=60°，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
而AB=AC= 3，
∴OB= 33AB=1，
∴阴影部分的面积=S△AOB−S扇形BOP
=12×1× 3−60⋅π⋅12360
= 32−π6．
【解析】(1)连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和角的等量代换证明∠ONP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，然后根据切线的判定方法得到AB与⊙O相切；
(2)先利用正切的定义求出∠APC=60°，再证明△OBP为等边三角形得到∠AOB=60°，接着计算出OB= 33AB=1，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S△AOB−S扇形BOP进行计算．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了扇形的面积公式．
23.【答案】解：作AD⊥BC垂足为D，AB=20×25=500，
∵BE//AC，
∴∠C=∠EBC=30°，
∠ABD=90°−30°−15°=45°，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB，AD=ABsin∠ABD=500×sin45°=500× 22=250 2，
AC=2AD=500 2≈500×1.414=707(米)，
答：热气球升空点A与着火点C的距离是707米．
【解析】在RT△ABD中求出AD，再在RT△ADC中求出AC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)w=(x−3)(−80x+560)−80=−80x2+800x−1760．
(2)w=−80x2+800x−1760=160，
解方程得x1=4，x2=6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4．
答：若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．
(3)w=−80x2+800x−1760=−80(x−5)2+240，
∵−80<0，3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，w取最大值为240．
此时y=−80x+560=160．
答：每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．
【解析】(1)根据题意列出二次函数求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程进行求解即可；
(3)首先将二次函数转化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了一元二次方程和二次函数方程的应用，列出正确的方程进行求解是解决本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∵∠ECF=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF；
(2)解：结论：AE=2DG．
理由：延长DG到T，连接AT，TF．
∵AG−GF，DG=GT，
∴四边形ATFD是平行四边形，
∴AT=DF=BE，AT//DF，
∴∠DAT=180°−∠ADF=180°−(90°+∠CDF)=90°−∠CDF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∴∠DAT=90°−∠CBE=∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ADT≌△BAE(SAS)，
∴DT=BE，
∵DG=GT，
∴AE=2DG；
(3)解：过点E作EM⊥AB有点M．
∵∠BME=90°，BE=2，∠EBM=30°，
∴EM=12EB=1，
∴S△ABE=12×AB×EM=12×4×1=2，
∵△BCE≌△DCF，△ADT≌△BAE(SAS)，
∴S△ADT=S△ABE=2，S△CBE=S△DCF，
∵四边形ADFT是平行四边形，
∴AD//FT，
∴S△ADF=S△ADT=2，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD+S△CDF−S△ABE−S△BCE−S△ADF=16−2−2=12．
【解析】(1)证明△BCE≌△DCF(SAS)，可得结论；
(2)结论：BE=2DG.延长DG到T，连接AT，TF.证明四边形ATFD是平行四边形，再证明DT=BE即可；
(3)根据S四边形AECF=S正方形ABCD+S△CDF−S△ABE−S△BCE−S△ADF，求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)在y=x−4中，令x=0得y=−4，令y=0得x=4，
∴A(0,−4)，B(4,0)，
把A(0,4)，B(4,0)代入y=x2+bx+c得：
c=−416+4b−4=0，
解得：b=−3c=−4，
∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4；
(2)∵DF=2 2，四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF=FG=DG=2，
设D(m,m−4)，则E(m−2,m−4)；
当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点E时，如图：
把E(m−2,m−4)代入y=x2−3x−4得：
m−4=(m−2)2−3(m−2)−4，
解得m=4+ 6或m=4− 6(在B左侧，舍去)；
此时D(4+ 6, 6)；
当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点D时，如图：
把D(m,m−4)代入y=x2−3x−4得：
m−4=m2−3m−4，
解得：m=0或m=4(与B重合，舍去)，
此时D(0,−4)；
由图可知，当0≤m≤4+ 6时，正方形DEFG与抛物线有公共点；
∴当正方形DEFG与抛物线有公共点时，D点横坐标的取值范围是0≤m≤4+ 6；
(3)在y=x2−3x−4中，令y=0得：0=x2−3x−4，
解得：x=4或x=−1，
∴C(−1,0)；
设D(t,t−4)，则E(t−2,t−4)，
∴CE= (t−1)2+(t−4)2= 2t2−10t+17= 2× (t−52)2+94，
OD= t2+(t−4)2= 2t2−8t+16= 2× (t−2)2+4，
∴CE+OD= 2×[ (t−52)2+94+ (t−2)2+4]，
当 (t−52)2+94+ (t−2)2+4最小时，CE+OD取最小值，
而 (t−52)2+94+ (t−2)2+4可看作x轴上的点R(t,0)到点K(52,32)和点T(2,−2)的距离之和，如图：
∴当K，R，T共线时， (t−52)2+94+ (t−2)2+4取最小值，最小值为KT的长，
∵KT= (52−2)2+(32+2)2=5 22，
∴ (t−52)2+94+ (t−2)2+4的最小值为5 22，
∵ 2×5 22=5，
∴CE+OD的最小值为5．
【解析】(1)由y=x−4得A(0,−4)，B(4,0)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2−3x−4；
(2)根据DF=2 2，四边形DEFG是正方形，得DE=EF=FG=DG=2，设D(m,m−4)，则E(m−2,m−4)；当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点E时，m−4=(m−2)2−3(m−2)−4，可得此时D(4+ 6, 6)；当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点D时，可得此时D(0,−4)；画出图形可得答案；
(3)求出C(−1,0)；设D(t,t−4)，则E(t−2,t−4)，CE+OD= 2×[ (t−52)2+94+ (t−2)2+4]， (t−52)2+94+ (t−2)2+4可看作x轴上的点R(t,0)到点K(52,32)和点T(2,−2)的距离之和，当K，R，T共线时， (t−52)2+94+ (t−2)2+4取最小值，求出KT可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
2023年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 4的算术平方根为( )
A. −2 B. 2 C. ±2 D. 2
2. 下列运算正确的是( )
A. a−2⋅a3=a−6 B. (m−n)2=m2−mn+n2
C. (2a3)3=8a6 D. (2m+1)(2m−1)=4m2−1
3. 某物体如图所示，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2=40°，则∠1=( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
5. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
6. 正比例函数y=2x和一次函数y=kx+5(k为常数，且k≠0)的图象交于点A(m,2)，则关于x的不等式2x
7. 下列说法正确的是( )
A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D. 若抽奖活动的中奖概率为150，则抽奖50次必中奖1次
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？设兽有x只，鸟有y只，根据题意列方程组正确的是( )
A. 6x+4y=764x+2y=46 B. 4x+6y=762x+4y=46 C. 6x+4y=464x+2y=76 D. 4x+6y=462x+4y=76
9. 在平面直角坐标系中，直线y=− 3x+ 3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕O点逆时针旋转到如图△A′OB′的位置，A的对应点A′恰好落在直线AB上，连接BB′，则BB′的长度为( )
A. 32
B. 3
C. 2
D. 3 32
10. 如图，等腰直角三角形纸片ABC，底边BC长为8cm，边长为4cm的正方形纸片的边DG在直线BC上，设BD长为x cm，两个纸片重叠部分图形的面积为y cm2，则y与x的图象大致是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：2m2−2= ．
13. 为弘扬传统文化，在端午节前夕，某校举行了“诗词竞赛”，某班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
人数
2
4
14
10
7
3
成绩(分)
50
60
70
80
90
100
则全班40名同学的成绩的中位数是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5,0)，(0,3)，点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为______．
15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△CPA得到△CPQ，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部上时，AP的取值范围为______ ．
16. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米．
17. 如图，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B，C在x轴上，△OCE的面积为3，则k= ______ ．
18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，AE=3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD=45°，则PE长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：(x−1x−2−x+2x)÷4−xx2−4x+4，其中x= 2．
20. (本小题12.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在40≤x<60范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
课外阅读时间x(min)
0≤x<20
20≤x<40
40≤x<60
x≥60
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为______ 度；
(3)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______ ；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______ ；
(4)根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数．
(5)A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择两名女生的概率．
21. (本小题12.0分)
某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
22. (本小题12.0分)
如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA与⊙O相交于点P，点B为⊙O上一点，BP的延长线交直线1于点C.且AB=AC．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AC= 3，AP=1，求阴影部分的面积．
23. (本小题12.0分)
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空，20分钟后到达B处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点C，在B处测得着火点C的俯角为30°，求热气球升空点A与着火点C的距离.(结果精确到1米， 2≈1.414)
24. (本小题12.0分)
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数y=−80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元，设每天的利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式；
(2)若每天获得160元的利润，销售单价多少？
(3)每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，E为正方形ABCD所在平面上的动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EA，EB，FD，AF，G为AF的中点，连接DG．
(1)求证：BE=DF；
(2)写出DG与AE的关系并说明理由；
(3)若BC=4，BE=2，∠ABE=30°，直接写出四边形AECF的面积．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=x−4与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，长度为2 2的线段DF在直线AB上滑动，以DF为对角线作正方形DEFG．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形DEFG与抛物线有公共点时，求D点横坐标的取值范围；
(3)连接CE，OD，直接写出CE+OD的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
故选：B．
依据算术平方根的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵a−2⋅a3=a−2+3=a≠a−6，故选项A错误；
(m−n)2=m2−2mn+n2≠m2−mn+n2，故选项B错误；
(2a3)3=8a9≠8a6，故选项C错误；
(2m+1)(2m−1)=4m2−1，故选项D正确．
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从左边看有两层，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠2=40°，
∴∠3=90°−∠2=50°，
∴∠1=50°．
故选：B．
由互余可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了列表法与树状图法有关知识，概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是26=13，
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：把A(m,2)代入y=2x，得2m=2，
解得m=1，
∴A(1,2)，
把A的坐标代入y=kx+5得，k+5=2，
解得k=−3，
∴y=−3x+5，
∴当x<1时，2x
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，即可利用待定系数法求得k的值，然后观察函数图得到当x<1时，y=kx+5的图象都在直线y=2x的上方，由此得到不等式2x
7.【答案】A
【解析】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为150，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴根据题意可列方程组6x+4y=764x+2y=46．
故选：A．
根据兽与鸟共有76个头与46只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在y=− 3x+ 3中，
当x=0时，y= 3，
当y=0时，得0=− 3x+ 3，
解得x=1，
∴A(1,0)，B(0, 3)，
∴OA=1，OB= 3，
∴tan∠OAB=OBOA= 3，
∴∠OAB=60°，
由旋转性质得：OA′=OA，OB′=OB，∠AOA′=∠BOB′，
∴△A′OA是等边三角形，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，
又∵OB′=OB，
∴△B′OB是等边三角形，
∴BB′=OB= 3，
故选：B．
先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明△A′OA和△B′OB为等边三角形得到OB′=OB即可求解．
本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△B′OB是等边三角形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形CDEF是边长为4的正方形，且边DG在直线BC上，
∴∠CDE=∠DCF=90°，DG=4cm，
当0≤x≤4时，如图，DE交AB于点H，
则△BDH为等腰直角三角形，
∴BD=DH=x cm，
∴y=S△BDH=12BD⋅DH=12x2(cm2)；
当4
则△BMG和△CDN为等腰三角形，AO=12BC=4cm，
∴GM=BG=BD−DG=(x−4)cm，DN=CD=BC−BD=(8−x)cm，
∴y=S△ABC−S△BCM−S△CDN=12BC⋅AO−12BG⋅GM−12CD⋅DN=12×8×4−12(x−4)2−12(8−x)2=−(x−6)2+12；
当8
则△CGP为等腰直角三角形，
∵CD=BD−BC=(x−8)cm，
∴PG=CG=DG−CD=(12−x)cm，
∴y=S△CGP=12CG⋅PG=12(12−x)2．
综上，y=12x2(0≤x≤4)−(x−6)2+12(4
分三种情况讨论：当0≤x≤4时，DE交AB于点H，则BD=DH=xcm，于是y=S△BDH=12BD⋅DH；当4
11.【答案】2.2×10−10
【解析】解：0.00000000022=2.2×10−10．
故答案为：2.2×10−10．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】2(m+1)(m−1)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】
解：2m2−2，
=2(m2−1)，
=2(m+1)(m−1)．
故答案为：2(m+1)(m−1)．
13.【答案】75
【解析】解：把这40名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是70、80，
所以全班40名同学的成绩的中位数是70+802=75．
故答案为：75．
根据中位数的定义解答即可．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
14.【答案】(52,3)或(4,3)或(1,3)
【解析】解：∵四边形OABC是矩形，顶点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,3)，
∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，
作PM⊥OA于M，如图：
则PM=OC=3，
当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：
①PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，OM=AM=12OA=52，
∴P点的坐标为：(52,3)；
②OP=OA=5时，OM= OP2−PM2= 52−32=4，
∴P点的坐标为：(4,3)；
③AP=OA=5时，AM= 52−32=4，
∴OM=OA−AM=1，
∴P点的坐标为：(1,3)；
综上所述，P点的坐标为：(52,3)或(4,3)或(1,3)；
故答案为：(52,3)或(4,3)或(1,3)．
作PM⊥OA于M，则PM=OC=3，当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PA时，②OP=OA=5时，③AP=OA=5时，分别取OM的长即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键．
15.【答案】2
∵点Q与点A关于PC对称，
∴PC垂直平分AQ，
∴∠APC=∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AC=4，
∴∠ACP=90°−∠A=∠B=30°，
∴AP=12AC=12×4=2；
当点Q落在BC上时，如图2，作PD⊥AC于点D，则∠CDP=∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠ACB，
∴PD//BC，
∴∠APD=∠B=30°，
由折叠得∠ACP=∠QCP=12∠ACB=45°，
∴∠DPC=∠ACP=45°，
∵∠A=90°−∠B=60°，
∴PD=AD⋅tan60°= 3AD，
∴CD=PD= 3AD，
∴AD+CD=AC=4，
∴AD+ 3AD=4，
解得AD=2 3−2，
∴AP=2AD=2(2 3−2)=4 3−4，
∴当点Q落在△ABC内部上时，AP的取值范围为2
16.【答案】4
【解析】解：由图象可得，点(1,8)和点(2,24)在直线CD上，
设直线CD的解析式为：y1=kx+b，
代入得，24=2k+b8=k+b，
解得k=16b=−8，
∴y1=16x−8，
∴当y=0时，0=16x−8，
解得x=12，
∴点C(12,0)，点A(12,8)，
∵点A(12,8)，点B(2.5,24)在直线AB上，
∴设直线AB的解析式为：y2=kx+b
代入得24=2.5k+b8=12k+b，
解得k=8b=4，
∴y2=8x+4，
∴当x=2时，y2=8×2+4=20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24−20=4(千米)．
故答案为：4．
由图象，通过点(1,8)和点(2,24)在直线CD上，求出直线CD的解析式，接着求点C的横坐标，即可求出点A的坐标，从而可以求出直线AB的函数解析式，小帅到达乙地的时间为2小时，则将x=2代入直线AB解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
此题考查的是一次函数的应用，掌握函数图象上点的坐标及其性质是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A(a,ka)，C(c,0)，
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E(a+c2,k2a)，
∵点E在反比例函数y=kx的图象上，
∴a+c2⋅k2a=k，
∴c=3a，
∵△OCE的面积为3，
∴12⋅OC⋅EH=12⋅c⋅k2a=3，
∴k=4，
故答案为：4．
先设点A(a,ka)，C(c,0)，进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c=3a，最后由△OCE的面积为3，建立方程求出k的值．
此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c=3a是解本题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角△ABF，连接FC，FD．
∵∠ABF=∠EBD=45°，
∴∠ABE=∠FBD，
∵ABFB=EBDB= 2，
∴△ABE∽△FBD，
∴AEFD= 2，
∴FD=3 22，
在四边形ACBF中，∠ACB=∠AFB=90°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠ACF=∠ABF=45°，∠CAB=∠CFB，
∵∠PCD=45°
∴∠ACP=∠FCD，
又∵△ABE∽△FBD，
∴∠BAE=∠BFD，
∴∠CAP=∠CFD，
∴△CAP∽△CFD，
∴ACFC=APFD，
在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB= 2CF，
∴CF=3 2
∴23 2=AP3 22，
∴AP=1，
∴PE=2，
故答案为：2
由AE=3得动点E在圆上运动，因为△BDE是等腰直角三角形且∠PCD=45°，所以想到瓜豆原理，可两次构造三角形相似去解答．
本题考查了由瓜豆原理来构造三角形相似，涉及四点共圆、对角互补模型、手拉手模型，难度很大．
19.【答案】解：原式=[x(x−1)x(x−2)−(x+2)(x−2)x(x−2)]÷4−x(x−2)2
=x2−x−x2+4x(x−2)÷4−x(x−2)2
=4−xx(x−2)⋅(x−2)24−x
=x−2x；
当x= 2时，原式= 2−2 2=1− 2．
【解析】先算小括号里面的，然后再算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则及完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
20.【答案】5 144 40 42.5
【解析】解：(1)由题意得，a=20×25%=5，
b=20−3−5−8=4．
故答案为：5；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为360°×820=144°，
故答案为：144；
(3)由题意可知，阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是40+452=42.5．
故答案为：40，42.5；
(4)800×8+420=480(名)，
答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数大约为480名；
(5)画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，
其中恰好选择两名女生的情况有6种，
∴恰好选择两名女生的概率为612=12．
(1)用样本容量乘25%可得a的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值；
(2)用360°乘B等级所占比例即可；
(3)分别根据众数和中位数的定义解答即可；
(4)用800乘样本中课外阅读时间不少于40min的人数所占比例即可；
(5)画出树状图，再利用概率公式．
本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30−a)台．
依题意得：200a+170(30−a)≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．
【解析】(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30−a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
22.【答案】(1)证明：连接OB，如图，
∵OA⊥l，
∴∠PCA+∠APC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
而∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，
∴∠ONP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
(2)解：在Rt△PAC中，tan∠APC=ACAP= 3，
∴∠APC=60°，
∴∠OPB=60°，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
而AB=AC= 3，
∴OB= 33AB=1，
∴阴影部分的面积=S△AOB−S扇形BOP
=12×1× 3−60⋅π⋅12360
= 32−π6．
【解析】(1)连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和角的等量代换证明∠ONP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，然后根据切线的判定方法得到AB与⊙O相切；
(2)先利用正切的定义求出∠APC=60°，再证明△OBP为等边三角形得到∠AOB=60°，接着计算出OB= 33AB=1，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S△AOB−S扇形BOP进行计算．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了扇形的面积公式．
23.【答案】解：作AD⊥BC垂足为D，AB=20×25=500，
∵BE//AC，
∴∠C=∠EBC=30°，
∠ABD=90°−30°−15°=45°，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB，AD=ABsin∠ABD=500×sin45°=500× 22=250 2，
AC=2AD=500 2≈500×1.414=707(米)，
答：热气球升空点A与着火点C的距离是707米．
【解析】在RT△ABD中求出AD，再在RT△ADC中求出AC即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)w=(x−3)(−80x+560)−80=−80x2+800x−1760．
(2)w=−80x2+800x−1760=160，
解方程得x1=4，x2=6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4．
答：若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．
(3)w=−80x2+800x−1760=−80(x−5)2+240，
∵−80<0，3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，w取最大值为240．
此时y=−80x+560=160．
答：每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．
【解析】(1)根据题意列出二次函数求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程进行求解即可；
(3)首先将二次函数转化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了一元二次方程和二次函数方程的应用，列出正确的方程进行求解是解决本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∵∠ECF=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF；
(2)解：结论：AE=2DG．
理由：延长DG到T，连接AT，TF．
∵AG−GF，DG=GT，
∴四边形ATFD是平行四边形，
∴AT=DF=BE，AT//DF，
∴∠DAT=180°−∠ADF=180°−(90°+∠CDF)=90°−∠CDF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∴∠DAT=90°−∠CBE=∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ADT≌△BAE(SAS)，
∴DT=BE，
∵DG=GT，
∴AE=2DG；
(3)解：过点E作EM⊥AB有点M．
∵∠BME=90°，BE=2，∠EBM=30°，
∴EM=12EB=1，
∴S△ABE=12×AB×EM=12×4×1=2，
∵△BCE≌△DCF，△ADT≌△BAE(SAS)，
∴S△ADT=S△ABE=2，S△CBE=S△DCF，
∵四边形ADFT是平行四边形，
∴AD//FT，
∴S△ADF=S△ADT=2，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD+S△CDF−S△ABE−S△BCE−S△ADF=16−2−2=12．
【解析】(1)证明△BCE≌△DCF(SAS)，可得结论；
(2)结论：BE=2DG.延长DG到T，连接AT，TF.证明四边形ATFD是平行四边形，再证明DT=BE即可；
(3)根据S四边形AECF=S正方形ABCD+S△CDF−S△ABE−S△BCE−S△ADF，求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)在y=x−4中，令x=0得y=−4，令y=0得x=4，
∴A(0,−4)，B(4,0)，
把A(0,4)，B(4,0)代入y=x2+bx+c得：
c=−416+4b−4=0，
解得：b=−3c=−4，
∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4；
(2)∵DF=2 2，四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF=FG=DG=2，
设D(m,m−4)，则E(m−2,m−4)；
当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点E时，如图：
把E(m−2,m−4)代入y=x2−3x−4得：
m−4=(m−2)2−3(m−2)−4，
解得m=4+ 6或m=4− 6(在B左侧，舍去)；
此时D(4+ 6, 6)；
当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点D时，如图：
把D(m,m−4)代入y=x2−3x−4得：
m−4=m2−3m−4，
解得：m=0或m=4(与B重合，舍去)，
此时D(0,−4)；
由图可知，当0≤m≤4+ 6时，正方形DEFG与抛物线有公共点；
∴当正方形DEFG与抛物线有公共点时，D点横坐标的取值范围是0≤m≤4+ 6；
(3)在y=x2−3x−4中，令y=0得：0=x2−3x−4，
解得：x=4或x=−1，
∴C(−1,0)；
设D(t,t−4)，则E(t−2,t−4)，
∴CE= (t−1)2+(t−4)2= 2t2−10t+17= 2× (t−52)2+94，
OD= t2+(t−4)2= 2t2−8t+16= 2× (t−2)2+4，
∴CE+OD= 2×[ (t−52)2+94+ (t−2)2+4]，
当 (t−52)2+94+ (t−2)2+4最小时，CE+OD取最小值，
而 (t−52)2+94+ (t−2)2+4可看作x轴上的点R(t,0)到点K(52,32)和点T(2,−2)的距离之和，如图：
∴当K，R，T共线时， (t−52)2+94+ (t−2)2+4取最小值，最小值为KT的长，
∵KT= (52−2)2+(32+2)2=5 22，
∴ (t−52)2+94+ (t−2)2+4的最小值为5 22，
∵ 2×5 22=5，
∴CE+OD的最小值为5．
【解析】(1)由y=x−4得A(0,−4)，B(4,0)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2−3x−4；
(2)根据DF=2 2，四边形DEFG是正方形，得DE=EF=FG=DG=2，设D(m,m−4)，则E(m−2,m−4)；当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点E时，m−4=(m−2)2−3(m−2)−4，可得此时D(4+ 6, 6)；当正方形DEFG与抛物线y=x2−3x−4有唯一公共点D时，可得此时D(0,−4)；画出图形可得答案；
(3)求出C(−1,0)；设D(t,t−4)，则E(t−2,t−4)，CE+OD= 2×[ (t−52)2+94+ (t−2)2+4]， (t−52)2+94+ (t−2)2+4可看作x轴上的点R(t,0)到点K(52,32)和点T(2,−2)的距离之和，当K，R，T共线时， (t−52)2+94+ (t−2)2+4取最小值，求出KT可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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