2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为(    )
A. 2×102 B. 2×109 C. 2×1010 D. 2×1011
2. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 下列各数为有理数的是(    )
A. −2π B. 33 C. 0 D. 5
4. 如图所示几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.


5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，∠AOD的大小为(    )


A. 130°
B. 100°
C. 120°
D. 110°


6. 如图，将△ABC先向右平移2个单位，再绕原点顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是(    )

A. (−4,−1) B. (4,−1) C. (−4,1) D. (−4,5)
7. 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=30°，则点B到OC的距离为(    )


A. 55 B. 2 55 C. 1 D. 2
8. 一次函数y=ax+b(a≠0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=kx(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(−2,0)，则下列结论中，正确的是(    )
A. b=2a+k
B. a=b+k
C. a>b>0
D. a>k>0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算：(−14ab2)3÷(0.5a2b)= ______ ．
10. 关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______ ．
11. 甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动.甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为______ ．
12. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF.若BC=1，则△ECF的周长为______ ．


13. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，扇形EBC的圆心角为90°，则阴影部分的面积为______．


14. 设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=16；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=110；
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边(n+1)等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=______．


三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
如图，已知∠BAC和边AB上一点D.求作：⊙O，使⊙O满足：用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
①圆心在∠BAC内部；
②与∠BAC的两边相切，且其中一个切点为D．

16. (本小题8.0分)
(1)化简：(1x2−2x−1x2−4x+4)÷2x2−2x；
(2)解不等式组：2−x>05x+12+1≥2x−13．
17. (本小题6.0分)
有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由．(纸牌用A、B、C、D表示)若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．


18. (本小题6.0分)
为落实青岛市“十个一”活动，激发学生应的爱国热情，某校组织全校学生进行“请党放心，强国有我”的测试，现随机抽取部分学生的测试成绩x(单位：分)整理成A：60x<70，B：70x<80，C：80x<90，D：90x<100四个等级，绘制成了频数分布表和扇形统计图：被抽取学生的测试成绩的频数表：
等级
成绩/分
频数/人
各组总分/分
A
60≤x<70
10
650
B
70≤x<80
b
1050
c
80≤x<90
21
1785
D
90≤x<100
5
455
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在______ 等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数；
(3)如果90分以上(含90分)为优秀，请估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生人数．

19. (本小题6.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°．
(1)求证：EM是⊙O的切线；
(2)若∠A=∠E，⊙O的半径为1，求BC的长．

20. (本小题6.0分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)

21. (本小题6.0分)
【阅读与思考】如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE=BF.证明过程如下：
∵GE⊥BF于点O，
∴∠GOB=90°，
过点A作AH//GE交BC于点H，交BF于点M，
∴∠AMB=∠GOB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG//HE，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABM+∠FBC=∠ABC=90°，
∴∠BAM=∠FBC，
∴△ABH≌△BCF(依据)，
∴AH=BF，
∵AH//GE，AG//HE，
.四边形AHEG为平行四边形，
∴AH=GE，
∴GE=BF．

【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ；
【问题解决】：如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC为______ °；
【拓展延伸】：如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.求∠DMC的度数．
22. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求出另一个交点B的坐标，并直接写出当x>0时，不等式−x+3 (3)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

23. (本小题8.0分)
已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．
(1)求证：△AFG≌△CHE；
(2)若∠G=∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

24. (本小题10.0分)
崂山是“海上第一名山”，其胜景在于它的山景和海景并存，名山蕴名水，名水育名茶，这是品茶人的讲究.与去年相比，今年某种崂山茶叶的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了125，批发销售总额比去年增加了20%，解决下列问题：
(1)已知去年这种崂山茶叶批发销售总额为10万元，求这种茶叶今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)调查发现，若每千克崂山茶叶的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克.工商部门规定，该茶叶利润率不得超过40%，设茶叶店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时(售价取整数计算)，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
如图，等腰△ABC中AB=BC=10，AC=12，D是AC边的中点，点P沿着BD从B向D以每秒1的速度运动，同时，点Q沿着DA从D向A以同样的速度运动，点E是AB边的中点，在Q点运动的同时，过Q作QM//DE交AB于M.设运动时间为t(0 (1)当PQ//AB时，求t的值；
(2)连接PC、PE，设多边形CPEMQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
(3)若点A关于MQ的对称点是A′，请问，存不存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．
故选：C．
利用科学记数法将数据20000000000表示为a×10n的形式，且1≤|a|<10即可．
本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n的形式，且1≤|a|<10，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

3.【答案】C 
【解析】解：0是有理数，−2π、33、 5是无理数．
故选：C．
利用实数的分类来判断即可．
本题考查了实数，做题关键是掌握有理数、无理数的概念．

4.【答案】D 
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE=50°，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD=12×(180°−50°)=65°，
∴∠AOD=2∠ACD=130°．
故选A．
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理．
首先证明∠ADC=∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，利用圆周角定理即可解决问题．

6.【答案】C 
【解析】解：如图，△A′B′C′即为所求，B′(−4,1)，

故选：C．
利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
本题考查作图坐标与图形变化−旋转，平移等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．

7.【答案】B 
【解析】解：作BH⊥OC于H，

∵∠AOB=30°，∠A=90°，
∴OB=2AB=2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OC= OB2+BC2= 22+12= 5，
∵∠CBO=∠BHC=90°，
∴∠CBH=∠BOC，
∴cos∠BOC=cos∠CBH，
∴OBOC=BHBC，
∴2 5=BH1，
∴BH=2 55，
故选：B．
作BH⊥OC于H，利用含30°角的直角三角形的性质得OB=2，再由勾股定理得OC= 5，再根据cos∠BOC=cos∠CBH，得OBOC=BHBC，代入计算可得答案．
本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为(−2,0)，
∴−2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a>0，
∴b>0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k>0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k>0，
∴2a+k>2a，即b<2a+k．
故A选项错误；
B、∵k>0，b=2a，
∴b+k>b，
即b+k>2a，
∴a=b+k不成立．
故B选项错误；
C、∵a>0，b=2a，
∴b>a>0．
故C选项错误；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=kx(k≠0)图象知，当x=−b2a=−2a2a=−1时，y=−k>−b24a=−4a24a=−a，即k ∵a>0，k>0，
∴a>k>0．
故D选项正确；
故选：D．
根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．

9.【答案】−132ab5 
【解析】解：原式=−164a3b6÷(0.5a2b)
=−132ab5．
故答案为：−132ab5．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则化简得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

10.【答案】k>0且k≠1 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0且Δ=(−2)2+4(k−1)>0，
解得：k>0且k≠1．
故答案为：k>0且k≠1．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且Δ=(−2)2+4(k−1)>0，再求出两个不等式的公共部分即可得到答案．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根，解题时注意不能忽视二次项系数不为零的条件．

11.【答案】15x−151.2x=16 
【解析】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，
根据题意得：15x−151.2x=16．
故答案为：15x−151.2x=16．
设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前10分钟到达目的地，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12.【答案】 2 
【解析】解：第一次折叠，如图②，
∵BC=1，
∴AD=AM=DE=1，
∴DM= 2，
由折叠的性质，∠ADM=∠EDM=45°，
∴EM=1，
第二次折叠，如图③，CN=BC=1，
∠DNC=90°，
∴DN=1，
∴CD= 2，
∴EC= 2−1，
∵∠DCN=45°，
∴EF= 2−1，
∴CF=2− 2，
∴△ECF的周长= 2−1+ 2−1+2− 2= 2，
故答案为： 2．
第一次翻折可得DM= 2，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可求CD= 2，EC= 2−1，由∠DCN=45°，可求EF= 2−1，则CF=2− 2，再求△ECF的周长即可．
本题考查翻折变换(折叠的性质)，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．

13.【答案】3π+18−9 3 
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．连接BF，解直角三角形得到∠CBF=30°，根据扇形的面积公式和三角形的内角公式即可得到结论．
【解答】
解：如图，连接BF，

则，BF=BC=AD=6，
∵∠BAF=90°，AB=3，
∴∠ABF=60°，
∴∠CBF=30°，
∴AF=3 3，
∴阴影部分的面积=90⋅π×62360+3×6−2×(12×3×3 3+30⋅π×62360)=3π+18−9 3，
故答案为：3π+18−9 3．  
14.【答案】2(n+1)(n+2) 
【解析】解：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，
∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，
∴D1E1//AB，D1E1=12AB，
∴△CD1E1∽△CBA，且D1E1BF1=D1E1AB=12，
∴S△CD1E1=14S△ABC=14，
∵E1是BC的中点，
∴S△BD1E1=S△CD1E1=14，
∴S△D1E1F1=13S△BD1E1=13×14=112，
∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=14+112=13，
同理可得：
图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2=19+118=16，
图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3=116+380=110，
以此类推，将AC，BC边(n+1)等分，得到四边形CDnEnFn，
其面积Sn=1(n+1)2+1(n+1)2×n×11+n+1=2(n+1)(n+2)，
故答案为：2(n+1)(n+2)．
先连接D1E1，D2E2，D3E3，依据D1E1//AB，D1E1=12AB，可得△CD1E1∽△CBA，且D1E1BF1=D1E1AB=12，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△CD1E1=14S△ABC=14，依据E1是BC的中点，即可得出S△D1E1F1=13S△BD1E1=13×14=112，据此可得S1=13；运用相同的方法，依次可得S2=16，S2=16；根据所得规律，即可得出四边形CDnEnFn，其面积Sn=1(n+1)2+1(n+1)2×n×11+n+1，最后化简即可．
本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．

15.【答案】解：如图，⊙O即为所求．
 
【解析】作∠BAC的角平分线OM，过点D作DO⊥AB交AM于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．
本题考查作图−复杂作图，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16.【答案】解：(1)(1x2−2x−1x2−4x+4)÷2x2−2x
=[1x(x−2)−1(x−2)2]⋅x(x−2)2
=x−2−xx(x−2)2⋅x(x−2)2
=−2x(x−2)2⋅x(x−2)2
=−1x−2；
(2)2−x>0①5x+12+1≥2x−13②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≥−1，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<2． 
【解析】(1)先算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】解：(1)34；
(2)游戏不公平，理由如下：
列表得：

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A,C)(C,A)．
∴P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=212=16≠12．
∴游戏不公平，
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜． 
【解析】本题考查用列举法求概率，中心对称图形和轴对称图形．
(1)直接根据概率公式计算即可．
(2)首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率，可得出游戏不公平，修改为概率相等即可使得游戏公平．
【解答】
解：(1)纸牌A、B、C、D中，是中心对称图形的有A、C、D，
则从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34，
故答案为34；
(2)见答案．

18.【答案】20  14  C 
【解析】解：(1)抽取的样本容量为：21÷42%=50，
故a=1050×100=20；
b=50−10−21−5=14；
故答案为：20；14；
(2)此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在C等级，
此次被抽取学生的测试成绩的平均数为：150×(650+1050+1785+455)=78.8(分)；
故答案为：C；
(3)2000×550=200(人)，
答：估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生人数大约为200人．
(1)用C等级的人数除以42%即可得出样本容量，再用A的频数除以样本容量可得a的值；用样本容量减去其它等级的频数可得b的值；
(2)根据中位数的定义以及平均数的计算方法解答即可；
(3)用全校人数乘样本中90分以上(含90分)所占百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

19.【答案】(1)证明：连接OC，如图所示：
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO=90°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，∠ACE+∠ACM=180°，
∴∠AFO=∠ACM，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥ME，
∵OC为半径，
∴EM是⊙O的切线；
(2)解：∵∠EOC=2∠A=2∠E，
又∠EOC+∠E=∠OCM=90°，
∴2∠E+∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴∠EOC=60°，
∵OB=OC=1，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=1． 
【解析】(1)连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到答案；
(2)先推出∠EOC=60°，再证出△OBC是等边三角形，得答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质，连接OC是解题的关键．

20.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45°，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=6，
解得DH≈18，
在Rt△DAH中，∠ADH=26°，
∴AD=DHcos26∘≈20．
答：轮船航行的距离AD约为20km． 
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．

21.【答案】ASA  45 
【解析】解：【材料探究】：由证明过程可知，△ABH≌△BCF的条件是：
∠ABC=∠CAB=BC∠BAM=∠FBC，
∴推理的依据是全等三角形的判定定理“ASA”，
故答案为：ASA；
【问题解决】：如图2，
设网格中每个小正方形的边长都为m，
将线段AB向右平移2m个单位得到线段DQ，则点Q在格点上，
由勾股定理得CQ2=DQ2=(2m)2+(4m)2=20m2，CD2=(2m)2+(6m)2=40m2，
∴CQ=DQ，CQ2+DQ2=CD2=40m2，
∴△QCD是直角三角形，且∠CQD=90°，
∴∠QCD=∠QDC=45°，
由平移得∠AMC=∠QDC=45°，
故答案为：45°；
【拓展延伸】：如图3，∵四边形APCD和四边形PBEF都是正方形，
∴∠APC=∠BPF=∠GBE=∠A=90°，BP=BE，
∴∠BPC=180°−∠APC=90°，
∴∠BPF=∠BPC，
∴点F在PC上，
作DG//BC交AP于点G，连接GE，
∵CD//AP，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴BG=CD=AD=AP，
∴BG−PG=AP−PG，
∴BP=AG，
∴BE=AG，
在△BGE和△ADG中，
BG=AD∠GBE=∠ABE=AG，
∴△BGE≌△ADG(SAS)，
∴EG=GD，∠BGE=∠ADG，
∴∠BGE+∠AGD=∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠EGD=90°，
∴∠GDE=∠GED=45°，
∴∠DMC=∠GDE=45°．
【材料探究】：由证明过程可知，△ABH≌△BCF的依据是全等三角形的判定定理“ASA”，由AH//GE，AG//HE证明四边形AHEG为平行四边形，依据是平行四边形的定义；
【问题解决】：设网格中每个小正方形的边长都为m，将线段AB向右平移2m个单位得到线段DQ，根据勾股定理可证明CQ=DQ，CQ2+DQ2=CD2=40m2，则△QCD是直角三角形，且∠CQD=90°，所以∠AMC=∠QDC=45°；
【拓展延伸】：作DG//BC交AP于点G，连接GE，可证明△BGE≌△ADG，得EG=GD，∠BGE=∠ADG，即可证明∠EGD=90°，则∠DMC=∠GDE=45°．
此题重点考查平移的性质、平行线的性质、平行四边形的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

22.【答案】解：(1)把点A(1,a)代入y=−x+3，得a=2，
∴A(1,2)
把A(1,2)代入反比例函数y=kx(k≠0)，
∴k=1×2=2；
∴反比例函数的表达式为y=2x；
(2)解y=−x+3y=2x得x=1y=2或x=2y=1，
∴B(2,1)，
不等式−x+32；
(3)在直线y=−x+3中，令y=0，则x=3，
∴C(3,0)，
设P(m,0)，
∴PC=|m−3|，
∵△APC的面积为5，
∴12|m−3|×2=5，
∴|m−3|=5，
∴m=8或m=−2，
∴P(8,0)或(−2,0)． 
【解析】解：(1)见答案；
(2)解y=−x+3y=2x得x=1y=2或x=2y=1，
∴B(2,1)，
由图象可知，反比例函数y=kx(k≠0)的图像在一次函数y=−x+3的图象的上方时，02，
∴不等式−x+32；
(3)见答案．
(1)先把点A(1,a)代入y=−x+3中求出a，得到A(1,2)然后把A点坐标代入y=kx(k≠0)中求出k，得到反比例函数的表达式；
(2)将(1)中得到的反比例函数解析式与一次函数解析式联立，解方程组求得B的坐标，利用图象即可求得当x>0时，不等式−x+3 (3)求得C的坐标，设P(m,0)，则PC=|m−3|，根据三角形面积公式求得m的值，进而即可求得P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标．

23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB//CD，∠BAD=∠BCD=90°，即∠BAG=∠BCH=90°，
∴∠GAB=∠B=∠BCH，
∵AD//BC，EF//AC，
∴四边形AGEC是平行四边形，
∴AG=EC，
∵AB//CD，EF//AC
∴四边形AFHC是平行四边形，
∴AF=CH，
∴△AFG≌△CHE(SAS)．
(2)四边形ABCD是正方形．
理由：∵EF//AC，
∴∠G=∠CAD，
∵∠G=∠BAC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=45°，
∵∠B=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴BA=BC，
∴矩形ABCD是正方形． 
【解析】本题考查了矩形和正方形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
(1)根据SAS可以证明两三角形全等；
(2)先根据平行线的性质和已知可得∠BAC=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以AB=BC，可得结论．

24.【答案】解：(1)设去年这种茶叶每千克的平均批发价是x元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是(1−125)x元．
依题意得：100000(1+20%)(1−125)x−100000x=1000，
化简得：1200.96x−100x=1，
解得：x=25，
检验后知道：x=25是原方程的根，
∴(1−125)x=(1−125)×25=24．
答：今年这种茶叶每千克的平均批发价是24元．
(2)设今年这种茶叶每千克的平均售价为m元，
∵工商部门规定，该茶叶利润率不得超过40%，
∴0≤m−24≤24×40%，
∴24≤m≤33.6，且m整数，
∵茶叶店一天的利润为w元，
∴w=(m−24)(300+41−m3×180)=−60m2+420m−66240，
整理得：w=−60(m−35)2+7260，
∵−60<0，24≤m≤33.6，
∴当m=33时，W为最大，最大利润w=−60(33−35)2+7260=7020，
答：当每千克的平均销售价为33元时，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是7020元． 
【解析】(1)设去年这种茶叶每千克的平均批发价是x元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是(1−125)x元，然后根据等量关系“今年的销售量−去年的销售量=1000千克”列出方程，解方程即可得出答案；
(2)设今年每千克平均销售价为m元，先根据“工商部门规定，该茶叶利润率不得超过40%，”列出不等式0≤m−24≤24×40%，解此不等式求出m的取值范围，再根据“总利润=每千克的利润×销售量”列出函数关系式，根据函数的性质结合m的取值范围求出函数的求最值即可．
本题主要考查了二次函数的应用以及列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题和二次函数解应用题的方法与步骤是解答题此的关键．

25.【答案】解：(1)如图，

∵点D是AC的中点，AB=BC=10，
∴BD⊥AC，AD=12AC=6，
由勾股定理得，BD= AB2−AD2= 102−62=8，
根据题意可知：BP=t=DQ，
∴DP=BD−BP=8−t，AQ=AD−DQ=6−t，
当PQ//AB时，
∴DQDA=PDDB，
∴t6=8−t8，
解得t=247；
(2)过点P作PT⊥BC，PS⊥AB，MF⊥AQ，垂足分别是T，S，F，

∵点D是AC的中点，AB=BC=10，
∴BD平分∠ABC，
∴PS=PT，
∵点D是AC边的中点，
∴AD=CD=12AC=6，BC=10，
∵∠BDC=∠BTP=90°，
∴sin∠DBC=DCBC=PTBP=610，
∴PS=PT=35t，
∵点E为AB的中点，
∴DE=AE=5，
∵MQ//ED，
∴AM=MQ，
∴AF=12AQ=6−t2，
∴MF=43(6−t)，
∴y=S△ABC−S△BCP−S△BEP−S△AMQ
=12×12×8−12×10×35t−12×5×35t−12×(6−t)×43(6−t)=−13t2−12t+36；
∴y与t的函数关系式为y=−13t2−12t+36；
(3)存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上，
则∠AQM=∠A′QM，
延长QP交BC于W，作QY⊥BC于Y，

∵ED//BC，MQ//BC，
∴∠MQA′=∠QWC，∠AQM=∠ACB，
∴∠QWC=∠QCB，
∴QW=QC，
∵QY⊥BC，
∴WC=2CY，
∵∠CYQ=∠CDB=90°，∠QCY=∠BCD，CQ=AC−AQ=12−(6−t)=6+t，
∴△CYQ∽△CDB，
∴CYCD=CQBC，
∴CY6=6+t10，
∴CY=35CQ=35(6+t)，
作PH⊥BC于H，
∵∠QWC=∠QCB，
∴△WHP∽△CDB，
∴设PH=4x=35t，WH=3x，
∴WH=9t20，
∴CW=BC−BW=10−(4t5−9t20)=10−7t20，
∴10=7t20−=2×35(6+t)，
∴t=5631．
∴存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上，此时t=5631． 
【解析】(1)当PQ//AB时，得PDDB=DQDA，代入即可；
(2)过点P作PT⊥BC，PS⊥AB，MF⊥AQ，垂足分别是T，S，F，多边形的面积y=S△ABC−S△BCP−S△BEP−S△AMQ，分别表示出每一个小三角形的高即可；
(3)延长QP交BC于W，作QY⊥BC于Y，由翻折加平行线可证QW=QC，则WC=2CY，分别表示出WC和CY，从而得出方程．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，翻折的性质，利用相似三角形表示出线段的长是解题的关键，难度较大．