2022-2023学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、填空题（共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.）
1．函数的定义域是 　　．
2．函数的值域是 　　．
3．已知，则（2）　　．
4．已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 　　．
5．已知，，若是充分条件，则的取值范围是 　　．
6．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是 　　．
7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 　　．
8．函数的单调减区间为　 　．
9．已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是　　．
10．函数，，，且的最大值是（a），则实数的取值范围是 　　．
11．由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与满足关系为常数，．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．乘客方可进站．则地铁站应安排工作人员至少提前 　　分钟进行消毒工作．

12．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，，都有，若（a），则实数的取值范围是 　　
二、选择题（共4小题，满分16分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得0分.）
13．（4分）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
14．（4分）设．下列计算中正确的是　　
A． B． C． D．
15．（4分）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是　　
A． B．
C． D．
16．（4分）已知非空集合，满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解．下面判断正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误
三、解答题（共有5题，满分48分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17．（8分）已知，，用及表示及．
18．（8分）设函数，指出在上的单调性，并证明你的结论．
19．设为常数，函数．
（1）若，解不等式：；
（2）若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
20．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．
（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；
（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？

21．（12分）对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得（a）恒成立，称函数具有性质（a）．
（1）判别函数，和，是否具有性质（2），请说明理由；
（2）函数，，若函数具有性质（a），求满足的条件；
（3）若函数的定义域为一切实数，的值域为，，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.）
1．函数的定义域是 　，　．
解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，．
故答案为：，．
2．函数的值域是 　　．
解：因为，所以，
即函数的值域是．
故答案为：．
3．已知，则（2）　　．
解：，，则（2），
故答案为：．
4．已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 　　．
解：因为的图象必过点，即，
中，当，时，，
从而图象必过定点．
故答案为：．
5．已知，，若是充分条件，则的取值范围是 　，　．
解：，，
若是充分条件，则，，，
故，解得：，
则的取值范围是，，
故答案为：，．
6．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是 　　．
解：幂函数在上是严格减函数，
则，
幂函数为奇函数，
，
取值的集合是．
故答案为：．
7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 　，　．
解：由题意可知，二次函数的对称轴，
由在区间上是增函数，
结合二次函数的性质可知，．
故答案为，
8．函数的单调减区间为　　．
解：由，得或．
令，则，
内函数，在上为减函数，外函数是定义域内的增函数，
函数的单调减区间为：．
故答案为：．
9．已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是　　．
解：当时，，
则，
又函数为偶函数，，
，
即当时，函数的表达式是．
故答案为：．
10．函数，，，且的最大值是（a），则实数的取值范围是 　，　．
解：函数，对称性为，开口向上，
函数在，上的最大值是（a），
，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
11．由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与满足关系为常数，．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．乘客方可进站．则地铁站应安排工作人员至少提前 　50　分钟进行消毒工作．

解：由题意可知，函数过点，
当时，设，则，解得，
所以，
当时，过点，
则，解得，
所以，
当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至1毫克；
当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，
取，解得小时分钟，
所以地铁站应安排工作人员至少提前50分钟进行消毒工作．
故答案为：50．
12．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，，都有，若（a），则实数的取值范围是 　　
解：根据题意，对任意，，，都有，则函数在，为减函数，
又由函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
则（a），
解可得：，
即的取值范围为，；
故答案为：，．
二、选择题（共4小题，满分16分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得0分.）
13．（4分）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
解：对于，的定义域为，的定义域为，，两函数的定义域不相同，故不是相同函数；
对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，故不是相同函数；
对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域和解析式都相同，故是相同函数；
对于，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，故不是相同函数．
故选：．
14．（4分）设．下列计算中正确的是　　
A． B． C． D．
解：，故错误；
，故错误；
，故错误；
，故正确，
故选：．
15．（4分）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是　　
A． B．
C． D．
解：，为减函数，且经过点，排除，；
为增函数，且经过点，，排除；
故选：．
16．（4分）已知非空集合，满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解．下面判断正确的是　　
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误
解：命题①．因为，，
所以要么，要么
所以不存在非空集合对，使为偶函数，则命题①错误．
假设存在某个非空集合对满足且为偶函数，
将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，，
则新的非空集合对，，使函数仍然是偶函数．
假设某个非空集合对满足且为偶函数，
将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，，
则新的非空集合对，，使函数仍然是偶函数．
当存在非空集合对，使为偶函数时，非空集合对不唯一，
综上所述，命题①错误；
命题②，解方程，得，
解方程，得，
当非空集合对满足，，时，方程无解，
而满足这个条件的非空集合对有无穷多个，故命题②正确；
故选：．
三、解答题（共有5题，满分48分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17．（8分）已知，，用及表示及．
解：，，
，
．
18．（8分）设函数，指出在上的单调性，并证明你的结论．
解：在上单调递增，证明如下：
，
任取，
则，
，，，，
，即，
在上单调递增．
19．设为常数，函数．
（1）若，解不等式：；
（2）若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
解：（1）因为，所以，
要使函数有意义则，即，解得或，
由，得，即，
则有，所以，解得，
故原不等式的解集为．
（2）当时，，
要使函数有意义，则，即，即或，
此时函数的定义域为，，关于原点对称，
且，所以此时函数为奇函数，
当且时，要使函数有意义，则，即，
即或，
此时函数的定义域为，，不关于原点对称，
所以此时函数为非奇非偶函数．
20．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．
（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；
（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？

解：（1）依题意得温室的另一边长为米．
因此养殖池的总面积，
因为，，所以．
所以定义域为．
（2）

，
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．
21．（12分）对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得（a）恒成立，称函数具有性质（a）．
（1）判别函数，和，是否具有性质（2），请说明理由；
（2）函数，，若函数具有性质（a），求满足的条件；
（3）若函数的定义域为一切实数，的值域为，，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．
解：（1）（2），，
，则（2），
故，不具有性质（2）；
，
（2）恒成立，
故，具有性质（2）．
（2）由，则（a）对任意恒成立，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号．
故，即，解得，
又为非负实数，故；
（3）因为具有性质，所以，
因为函数的值域为，，
所以，，
则，，
，
，
，
，
，即具有性质．