2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（共10小题，共40.0分.）
1. 下列式子中，一定是二次根式的是(    )
A. B. C. D.
2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是．(    )
A. B. C. D.
3. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为(    )
A. B. C. D.
4. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    )
A. B. C. D.
5. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是(    )
A. B. ，，
C. D. ：：：：
6. 一元二次方程的根是(    )
A. B.
C. ， D. ，
7. 在某中学开展的课外阅读活动中，要求七、八、九三个年级学生的人均阅读量逐次增加，而且增长率相同，已知七年级学生的人均阅读量为每年万字，九年级学生的人均阅读量为每年万字，则该校八年级学生的人均阅读量为每年(    )
A. 万字 B. 万字 C. 万字 D. 万字
8. 如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，，，以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是(    )

A. B. C. D.
9. 如图，与均为直角三角形，且，，：：，点是的中点，则的长为(    )

A. B. C. D.
10. 如图，正方形的边长为，点是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于的面积的倍，连接，，则线段的最小值为(    )

A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，共20.0分）
11. 如果过多边形的一个顶点可以引出条对角线，那么这个多边形的边数是______ ．
12. 若一组数据、、、、的众数为，则这组数据的方差是______ ．
13. 当代数式的值为时，代数式的值是______ ．
14. 如图，矩形中，，点是边上一动点，将沿折叠，使点落在点处，延长交矩形的一边与点．
当为的角平分线时，的度数为______ ；
当点为中点时，则的长为______ ．

三、计算题（共1小题，共8.0分）
15. 解方程：．
四、解答题（共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且求证：．

18. 本小题分
如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫格点．
使三角形的三边长分别为，，；
请求中你所画的的边上的高的长度．

19. 本小题分
观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第个等式：______用含的式子表示，并证明．
20. 本小题分
直播购物逐渐走近了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为元的“网红裙子”进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，每件商品的售价每降低元，日销量增加件，为尽快减少库存，商家决定降价销售，
若该电商决定将这批“网红裙子”的售价定为元，则每天可卖出______ 件“网红裙子”；
若要使得日利润达到元，则每件“网红裙子”应定价多少进行销售？
21. 本小题分
年月日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征十一号运载火箭，成功发射试验十九号卫星年，中国航天已开启“超级模式”，继续探秘星辰大海：实践二十三号卫星发射升空、“圆梦乘组”出舱首秀、中国空间站准备选拔国际航天员某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了名学生的竟赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下统计表．
组别
分数段成绩为分
频数
组内学生的平均竞赛
成绩分




















表格中 ______ ．
本次所抽取的这名学生的竞赛成绩的中位数落在______ 组填组别；
求本次所抽取的这名学生的平均竞赛成绩．
22. 本小题分
如图，在中，，是斜边的中点，连接，分别过点，作，，与交于点．
求证：四边形是菱形；
若，菱形的面积为，求的长．

23. 本小题分
如图，在边长为的正方形中，
如图，，垂足为点，求证：；
如图，垂直平分，且，求的长；
如图，，点、和分别为、和的中点，，求的长．


答案和解析

1.【答案】 
解：不符合二次根式定义，
则不符合题意；
，符合二次根式的定义，
则符合题意；
不符合二次根式定义，
则不符合题意；
当时，不符合二次根式定义，
则不符合题意；
故选：．
形如的式子即为二次根式，据此进行判断即可．
本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】 
解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

3.【答案】 
解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
．
故选：．
把代入方程，即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4.【答案】 
解：多边形外角和，
这个正多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和定理作答．
本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为．

5.【答案】 
解：、，，故是直角三角形，不符合题意；
B、，，故是直角三角形，不符合题意；
C、，，故是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，，故不是直角三角形，符合题意．
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．

6.【答案】 
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】
解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，，
故选D．  
7.【答案】 
解：设七、八、九三个年级学生的人均阅读量的增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
该校八年级学生的人均阅读量为每年万字．
故选：．
设七、八、九三个年级学生的人均阅读量的增长率为，利用九年级学生的人均阅读量七年级学生的人均阅读量七、八、九三个年级学生的人均阅读量的增长率，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将其符合题意的值代入中，即可求出该校八年级学生的人均阅读量．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 
解：数轴上点对应的数是，点对应的数是，
，
，
由勾股定理得：，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
，
点在原点的左侧，
点表示的数为：，
故选：．
由勾股定理得，再由作图得，然后由点在原点的左侧即可得出答案．
本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键．

9.【答案】 
解：延长交的延长线于点，

，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
：：，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，准确添加辅助线，求出的长是解题的关键．

10.【答案】 
解：过作，作点关于的对称点，连接交于，
由对称得，
，
由两点间线段最短得，为所求最小值，
正方形的面积始终等于的面积的倍，
到的距离到的距离，
，
到的距离为，
，
，
，
故选：．
过作，作点关于的对称点，连接交于，由两点间线段最短得，为所求最小值，根据勾股定理即可求出答案．
本题考查了正方形的性质的应用，线段和最值求法及勾股定理的计算是解题关键．

11.【答案】条 
解：多边形中的一个顶点可以引出的对角线条数为边数条，
已知多边形的一个顶点可以引出条对角线，
那么这个多边形的边数是条，
故答案为：条．
根据多边形的对角线性质即可求得答案．
本题考查多边形的对角线，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】 
解：数据、、、、的众数为，
，
则这组数据为、、、、，
所以其平均数为，
所以这组数据的方差为，
故答案为：．
先根据众数的概念确定的值，再依据方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、平均数和方差的定义．

13.【答案】 
解：的值等于，
，



，
故答案为：．
利用整体代入的思想即可解决问题．
本题考查代数式求值，解题的关键是学会与整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】  
解：四边形为矩形，
，
将沿折叠，使点落在点处，
，
为的角平分线，
，
，
，
；
如图，延长交的延长线于点，

四边形为矩形，，，
，，，，
点为中点，
，
在中，，
，，
为的中位线，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
，
，，
∽，
，即，
，
．
故答案为：．
由折叠可知，由角平分线的定义可得，进而得到，由求解即可；
延长交的延长线于点，由线段中点的定义可得，根据勾股定理可求出，易得为的中位线，得到，，由折叠可知，，，进而求出，易得∽，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、角平分线的定义、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．

15.【答案】解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，． 
【解析】移项后配方得到，推出，开方得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出，题目比较好，难度适中．

16.【答案】解：原式

． 
【解析】依据二次根式的运算法则计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算性质是解题关键．

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
． 
【解析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．

18.【答案】解：如图所示，即为所求；
设边上的高为，
，
，
答：的边上的高的长度为． 
【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图应用与设计作图，三角形的面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．

19.【答案】解： ；
，
理由如下：
证明：左边，
左边右边，
等式成立．
． 
【解析】
【解析】
解：由题意：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式为：，
故答案为：；
见答案．
【分析】
根据数字规律求解；
根据数字规律及二次根式的性质计算．
本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键．  
20.【答案】 
解：根据题意得：


件，
售价定为元时，每天可卖出件“网红裙子”．
故答案为：；
设每件“网红裙子”应定价为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：每件“网红裙子”应定价为元．
利用日销售量每件商品售价降低的钱数，即可求出结论；
设每件“网红裙子”应定价为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每日销售“网红裙子”获得的总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21.【答案】   
解：，
故答案为：；
本次所抽取的这名学生的竞赛成绩的中位数落在组，
故答案为：；
分，
答：本次所抽取的这名学生的平均竞赛成绩为分．
根据各组人数之和等于总人数可得的值；
根据中位数的定义求解即可；
根据加权平均数的定义求解即可．
本题考查了中位数、算术平均数等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，是斜边的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：，，
，
，
四边形是菱形，是的中点，
，
解得：，
，
即的长为． 
【解析】先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论；
由含角的直角三角形的性质得，则，然后由菱形的性质和三角形面积求出，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，含角的直角三角形的性质的性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】证明：正方形，
，，
，
，垂足为点，
，
，
≌，
．
解：连接，

正方形，
，，
垂直平分，且，
，，，
设，
则，，
，
解得，
，
设，
则，
，
，
解得，
故．
解：如图，过点作于点，

正方形，
，，
四边形是矩形，
，，
，垂足为点，
，，
，
≌，
，
，
，
，
是的中点，
，，，
连接，并延长交于点，
正方形，
，
，，
是的中点，
，
≌，
．
，
连接，
，
是的中点，
． 
【解析】利用证明≌即可．
连接，利用正方形性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质计算即可．
过点作于点，证明≌，连接，并延长交于点，证明≌，构造三角形中位线定理求解即可．
本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述性质，并灵活运用是解题的关键．