第04讲 充分条件与必要条件-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 命题
·模块二 充分、必要与充要条件
·模块三 课后作业
模块一
命题
1．命题及相关概念
【考点1 命题的概念】
【例1.1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
【例1.2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！B．这是一棵大树
C．求证：1+1=2D．3比5大
【变式1.1】（2022秋·高一课时练习）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1.2】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
模块二
充分、必要与充要条件
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【考点1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【例1.1】（2023·高一课时练习）若aA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例1.2】（2023·四川遂宁·四川省校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1.1】（2023·高一课时练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．
正确命题的序号是（ ）
A．①④B．①②
C．②③D．②④
【变式1.2】（2023·高一单元测试）若a,b∈R，则“a>1,b>1”的充分不必要条件是（ ）
A．ab>1且a+b>2B．ab>1且(a−1)(b−1)>0
C．a+b>2且(a−1)(b−1)>0D．a+b>3且(a−1)(b−1)>0
【考点2 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例2.1】（2023·高一课时练习）已知a,b∈R，则“a>b”的一个必要条件是（ ）
A．|a|>|b|B．a2>b2
C．a>b+1D．a>b−1
【例2.2】（2023·上海普陀·统考二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．a−1>b−1B．a2>b2
C．1b>1aD．a−b>b−a
【变式2.1】（2023秋·辽宁·高一校联考期末）给出的下列条件中能成为xx−3≥0的充分不必要条件是（ ）
A．x≤0或x>3B．x<−1或x>3C．x≤−1或x≥3D．x≥0
【变式2.2】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．0【考点3 由充分条件、必要条件求参数】
【例3.1】（2023秋·广东广州·高一校联考期末）若不等式−a+1A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1
【例3.2】（2023·福建福州·高三校考阶段练习）设p：4x−3<1；q：x−（2a+1）<0，若p是q的充分不必要条件，则（ ）
A．a>0 B．a>1 C．a≥0 D．a≥1
【变式3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=−2,5，B=m+1,2m−1．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,3B．2,3C．∅D．2,3
【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）如果不等式x−a<1成立的充分不必要条件是12A．12,32B．12,32C．−∞,12∪32,+∞D．−∞,12∪32,+∞
【考点4 充要条件的证明】
【例4.1】（2023秋·福建宁德·高一校考期末）求证：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0a≠0.
【例4.2】（2022秋·高一课时练习）已知x,y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1y的充要条件是xy>0.
【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c∈R证明:a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
【变式4.2】（2022秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．
模块三
课后作业
1．（2023春·上海黄浦·高一校考期中）若a,b,c∈R，则“ac=bc”是“a=b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“∀x>1, x2+1>m”是真命题的充要条件是（ ）
A．m<1B．m<2C．m≤2D．m<3
3．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设x,y∈R，下列说法中错误的是（ ）
A．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件
B．“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件
C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件
D．“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件
5．（2022秋·辽宁·高一校联考期末）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B．“a+32是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a2>b2”是“a3>b3”的充分条件
D．“a<5”是“a<3”的充分条件
6．（2023·天津·校联考二模）已知a≠0，命题p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，命题q:a+b+c=0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）设p:2a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2,+∞)B．−∞,2C．−∞,3D．[3,+∞)
8．（2023·高一课时练习）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）
A．a<0B．a>0C．a<−1D．a>1
9．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）若x>m2−3​是1A．−2,2B．−2,2 ​C．−3,3 ​D．2,3
10．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，例如2=1，3=1，−1.6=−2，那么“x=y”是“x−y<1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：a<2，q：a<1；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
12．（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
13．（2023·高一单元测试）已知全集U=R，集合A=x|m−1(1)当m=4时，求A∪B和A∩∁RB；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
14．（2023·高一单元测试）（1）已知集合A=xa1x=b1,a1b1≠0，B=xa2x=b2,a2b2≠0．证明：A=B的充要条件是a1a2=b1b2；
（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．
15．（2023·全国·高一专题练习）设集合A={−10}，命题p:x∈A，命题q:x∈B
(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.