第07讲基本不等式-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一两个不等式
·模块二基本不等式与最值
·模块三课后作业
模块一
两个不等式
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【注】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)【考点1 对基本不等式的理解】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4a2≥4中，等号成立的条件是（）
A．a=4B．a=2C．a=−2D．a=±2
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+ba≥2成立的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）若a,b∈R+，则下列关系正确的是（）
A．21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22B．21a+1b≤ab≤a2+b22≤a+b2
C．ab≤21a+1b≤a+b2≤a2+b22D．ab≤a+b2≤21a+1b≤a2+b22
【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（）
A．x2+5+1x2+5≥2B．x2+2+1x2+2≥2
C．x2+1x2≥2D．|x|+3+1|x|+3≥2
【考点2 由基本不等式比较大小】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,2H=1a+1b,G=ab，则（）
A．G≤H≤AB．H≤G≤A
C．G≤A≤HD．H≤A≤G
【例2.2】（2023·全国·高一假期作业）设A=nm+mn（m、n为互不相等的正实数），B=−x2+4x−2，则A与B的大小关系是（）
A．A>BB．A≥B
C．A【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b,c满足aA．acC．bc+cb>2D．ba+ab>2
【变式2.2】（2023·高一课时练习）若实数a，b满足0A．12B．a2+b2C．2abD．a
【考点3 利用基本不等式证明不等式】
【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
【例3.2】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，c>0，求证：bca+cab+abc≥a+b+c.
【变式3.1】（2023·江苏·高一假期作业）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1a+b+1b+c+1c≥10．
【变式3.2】（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(1)a2+b2+c2≥13；
(2)a3c+b3a+c3b≥abc．
模块二
基本不等式与最值
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【考点1 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（）
A．有最大值−6B．有最小值6C．有最大值−2D．有最小值2
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知0A．2B．4C．5D．6
【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知0A．54B．12C．13D．34
【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）函数y=x2+6x+14x+1(x>−1)的最小值是（）
A．10B．12C．13D．14
【考点2 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例2.1】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知a>0，b>0，2a+1b=1，则a2+4b2的最小值为（）
A．8B．16C．24D．32
【例2.2】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）
A．2B．2C．4
【变式2.1】（2023春·福建福州·高二校考学业考试）若正数x,y满足x+2y=2，则yx+1y的最小值为（）
A．2+1B．22+1C．2D．52
【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=6，则下列选项错误的是（）
A．ab的最大值为2B．2a+b的最小值为4
C．a+b的最小值为3D．1a+1+1b+2的最小值为22
【考点3 利用基本不等式求参数】
【例3.1】（2023·江苏·高一假期作业）若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（）
A．m≤4B．m>4
C．m<0D．m≤8
【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）当x>a时， 2x+8x−a的最小值为10，则a=（）
A．1B．2C．22D．4
【变式3.1】（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4≤m2−3m有解，则实数m的取值范围（）
A．−1,4B．−∞,−1∪4,+∞
C．−4,1D．−4,1
【变式3.2】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+b2+a22+2b2−mab≥0恒成立，则m的最大值为（）
A．94B．32C．2D．3+104
【考点4 基本不等式的实际应用】
【例4.1】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价fx，问泳池的长为多少米时，可使总造价fx最低，并求出泳池的最低造价．
【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为y万元与总座椅数x千套，两者满足关系式：y=602x+50≤x≤8．15年的总维修费用为80万元，记w为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用w最小，并求出最小值．
【变式4.1】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.5(1)将该批产品的利润y（万元）表示为t的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【变式4.2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距d（单位：m）正比于车速v（单位：km/h）的平方与车身长l（单位：m）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为70km/h时，安全车距为19.6个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距d与车速v之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为10m，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为800m的隧道用时最短?
模块三
课后作业
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）设a，b∈R，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一校考期末）当x<0时，函数y=x+4x（）
A．有最大值−4B．有最小值−4C．有最大值4D．有最小值4
3．（2023·广西·统考一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（）
A．a+b2≥ab(a>0,b>0)B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C．2aba+b≤ab(a>0,b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)
4．（2023·全国·高三专题练习）若a>b>0，则下列不等式成立的是（）
A．a>b>a+b2>abB．a>b>ab>a+b2
C．a>a+b2>ab>bD．a>ab>a+b2>b
5．（2023·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，则2x+y的最小值为（）．
A．4B．6C．8D．12
6．（2023·全国·高三专题练习）设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（）
A．（38－373) m3B．16 m3C．42 m3D．14 m3
7．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0,b>0，若a+b=4，则（）
A．a2+b2有最小值4B．ab有最大值2
C．1a+1b有最大值1D．1a+b有最小值24
8．（2023春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）某工厂过去的年产量为a，技术革新后，第一年的年产量增长率为p，第二年的年产量增长率为q，这两年的年产量平均增长率为x，则（）
A．x≥pqB．x≤p+q2C．x≤pqD．x≥p+q2
9．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y2A．25,+∞B．26,+∞C．994,+∞D．27,+∞
10．（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+yA．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
11．（2023·全国·高一假期作业）若x,y∈R+，且x+2y=1，求1x+1y的最小值．
12．（2023·全国·高一假期作业）已知x>0,y>0,2xy=x+4y+a.
(1)当a=16时，求xy的最小值；
(2)当a=0时，求x+y+2x+12y的最小值.
13．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知正数a,b,c满足a+b+c=1,，求证:
(1)3a+1+3b+1+3c+1≤32;
(2)2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca−3abc.
14．（2022·高一课时练习）已知x>0，y>0．
(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y2−4mx+4my≥0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，求实数m的最小值；
(3)若x+y=1．且1x+ay≥9恒成立，求正实数a的最小值．
15．（2023·全国·高一假期作业）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x(x∈0,20)（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到t=(x+3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t+81t+3x)（万元），并以每件(8+42t)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？