第01讲 三角函数的概念与诱导公式（练习）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考

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第01讲 三角函数的概念与诱导公式
（模拟精练+真题演练）

1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（    ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】展开过程中：
,
,
故选：D.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（   ）（精确到）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=()，
所以弧田面积约是.
故选：A
3．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A
【解析】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：.
故选：A.
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点为角的终边与单位圆的交点，（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单位圆可知，，且为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得，
所以，
所以.
故选：D
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，的值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

  
设，
则，，
因，则，
故，
，
故选：B
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
故选：C．
7．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得：，所以.
故选：A
8．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，现将角的终边绕原点O逆时针方向旋转与单位圆交点的纵坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，
所以，
则.
故选：A.
9．（多选题）（2023·吉林·统考二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（    ）

A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，
故选：.
10．（多选题）（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）下列说法正确的是（    ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过小时，时针转了
D．若角和角的终边关于对称，则有
【答案】ABD
【解析】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；
因为，所以或，
故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，
综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，
所以经过4小时应旋转，故C错误；
对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确
故选：ABD
11．（多选题）（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．扇形的面积为
C．
D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【解析】由题意圆的半径
选项A：由题意得

所以





所以，故A正确；
选项B：因为，
所以扇形的面积，
故B错误；
选项C，






故C正确；
选项D：


因为，
所以




故D正确
故选：ACD.
12．（多选题）（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知 ，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为所以
即，所以A正确;
对于B、C：因为，且，
所以，即，所以所以B错误，C正确;
对于D：联立，解得所以，所以D正确.
故选：ACD.
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知为锐角，若，则________．
【答案】
【解析】，所以，
因为为锐角，所以，，
故答案为：
14．（2023·陕西西安·统考三模）已知，则_______．
【答案】
【解析】
，
故答案为：
15．（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则________．
【答案】2
【解析】因为，
整理得，解得或，
又因为为锐角，则，所以.
故答案为：2.
16．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则_____．
【答案】/0.5
【解析】已知扇形半径为，圆心角为，
∵扇形面积，∴，
∴，解得：.
故答案为：.

1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　

A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，
是的中点，在上，，
延长可得在上，，
．
故选：．
2．（2020•上海）“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】
【解析】（1）若，则，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若，则，得不出，
“”不是“”的必要条件，
“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
3．（2021•甲卷）若，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，得，
即，
，，
则，解得，
则，
．
故选：．
4．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】为第四象限角，
则，，
则，
是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，
，
故选：．
5．（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，得，
即，解得（舍去），或．
，，，
则．
故选：．
6．（2023•乙卷）若，，则　　．
【答案】．
【解析】，，
令，，设终边上一点的坐标，
则，
则．
故答案为：．
7．（2022•浙江）若，，则　　，　　．
【答案】；．
【解析】，，
，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：；．
8．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为 　　．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】因为与，关于轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即且，
由诱导公式，，
所以，，解得，，
则符合题意的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2020•浙江）已知，则　　，　　．
【答案】；
【解析】，
则．
．
故答案为：；．