重难点突破01 ω的取值范围与最值问题（六大题型）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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重难点突破01 的取值范围与最值问题
目录


1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点

2、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点


同理在区间内有个零点

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.

题型一：零点问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
例2．（2023·全国·高一专题练习）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，
，
如图：

①当，则，得无解；
②当，则，求得；
③当时，则，求得；
④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；
综上，可得或；
故选：D.
例3．（2023·河北·高二统考学业考试）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：

解得：.
故选：B
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题知，函数在上仅有一个零点，
所以，所以，
令，得，即.
若第一个正零点，则（矛盾），
因为函数在上仅有一个零点，
所以，解得.
故选：C.

    
变式2．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为的最小正周期为，且，
所以，
因为，所以，
所以，
因为为的零点，
所以，
所以，解得，
因为，所以的最小值为4，
故选：C
变式3．（2023·全国·模拟预测）若函数在上有3个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则
当时，，即，
当时，，矛盾，
所以，且，又，
所以，且，
所以．
所以，因为，
所以函数的正零点从小到大依次为：，，，，
因为函数在上有3个零点，
所以
所以．
故选：D．
题型二：单调问题
例4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】关于点对称，所以，
所以①；
，而在上单调，
所以，②；
由①②得的取值集合为.
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数的最小正周期为，
因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，其中，所以，，，
因为函数在区间上单调，则，所以，.
所以，的可能取值有：、、、、.
（i）当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上不单调，不合乎题意；
（ii）当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上单调递减，合乎题意.
因此，的最大值为.
故选：A.
例6．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（    ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【解析】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，
由得，则函数在上单调递增，
而函数在区间上不单调，则，解得，
所以的最小值为11.
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，
，，
，
由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
当时，，
此时的最小正整数为.
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，且，则的可能取值（    ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
【答案】C
【解析】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故选：C
题型三：最值问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，，
因为在区间上单调递增，由，则，
于是且，解得且，即，
当时，，因为在区间上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最大值，且，若函数在上是单调的，则的最大值为______．
【答案】/11.25
【解析】由题意，函数
满足，，
可得，，
两式相减得，其中，
解得，
又由，可得，
即，解得，
故m的最大值为8，
此时取得最大值．
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】易知时不满足题意，
由Z，得Z，
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故；
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故.
综上，的取值范围是.
故答案为：
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为2，则使函数在区间上至少取得两次最大值，则取值范围是_______
【答案】/
【解析】，因为，，故，原式为，当取到最大值时，，当，取得前两次最大值时，分别为0和1，时，，，此时需满足，解得.
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】．
由题可知，，所以，
当时，，
因为函数在上有最大值，无最小值，
所以存在，使得
整理得，（）.
因为，所以，解得.
故答案为：.
题型四：极值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．
【答案】14
【解析】 因为所以最小正周期，
又所以，即；
又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；
故答案为：14

例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．解得，．
所以当时，.
故选：C．
例12．（2023·山西运城·高三统考期中）已知函数在区间内有且仅有一个极小值，且方程在区间内有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，若在区间内有且仅有一个极小值，则.若方程在区间内有3个不同的实数根，则，所以，由，解得.
所以的取值范围是.
故选：C
变式9．（2023·全国·校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因为，所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值，
因为函数只有一个极大值和一个极小值，则，即，又，所以，所以
则解得故
故选：C
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间内有且仅有一个极大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，
因为，所以，
若在区间内有且仅有一个极大值，则，解得；若方程在区间内有4个不同的实数根，
则，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
故选：C.
题型五：对称性
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（    ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【解析】，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，
令，由，则，
又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
作出的图象如下，

所以，得．
故选：D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（    ）
A．在区间上有且仅有3个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
【答案】C
【解析】函数，
令，，得，，
函数在区间,上有且仅有4条对称轴，即有4个整数满足，
得，可得，1，2，3，
则，
，即的取值范围是，故C正确；
，，由于得，，
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误；
周期，由，得，
，的最小正周期不可能是，故B错误；
，，
又，，
又，在区间上不一定单调递增，故D错误．
故选：C
变式12．（2023·浙江衢州·高一统考期末）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：D.
变式13．（2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是.
题型六：性质的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵  ，，
∴ ，，
又对于任意的都有，
∴ ，，
∴ ，又，
∴ 或，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，C错误，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，A错误，
当时，，
若，则，
∴在上单调，D正确，
故选：D.
例17．（2023·全国·高一专题练习）设函数，已知在[有且仅有4个零点，下述四个结论：①在有且仅有2个零点；②在有且仅有2个零点；③的取值范围是；④在单调递增，其中正确个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由时，得到，根据在[有且仅有4个零点，则在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当时，
，
因为在[有且仅有4个零点，
所以在第4个零点和第5个零点之间，
所以，
解得，故③正确；
当时，，又，
，结合知最多有3个零点，故①错误；
当时，，又，
，结合有且仅有2个零点，故②正确；
当时，，因为，所以，则，所以在单调递增，故④正确；
故选：D
例18．（多选题）（2023·福建漳州·统考三模）已知函数在上有且仅有条对称轴；则（    ）
A．
B．可能是的最小正周期
C．函数在上单调递增
D．函数在上可能有个或个零点
【答案】AD
【解析】；
对于A，当时，，
在上有且仅有条对称轴，，解得：，
即，A正确；
对于B，若是的最小正周期，则，不能是的最小正周期，B错误；
对于C，当时，；
，，，
，当时，不是单调函数，C错误；
对于D，当时，，
，；
当时，在上有个零点；
当时，在上有个零点；
在上可能有个或个零点，D正确.
故选：AD.
变式14．（多选题）（2023·广东汕头·统考一模）知函数，则下述结论中正确的是（    ）
A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点
B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增
C．若在有且仅有个零点，则的范围是
D．若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】令，由，可得出，
作出函数在区间上的图象，如下图所示：

对于A选项，若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点，A选项正确；
对于C选项，若在有且仅有个零点，则，解得，C选项正确；
对于B选项，若，则，
所以，函数在区间上不单调，B选项错误；
对于D选项，若的图象关于对称，则，.
，，，.
当时，，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意，D选项正确.
故选：ACD.
变式15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下述结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11
【答案】BD
【解析】因为,因为 在有且仅有个零点，所以 ，所以.所以选项C正确；

此时，在有且仅有 个极小值点，故选项A正确；
因为，
因为，所以当时，所以 ，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；
若的图象关于对称，则，.
，，，.
当时，，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，故的最大值为9．故选项D错误.
故选：BD
变式16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是（    ）
A．函数在上单调递增.
B．不可能是函数的图像的一个对称中心
C．的范围是
D．的最小正周期可能为
【答案】AB
【解析】的对称轴方程为：
上有且仅有三个对称轴，，.
A选项：，所以A正确；
B选项：若是f(x)的一个对称中心，则：
，，，所以k不存在，B正确；
C选项:由上解得，所以C错误；
D选项：，所以D错误.
故选：AB.
变式17．（多选题）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（    ）
A．
B．的最小值为
C．若函数在上存在零点，则的最小值为
D．函数在上一定存在零点
【答案】ACD
【解析】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期，则，，
则或，又在处取得最大值，
则，则或，
其中，则的最小值为，故B错误；
C选项，由A选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，其中.
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意；
由A选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意，
综上可知的最小值为，故C正确；
D选项，由C分析可知，时，可取，
此时，，存在零点；
时，可取，
此时，，存在零点；
当时，，注意到，
则此时函数在上一定存在零点，
综上在上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
变式18．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）记函数的最小正周期为T，若，在区间恰有三个零点，则关于下列说法正确的是（    ）
A．在上有且仅有1个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点
C．在上单调递增 D．的取值范围为
【答案】AD
【解析】由题意函数的最小正周期为T，则，
由可得，即，
由于，故，
由在区间恰有三个零点，
而时，，
结合函数的图象如图示：

则在原点右侧的零点依次为，
则，
即的取值范围为，D正确；
由于时，，，
结合图象可知，仅在时取得最大值，
故在有且仅有1个最大值点，A正确；
由A的分析可知，在时取得最小值，
由于，故可能取到，也可能取不到，
故在可能有1个最小值点，也可能有2个最小值点，B错误；
当时，，
由于，所以，
因为在上单调递减，C错误；
故选：
变式19．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ）
A．函数在上单调递增
B．函数的最大值是1
C．若函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是4
D．若函数在区间内没有零点，则的取值可以是
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，所以，
又，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故A错误；
对于B，，
当时，函数取得最大值，最大值为1，故B正确；
对于C，由知，函数的对称轴为，
所以Z)，解得Z)，由知，
当时，，，函数在上单调递增，不符合题意；
当时，，，函数在上不单调，故的最小值为4，故C正确；
对于D，，
当时，，由，得，当时，为函数的零点，故D错误.
故选：BC.
变式20．（多选题）（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（    ）
A．存在，使得是偶函数 B．
C．是的整数倍 D．的最大值是6
【答案】BC
【解析】对于A,∵，成立，∴，
整理得，解得，
，
假设存在，使得是偶函数，则，
即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；
对于B，因为，函数的图象关于对称，
∴，故B正确；
对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确；
对于D，∵函数在区间上单调，∴，即，
当时，由，整理得，
故无解，故D错误．
故选：BC．