第十章 概率、随机变量及其分布列-备战高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）

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备战高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
概率、随机变量及其分布列
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（    ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解析】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
2.（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
3．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求
【详解】由题意，可能取值为2，3
包含事件为取出的两个球为1，2
所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3
所以
，
.
故选：A.
4．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.
【详解】设事件表示从第一箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，
则，
故选：D
5．（福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）

A．的数据较更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D．
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
6.（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
【答案】D
【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，
记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，
所以，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件为“选到绑带式口罩”，则
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.
故选：D.
7.（2023山东青岛一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43
【答案】C
【解析】设事件表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则,
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故,
故选：C
8.（2023四川成都模拟）年末,武汉岀现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快,因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人,在排查期间,一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”,设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立,该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件:检测个人确定为“感染高危户”,事件:检测个人确定为“感染高危户”,∴,,即
      ,设,则
      ,∴,当且仅当即时取等号,即.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·广东惠州·统考二模）下列四个命题中为真命题的是（    ）
A．若随机变量服从二项分布，则
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．已知一组数据的方差是3，则的方差也是3
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4
【答案】AC
【解析】对于A，由于，则，故A正确；
对于B，，故，故B错误；
对于C，的方差是3，则的方差不变，故C正确；
对于D，回归方程必过样本中心点，则，解得，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·浙江台州·统考二模）已知,随机变量的分布列为:








则(    )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据期望方差的相关公式，以及判断,再举特例判断D即可.
【详解】因为,所以错，
因为,所以对，
因为
，
所以,所以,所以对，
举特例来说明错,取，
则，
，
，

,所以错.
故选:BC
11（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第k位发言的是学生”，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以A错误．
因为，所以B错误．
因为，所以C正确．
因为，所以D错误．
故选：C
12．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（    ）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5
【答案】BCD
【解析】因为，所以，所以A错误．
因为，所以，所以B正确．
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．
因为，所以，又因为，所以，则，
所以，
若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2023·辽宁丹东·统考二模）已知，，，那么____________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
14.（2023山东烟台一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．
【答案】
【解析】根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，
在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
则小张决定采购该企业产品的概率；
故答案为：．
15．（2023·山东青岛·统考二模）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为__________.
【答案】（中的任意一个数均可）
【分析】利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】​​​​​​​因为，且,
则,且，
故若，则.
故答案为:（中的任意一个数均可）.
16．（天津市2023届高三三模数学试题）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则________．
【答案】 ； 4.
【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.
【详解】由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；
当时，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
则．
当时，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
则．
故．
故答案为：；4.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023·江苏·统考三模）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．

(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：

0
1
2
3
P




．
（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，
．
18．（2023·山东淄博·统考二模）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.
(1)求满足条件的对接码的个数；
(2)若对接密码中数字1出现的次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)1560
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分一个数字出现3次，另外三个数字出现1次和两个数字各出现2次，另外两数字各出现1次讨论即可；
（2）首先得到的取值为，分别写出其概率，利用均值公式即可得到答案.
【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：，
当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时，
种数为：，
所有满足条件的对接码的个数为1560.
（2）随机变量的取值为，其分布列为：
，
，
，
故概率分布表为：








故.
19．（2023·安徽黄山·统考三模）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.0525
(2)分布列见解析，期望为32（分钟）
【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，
则，且两两互斥.
根据题意，
.
由全概率公式，得
.
（2）由题意知，则
，
同理得，
所以加工这个零件耗时的分布列为：

35
32
30




（分钟）.
20．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．
【解析】（1）由频率分布直方图，得．
．
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，
所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，
故，所以，
X的数学期望．
21．（2023·湖南岳阳·统考三模）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)分布列见解析；期望为
(3)答案见解析
【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2




所以的数学期望．
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2




所以的数学期望为.
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，
第（1）问中不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽；
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
22．（2023·黑龙江大庆·统考三模）天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；
(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为；
(3)答案见解析.
【详解】（1）由题意可知，每个人不选择“太空发射”的概率为，
所以甲、乙、丙、丁这4个人都不选择“太空发射”的概率为
故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择“太空发射”的概率
（2）由已知的可能取值有，
因为每个人选择“太空发射”的概率为，且每个人是否选择“太空发射”相互独立，
所以服从二项分布：，
所以，
即，
，，，
则的概率分布列为：

0
1
2
3
4






所以的数学期望.
（3）设选择“太空发射”的人数最有可能为人，
则，
，
，即
即，也即
解得，
又因为，当，，
则不等式为，
所以，
即当被5整除时，选择“太空发射”的人数最有可能是人
.