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2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 为了解决下列问题，收集数据方式合适的是( )
A. 采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间
B. 采用全面调查检查一批饮料的质量
C. 采用全面调查检查河水的污染情况
D. 采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件
3. 已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第一象限内，则点M的坐标为( )
A. (2,3) B. (−2,3) C. (−3,2) D. (3,2)
4. 在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EF B. AC=DF C. ∠A=∠D D. ∠C=∠F
5. 若m>n，则下列不等式中一定成立的是( )
A. m+3na2
6. 如图，在△ABC中，AB边上的高是( )
A. AG
B. CF
C. BE
D. BD
7. 已知x，y满足方程组x+m=4y−5=m，则无论m取何值，x，y恒有关系式是( )
A. x+y=1 B. x+y=−1 C. x+y=9 D. x−y=9
8. 古代《永乐大典》中有一道趣题：钱二十贯，买四百六十尺，绫每尺四十三文，罗每尺四十四文，问绫、罗几何？意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文，若设买了绫x尺，罗y尺，则用二元一次方程组表示题中的数量关系正确的是(说明：贯、文都是古代的一种货币单位，1贯=1000文)( )
A. x+y=46044x+43y=20 B. x+y=46044x+43y=20000
C. x+y=46043x+44y=20 D. x+y=46043x+44y=20000
9. 如图是P1，P2，…，P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份.连接P1，P2，⋯，P10得到正十边形，延长P10P9和P6P7，则夹角是( )
A. 54°
B. 60°
C. 72°
D. 90°
10. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D.∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离x(m)
1.2
1
4
8
10
2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为______ ．
12. 若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 ．
13. 图形的密铺(或称图形的镶嵌)指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖.如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特⋅丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为______ 度.
14. 若一个三角形任意两个角都不相等，且其中一个内角α是另一个内角β的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角α称为该三角形的“倍角”.如果一个“倍角三角形”为直角三角形，则“倍角”的度数是______．
15. 如果关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，那么关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2的解是______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0,3)，点B坐标(4,0)，AB=5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)解方程组：2x+3y=73x−6y=21；
(2)解不等式x+24+5x−38≥1，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题6.0分)
解不等式组4x−1>2(x−1)−13x−12≤2x+13，并求出它的整数解．
19. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC.若∠ABC=70°，∠DAC=50°.求：∠AEB的度数．
20. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离之和等于点N到x轴，y轴的距离之和，则称点M为点N的“等距点”.例如：点M(5,−1)为点N(3,3)的“等距点”．
在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)．
(1)若点Q为点A先向左移动6个单位长度，再向上移动2个单位长度得到的，则点Q的坐标为______ ，在所给的平面直角坐标系中画出△AOQ，并直接判断Q是否为A的“等距点”______ ；(填“是”或“不是”)
(2)在(1)的条件下，求直线AQ与y轴交点的坐标；
(3)点Q(x,y)为点A的“等距点”，若点Q在第二象限，请用x的代数式表示y．
21. (本小题10.0分)
求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′(∠C=∠C′=90°,AC=A′C′，在此图形上用尺规作出∠CAB和∠C′A′B′的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．
22. (本小题10.0分)
用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒.现有正方形纸板80张，长方形纸板a张，且250
(1)若要制作两种纸盒共50个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？
(2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个？
23. (本小题10.0分)
在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市九年级部分同学1分钟跳绳的次数x(单位：次)，将抽查结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共抽查了多少名学生？
(2)请补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数；
(3)若本次抽查中，跳绳次数在125次以上(含125次)为优秀，请你估计全市5000名九年级学生中有多少名学生的成绩为优秀．
24. (本小题12.0分)
如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”.如：方程x−1=0就是不等式组x+1>0x−2<0的“有缘方程”．
(1)试判断方程2x−3=0，②3x−(x−1)=−1是否是不等式组5x−2<32x+4>1的有缘方程，并说明理由；
(2)若关于x的方程3x+2k=5(k为整数)是不等式组3(x+1)−2x>24(x−1)≥2(x−3)+5x的一个有缘方程，求整数k的值；
(3)若方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．
25. (本小题14.0分)
已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点F为BE中点．
(1)如图1，求证：BF=12AD；
(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE，BD，过C点作CM⊥AD于M点．
①探究AE和BD的关系，并说明理由；
②连接FC，求证：F，C，M三点共线．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】
解：∵不等式x≥−2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、B，
∵不等式x≥−2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除D．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：A、采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间，应采取全面调查的方式，才能全面，准确的收集数据，所以，收集数据的方式不合适，不符合题意；
B、采用全面调查检查一批饮料的质量，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意；
C、采用全面调查检查河水的污染情况，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意；
D、采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件，能够得到全面准确的信息，收集数据的方式合适，符合题意．
故选：D．
根据全面调查和抽样调查的特点逐项进行判断即可．
本题考查了全面调查和抽样调查的特点，一般来说，全面调查能够得到总体全面、准确的信息，但有时总体中个体的数目比较大，全面调查工作量大，有时受条件限制，或具有破坏性无法进行时，多采用抽样调查的方式，熟练掌握知识点是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M到x轴的距离为3，
∴纵坐标的长度为3，
∵到y轴的距离为2，
∴横坐标的长度为2，
∵点M在第一象限，
∴点M的坐标为(2,3)．
故选：A．
根据到坐标轴的距离判断出横坐标与纵坐标的长度，再根据第一象限的点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，难点在于到y轴的距离为横坐标的长度，到x轴的距离为纵坐标的长度，这是同学们容易混淆而导致出错的地方．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
A、根据SAS能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上判定定理判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵m>n，
∴m+3>n+3，故本选项不符合题意；
B.∵m>n，
∴−3m<−3n，故本选项符合题意；
C.∵m>n，
∴3m>3n，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，ma2=na2，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB边上的高是线段CF，
故选：B．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7.【答案】C
【解析】解：x+m=4①y−5=m②，
①+②得：x+y+m−5=4+m，
即x+y=9，
故选：C．
方程组中的两个方程相加得出x+y+m−5=4+m，整理后即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵共买了460尺绫和罗，
∴x+y=460；
∵绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文，买绫和罗共花了20000文(20贯)，
∴43x+44y=20000．
∴根据题意可列方程组x+y=46043x+44y=20000．
故选：D．
利用总价=单价×数量，结合用20贯钱买了460尺绫和罗，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接P6P10，设P10P9和P6P7的延长线交于点P
∵P1，P2，…，P10十个点将圆周分成十等份，
∴每一份弧所对的圆心角为：360÷10=36°，
∴每一份弧所对的圆周角为：36°÷2=18°，
∴∠1=∠2=18°×3=54°，
∴∠P=180°−∠1−∠2=72°．
故选：C．
首先连接P6P10，设P10P9和P6P7的延长线交于点P，然后根据等分圆周与圆内接正多边形的关系可得出每一份弧所对的圆周角为18°，据此可得出∠1=∠2=54°，然后依据三角形的内角和定理可求出∠P的度数．
此题主要圆内接正多边形，三角形的内角和定理，解答此题的关键是理解圆内接正n边形的中心角为α=360°n，每一份弧所对的圆周角为α2．
10.【答案】C
【解析】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，
设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，
由外角的性质得：
∠1=∠BAE+∠G=x+20，∠2=12∠ABD=12(2x+y)=x+12y，
∴x+20=x+12y，解得y=40°，
∴∠1=∠2=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
∴∠DFB=60°．
故选：C．
由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】0.48
【解析】解：该班女生获得优秀的频率为：10+21+4+8+10+2=0.48．
故答案为：0.48．
用该班女生获得优秀的频率除以总人数即可．
本题考查频数分布表，解答本题的关键是掌握“频率=频数÷总数”．
12.【答案】17
【解析】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6<7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】36
【解析】解：∵正五边形一个外角的度数为15×360°=72°，
∴正五边形一个内角的度数为180°−72°=108°，
∵图中菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，
∴360°−3×108°=36°，
∴菱形的最小内角为36°．
故答案为：36．
先求得正五边形一个外角的度数为72°，再由正五边形的内角与它相邻的外角互为补角求得正五边形一个内角的度数为108°，观察图形可知菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，即可求得菱形的最小内角为36°．
此题考查平面镶嵌、正多边形的外角与内角，求出正五边形一个内角的度数是解题的关键．
14.【答案】60°
【解析】解：设此三角形的两个锐角分别是α、β，且α>β，
①2α=90°，此时α=β=45°，不符合题意；
②2β=90°，此时α=β=45°，不符合题意；
③α=2β，此时α=60°，β=30°，符合题意；
∴“倍角”的度数是60°，
故答案为：60°．
两个锐角分别是α、β，且α>β，根据题意分3种情况讨论：2α=90°、2β=90°、α=2β．
本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解题关键．
15.【答案】x=2y=−1
【解析】解：令x−3=m，−2y=n则关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2可变为a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，
∴m=−1n=2，
∴x−3=−1，−2y=2，
解得：x=2，y=−1，
∴关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2的解为x=2y=−1．
故答案为：x=2y=−1．
令x−3=m，−2y=n，将方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2变为a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2得出m=−1n=2，求出x、y的值，即可得出答案．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握方程解的概念，得出x−3=−1，−2y=2．
16.【答案】125
【解析】解：在AB上取一点G，使AG=AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO=∠BAC，AP=AP，
∴△APQ≌△APG(SAS)，
∴PQ=PG，
∴OP+PQ=OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC=12AB⋅OH=12AO⋅BO，
∴OH=AO⋅BOAB=3×45=125，
∴OP+PQ的最小值为125，
故答案为：125．
利用角平分线构造全等，将OP+PQ转化为OP+PG，则OP+PG最小值为OH的长度，利用等面积求出OH即可．
本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造△APQ≌△APG，将OP+PQ转化为OP+PG．
17.【答案】解：(1)2x+3y=7①3x−6y=21②，
①×2得：4x+6y=14③，
②+③得：7x=35，
解得：x=5，
把x=5代入①中得：10+3y=7，
解得：y=−1，
∴原方程组的解为：x=5y=−1；
(2)x+24+5x−38≥1，
2(x+2)+5x−3≥8，
2x+4+5x−3≥8，
2x+5x≥8−4+3，
7x≥7，
x≥1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)利用加减消元法，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：4x−1>2(x−1)−1①3x−12≤2x+13②，
由①得：x>−1，
由②得：x≤1，
∴不等式的解集为：−1
【解析】首先求出不等式组的解集，再找出其整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．
19.【答案】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠C=90°−∠DAC=90°−50°=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=12×70°=35°．
∴∠AEB=∠EBC+∠C=35°+40°=75°．
【解析】由三角形的高的定义可得∠ADC=90°，进而可得∠C=90°−∠DAC=40°，根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC=35°，最后根据三角形外角的性质可得∠AEB=∠EBC+∠C=75°．
本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20.【答案】(−2,5) 是
【解析】解：(1)∵点A的坐标为(4,3)，
∴点A先向左移动6个单位长度，再向上移动2个单位长度得到Q，点Q的坐标为(−2,5)，
如图所示△AOQ即为所求；
∵A到x轴，y轴的距离之和为7，点Q到x轴，y轴的距离之和为7，
∴Q是A的“等距点，
故答案为：(−2,5)，是；
(2)设直线AQ的解析式为y=kx+b，
把(4,3)和(−2,5)代入得3=4k+b5=−2k+b，
解得k=−13b=133，
∴直线AQ的解析式为y=−13x+133，
当x=0时，y=133，
∴直线AQ与y轴交点的坐标为(0,133)；
(3)∵点Q(x,y)为点A的“等距点”，点Q在第二象限，
∴|x|+y=7，
∴y=−x+7．
(1)根据“等距点”的定义即可得到结论；
(2)设直线AQ的解析式为y=kx+b，把(4,3)和(−2,5)代入得解方程组即可得到结论；
(3)根据“等距点”的定义即可得到结论．
本题考查了作图−平移变换，待定系数法求函数的解析式，正确地理解“等距点”是解题的关键．
21.【答案】解：已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，AD=A′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′；
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AC=A′C′AD=A′D′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，
∴∠CAB=2∠CAD，∠C′A′B′=2∠C′A′D′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
在△ABC与△A′B′C′中，
∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
【解析】根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠C′A′D′，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠C′A′D′，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确地图册图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设制作x个竖式无盖纸盒，则制作(50−x)个横式无盖纸盒，
依题意得：x+2(50−x)≤80，
解得：x≥20．
答：至少可以制作20个竖式无盖纸盒．
(2)设横式无盖纸盒做了y个，则竖式无盖纸盒做了(80−2y)个，
依题意得：3y+4(80−2y)=a，
又∵250
解得：10
∴y可以为11，12，13，
∴当y=11时，a=3×11+4×(80−2×11)=265；
当y=12时，a=3×12+4×(80−2×12)=260；
当y=13时，a=3×13+4×(80−2×13)=255．
答：当a=255时，可以制作11个横式无盖纸盒，58个竖式无盖纸盒；当a=260时，可以制作12个横式无盖纸盒，56个竖式无盖纸盒；当a=265时，可以制作13个横式无盖纸盒，54个竖式无盖纸盒．
【解析】(1)设制作x个竖式无盖纸盒，则制作(50−x)个横式无盖纸盒，根据制作两种纸盒使用的正方形纸板不超过80张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
(2)设横式无盖纸盒做了y个，则竖式无盖纸盒做了(80−2y)个，根据长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，即可用含y的代数式表示出a值，结合a的取值范围即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解题的关键．
23.【答案】解：(1)抽查的总人数：(8+16)÷12%=200(人)；
∴本次共抽查了200名学生；
(2)范围是115≤x<145的人数是：200−8−16−71−60−16=29(人)，
则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360°×29+16200=81°；
∴扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数为81°；
(3)优秀的比例是：60+29+16200×100%=52.5%，则估计全市5000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：5000×52.5%=2625(人)．
【解析】(1)根据前两组共占12%解答；
(2)求出跳绳次数范围在135≤x≤155的人数所占总人数的百分比，即可解答；
(3)用样本估计总体．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)解方程2x+3=0，
得：x=−32，
解方程3x−(x−1)=−1，
得：x=−1，
解不等式组5x−2<32x+4>1，
得：−32
(2)解方程3x+2k=5(k为整数)，
得：x=5−2k3，
解不等式组3(x+1)−2x>24(x−1)≥2(x−3)+5x，
得：−1
∴−1<5−2k3≤23，
解得32≤k<4，
∴整数k=2，3；
(3)解方程3−x=2x得：x=1，
解方程3x+5=x+9得：x=2，
解不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x得：3m−2≤x<2m+1，
∵方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，
∴12
(2)先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出解不等式组即可；
(3)先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解有缘方程的定义是解此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BAC=∠ABC=45°，
∴AC−CE=BC−CD，
即：AE=BD，
在△ABE和△BAD中，
AE=BD∠BAE=∠ABDAB=BA，
∴△ABE≌△BAD(SAS)，
∴AD=BE，
∵点F为BE中点，
∴BF=12BE，
∴BF=12AD；
(2)①解：AE=BD，AE⊥BD；
理由如下：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即：∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
又∵∠DGC=∠BGE，
∴∠EHD=∠DCE=90°，
即：AE⊥BD；
②证明：延长CF到N，使得FN=CF，连接BN、EN；
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∵BF=FE，CF=FN，
∴四边形BCEN是平行四边形，
∴BC=EN=AC，BC//EN，
∴∠NEC+∠BCE=180°，
∴∠NEC=∠ACD，
∵CD=CE，EN=AC，
∴△ACD≌△NEC(SAS)，
∴∠NCE=∠ADC，
∵CM⊥AD，
∴∠ADC+∠MCD=90°，
∴∠NCE+∠MCD=90°，
又∵∠DCE=90°，
∴∠NCE+∠MCD+∠DCE=180°，
即：F，C，M三点共线．
【解析】(1)由：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，可以得出AE=BD，然后证△ABE≌△BAD，得出AD=BE，即可得出结论；
(2)①证明△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质得出AE=BD，∠AEC=∠BDC，则可得出结论；
②延长CF到N，使得FN=CF，连接BN、EN，则四边形BCEN是平行四边形，只要证明△ACD≌△NEC，可得∠NCE=∠ADC，由∠NCE+∠MCD+∠DCE=180°，推出F，C，M三点共线．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练应用这些性质是解题的关键．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区延安中学七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数轴上表示不等式x≥−2的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 为了解决下列问题，收集数据方式合适的是( )
A. 采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间
B. 采用全面调查检查一批饮料的质量
C. 采用全面调查检查河水的污染情况
D. 采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件
3. 已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第一象限内，则点M的坐标为( )
A. (2,3) B. (−2,3) C. (−3,2) D. (3,2)
4. 在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EF B. AC=DF C. ∠A=∠D D. ∠C=∠F
5. 若m>n，则下列不等式中一定成立的是( )
A. m+3
6. 如图，在△ABC中，AB边上的高是( )
A. AG
B. CF
C. BE
D. BD
7. 已知x，y满足方程组x+m=4y−5=m，则无论m取何值，x，y恒有关系式是( )
A. x+y=1 B. x+y=−1 C. x+y=9 D. x−y=9
8. 古代《永乐大典》中有一道趣题：钱二十贯，买四百六十尺，绫每尺四十三文，罗每尺四十四文，问绫、罗几何？意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文，若设买了绫x尺，罗y尺，则用二元一次方程组表示题中的数量关系正确的是(说明：贯、文都是古代的一种货币单位，1贯=1000文)( )
A. x+y=46044x+43y=20 B. x+y=46044x+43y=20000
C. x+y=46043x+44y=20 D. x+y=46043x+44y=20000
9. 如图是P1，P2，…，P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份.连接P1，P2，⋯，P10得到正十边形，延长P10P9和P6P7，则夹角是( )
A. 54°
B. 60°
C. 72°
D. 90°
10. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D.∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离x(m)
1.2
1
4
8
10
2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生获得优秀的频率为______ ．
12. 若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 ．
13. 图形的密铺(或称图形的镶嵌)指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖.如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特⋅丢勒利用正五边形和对角相等的四边形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中四边形的最小内角为______ 度.
14. 若一个三角形任意两个角都不相等，且其中一个内角α是另一个内角β的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角α称为该三角形的“倍角”.如果一个“倍角三角形”为直角三角形，则“倍角”的度数是______．
15. 如果关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，那么关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2的解是______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0,3)，点B坐标(4,0)，AB=5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)解方程组：2x+3y=73x−6y=21；
(2)解不等式x+24+5x−38≥1，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题6.0分)
解不等式组4x−1>2(x−1)−13x−12≤2x+13，并求出它的整数解．
19. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC.若∠ABC=70°，∠DAC=50°.求：∠AEB的度数．
20. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离之和等于点N到x轴，y轴的距离之和，则称点M为点N的“等距点”.例如：点M(5,−1)为点N(3,3)的“等距点”．
在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)．
(1)若点Q为点A先向左移动6个单位长度，再向上移动2个单位长度得到的，则点Q的坐标为______ ，在所给的平面直角坐标系中画出△AOQ，并直接判断Q是否为A的“等距点”______ ；(填“是”或“不是”)
(2)在(1)的条件下，求直线AQ与y轴交点的坐标；
(3)点Q(x,y)为点A的“等距点”，若点Q在第二象限，请用x的代数式表示y．
21. (本小题10.0分)
求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′(∠C=∠C′=90°,AC=A′C′，在此图形上用尺规作出∠CAB和∠C′A′B′的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．
22. (本小题10.0分)
用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒.现有正方形纸板80张，长方形纸板a张，且250
(1)若要制作两种纸盒共50个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？
(2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个？
23. (本小题10.0分)
在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市九年级部分同学1分钟跳绳的次数x(单位：次)，将抽查结果进行统计，并绘制出两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共抽查了多少名学生？
(2)请补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数；
(3)若本次抽查中，跳绳次数在125次以上(含125次)为优秀，请你估计全市5000名九年级学生中有多少名学生的成绩为优秀．
24. (本小题12.0分)
如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”.如：方程x−1=0就是不等式组x+1>0x−2<0的“有缘方程”．
(1)试判断方程2x−3=0，②3x−(x−1)=−1是否是不等式组5x−2<32x+4>1的有缘方程，并说明理由；
(2)若关于x的方程3x+2k=5(k为整数)是不等式组3(x+1)−2x>24(x−1)≥2(x−3)+5x的一个有缘方程，求整数k的值；
(3)若方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围．
25. (本小题14.0分)
已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点F为BE中点．
(1)如图1，求证：BF=12AD；
(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE，BD，过C点作CM⊥AD于M点．
①探究AE和BD的关系，并说明理由；
②连接FC，求证：F，C，M三点共线．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】
解：∵不等式x≥−2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、B，
∵不等式x≥−2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除D．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：A、采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间，应采取全面调查的方式，才能全面，准确的收集数据，所以，收集数据的方式不合适，不符合题意；
B、采用全面调查检查一批饮料的质量，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意；
C、采用全面调查检查河水的污染情况，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意；
D、采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件，能够得到全面准确的信息，收集数据的方式合适，符合题意．
故选：D．
根据全面调查和抽样调查的特点逐项进行判断即可．
本题考查了全面调查和抽样调查的特点，一般来说，全面调查能够得到总体全面、准确的信息，但有时总体中个体的数目比较大，全面调查工作量大，有时受条件限制，或具有破坏性无法进行时，多采用抽样调查的方式，熟练掌握知识点是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M到x轴的距离为3，
∴纵坐标的长度为3，
∵到y轴的距离为2，
∴横坐标的长度为2，
∵点M在第一象限，
∴点M的坐标为(2,3)．
故选：A．
根据到坐标轴的距离判断出横坐标与纵坐标的长度，再根据第一象限的点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，难点在于到y轴的距离为横坐标的长度，到x轴的距离为纵坐标的长度，这是同学们容易混淆而导致出错的地方．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
A、根据SAS能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上判定定理判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵m>n，
∴m+3>n+3，故本选项不符合题意；
B.∵m>n，
∴−3m<−3n，故本选项符合题意；
C.∵m>n，
∴3m>3n，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，ma2=na2，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB边上的高是线段CF，
故选：B．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7.【答案】C
【解析】解：x+m=4①y−5=m②，
①+②得：x+y+m−5=4+m，
即x+y=9，
故选：C．
方程组中的两个方程相加得出x+y+m−5=4+m，整理后即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵共买了460尺绫和罗，
∴x+y=460；
∵绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文，买绫和罗共花了20000文(20贯)，
∴43x+44y=20000．
∴根据题意可列方程组x+y=46043x+44y=20000．
故选：D．
利用总价=单价×数量，结合用20贯钱买了460尺绫和罗，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接P6P10，设P10P9和P6P7的延长线交于点P
∵P1，P2，…，P10十个点将圆周分成十等份，
∴每一份弧所对的圆心角为：360÷10=36°，
∴每一份弧所对的圆周角为：36°÷2=18°，
∴∠1=∠2=18°×3=54°，
∴∠P=180°−∠1−∠2=72°．
故选：C．
首先连接P6P10，设P10P9和P6P7的延长线交于点P，然后根据等分圆周与圆内接正多边形的关系可得出每一份弧所对的圆周角为18°，据此可得出∠1=∠2=54°，然后依据三角形的内角和定理可求出∠P的度数．
此题主要圆内接正多边形，三角形的内角和定理，解答此题的关键是理解圆内接正n边形的中心角为α=360°n，每一份弧所对的圆周角为α2．
10.【答案】C
【解析】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，
设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，
由外角的性质得：
∠1=∠BAE+∠G=x+20，∠2=12∠ABD=12(2x+y)=x+12y，
∴x+20=x+12y，解得y=40°，
∴∠1=∠2=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
∴∠DFB=60°．
故选：C．
由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】0.48
【解析】解：该班女生获得优秀的频率为：10+21+4+8+10+2=0.48．
故答案为：0.48．
用该班女生获得优秀的频率除以总人数即可．
本题考查频数分布表，解答本题的关键是掌握“频率=频数÷总数”．
12.【答案】17
【解析】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6<7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】36
【解析】解：∵正五边形一个外角的度数为15×360°=72°，
∴正五边形一个内角的度数为180°−72°=108°，
∵图中菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，
∴360°−3×108°=36°，
∴菱形的最小内角为36°．
故答案为：36．
先求得正五边形一个外角的度数为72°，再由正五边形的内角与它相邻的外角互为补角求得正五边形一个内角的度数为108°，观察图形可知菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，即可求得菱形的最小内角为36°．
此题考查平面镶嵌、正多边形的外角与内角，求出正五边形一个内角的度数是解题的关键．
14.【答案】60°
【解析】解：设此三角形的两个锐角分别是α、β，且α>β，
①2α=90°，此时α=β=45°，不符合题意；
②2β=90°，此时α=β=45°，不符合题意；
③α=2β，此时α=60°，β=30°，符合题意；
∴“倍角”的度数是60°，
故答案为：60°．
两个锐角分别是α、β，且α>β，根据题意分3种情况讨论：2α=90°、2β=90°、α=2β．
本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解题关键．
15.【答案】x=2y=−1
【解析】解：令x−3=m，−2y=n则关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2可变为a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2，
∴m=−1n=2，
∴x−3=−1，−2y=2，
解得：x=2，y=−1，
∴关于x，y的方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2的解为x=2y=−1．
故答案为：x=2y=−1．
令x−3=m，−2y=n，将方程组a1(x−3)−2b1y=c1a2(x−3)−2b2y=c2变为a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−1y=2得出m=−1n=2，求出x、y的值，即可得出答案．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握方程解的概念，得出x−3=−1，−2y=2．
16.【答案】125
【解析】解：在AB上取一点G，使AG=AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO=∠BAC，AP=AP，
∴△APQ≌△APG(SAS)，
∴PQ=PG，
∴OP+PQ=OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC=12AB⋅OH=12AO⋅BO，
∴OH=AO⋅BOAB=3×45=125，
∴OP+PQ的最小值为125，
故答案为：125．
利用角平分线构造全等，将OP+PQ转化为OP+PG，则OP+PG最小值为OH的长度，利用等面积求出OH即可．
本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造△APQ≌△APG，将OP+PQ转化为OP+PG．
17.【答案】解：(1)2x+3y=7①3x−6y=21②，
①×2得：4x+6y=14③，
②+③得：7x=35，
解得：x=5，
把x=5代入①中得：10+3y=7，
解得：y=−1，
∴原方程组的解为：x=5y=−1；
(2)x+24+5x−38≥1，
2(x+2)+5x−3≥8，
2x+4+5x−3≥8，
2x+5x≥8−4+3，
7x≥7，
x≥1，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】(1)利用加减消元法，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：4x−1>2(x−1)−1①3x−12≤2x+13②，
由①得：x>−1，
由②得：x≤1，
∴不等式的解集为：−1
【解析】首先求出不等式组的解集，再找出其整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．
19.【答案】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠C=90°−∠DAC=90°−50°=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=12×70°=35°．
∴∠AEB=∠EBC+∠C=35°+40°=75°．
【解析】由三角形的高的定义可得∠ADC=90°，进而可得∠C=90°−∠DAC=40°，根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC=35°，最后根据三角形外角的性质可得∠AEB=∠EBC+∠C=75°．
本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20.【答案】(−2,5) 是
【解析】解：(1)∵点A的坐标为(4,3)，
∴点A先向左移动6个单位长度，再向上移动2个单位长度得到Q，点Q的坐标为(−2,5)，
如图所示△AOQ即为所求；
∵A到x轴，y轴的距离之和为7，点Q到x轴，y轴的距离之和为7，
∴Q是A的“等距点，
故答案为：(−2,5)，是；
(2)设直线AQ的解析式为y=kx+b，
把(4,3)和(−2,5)代入得3=4k+b5=−2k+b，
解得k=−13b=133，
∴直线AQ的解析式为y=−13x+133，
当x=0时，y=133，
∴直线AQ与y轴交点的坐标为(0,133)；
(3)∵点Q(x,y)为点A的“等距点”，点Q在第二象限，
∴|x|+y=7，
∴y=−x+7．
(1)根据“等距点”的定义即可得到结论；
(2)设直线AQ的解析式为y=kx+b，把(4,3)和(−2,5)代入得解方程组即可得到结论；
(3)根据“等距点”的定义即可得到结论．
本题考查了作图−平移变换，待定系数法求函数的解析式，正确地理解“等距点”是解题的关键．
21.【答案】解：已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，AD=A′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′；
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AC=A′C′AD=A′D′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，
∴∠CAB=2∠CAD，∠C′A′B′=2∠C′A′D′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
在△ABC与△A′B′C′中，
∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
【解析】根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠C′A′D′，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠C′A′D′，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确地图册图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设制作x个竖式无盖纸盒，则制作(50−x)个横式无盖纸盒，
依题意得：x+2(50−x)≤80，
解得：x≥20．
答：至少可以制作20个竖式无盖纸盒．
(2)设横式无盖纸盒做了y个，则竖式无盖纸盒做了(80−2y)个，
依题意得：3y+4(80−2y)=a，
又∵250
解得：10
∴y可以为11，12，13，
∴当y=11时，a=3×11+4×(80−2×11)=265；
当y=12时，a=3×12+4×(80−2×12)=260；
当y=13时，a=3×13+4×(80−2×13)=255．
答：当a=255时，可以制作11个横式无盖纸盒，58个竖式无盖纸盒；当a=260时，可以制作12个横式无盖纸盒，56个竖式无盖纸盒；当a=265时，可以制作13个横式无盖纸盒，54个竖式无盖纸盒．
【解析】(1)设制作x个竖式无盖纸盒，则制作(50−x)个横式无盖纸盒，根据制作两种纸盒使用的正方形纸板不超过80张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
(2)设横式无盖纸盒做了y个，则竖式无盖纸盒做了(80−2y)个，根据长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，即可用含y的代数式表示出a值，结合a的取值范围即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解题的关键．
23.【答案】解：(1)抽查的总人数：(8+16)÷12%=200(人)；
∴本次共抽查了200名学生；
(2)范围是115≤x<145的人数是：200−8−16−71−60−16=29(人)，
则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360°×29+16200=81°；
∴扇形统计图中跳绳次数为135≤x<155所在扇形的圆心角度数为81°；
(3)优秀的比例是：60+29+16200×100%=52.5%，则估计全市5000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：5000×52.5%=2625(人)．
【解析】(1)根据前两组共占12%解答；
(2)求出跳绳次数范围在135≤x≤155的人数所占总人数的百分比，即可解答；
(3)用样本估计总体．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)解方程2x+3=0，
得：x=−32，
解方程3x−(x−1)=−1，
得：x=−1，
解不等式组5x−2<32x+4>1，
得：−32
(2)解方程3x+2k=5(k为整数)，
得：x=5−2k3，
解不等式组3(x+1)−2x>24(x−1)≥2(x−3)+5x，
得：−1
∴−1<5−2k3≤23，
解得32≤k<4，
∴整数k=2，3；
(3)解方程3−x=2x得：x=1，
解方程3x+5=x+9得：x=2，
解不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x得：3m−2≤x<2m+1，
∵方程3−x=2x，3x+5=x+9都是关于x的不等式组3x+2≥2x+3m2x<3(2m+1)−x的有缘方程且不等式组的整数解有3个，
∴12
(2)先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出解不等式组即可；
(3)先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解有缘方程的定义是解此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BAC=∠ABC=45°，
∴AC−CE=BC−CD，
即：AE=BD，
在△ABE和△BAD中，
AE=BD∠BAE=∠ABDAB=BA，
∴△ABE≌△BAD(SAS)，
∴AD=BE，
∵点F为BE中点，
∴BF=12BE，
∴BF=12AD；
(2)①解：AE=BD，AE⊥BD；
理由如下：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即：∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
又∵∠DGC=∠BGE，
∴∠EHD=∠DCE=90°，
即：AE⊥BD；
②证明：延长CF到N，使得FN=CF，连接BN、EN；
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∵BF=FE，CF=FN，
∴四边形BCEN是平行四边形，
∴BC=EN=AC，BC//EN，
∴∠NEC+∠BCE=180°，
∴∠NEC=∠ACD，
∵CD=CE，EN=AC，
∴△ACD≌△NEC(SAS)，
∴∠NCE=∠ADC，
∵CM⊥AD，
∴∠ADC+∠MCD=90°，
∴∠NCE+∠MCD=90°，
又∵∠DCE=90°，
∴∠NCE+∠MCD+∠DCE=180°，
即：F，C，M三点共线．
【解析】(1)由：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，可以得出AE=BD，然后证△ABE≌△BAD，得出AD=BE，即可得出结论；
(2)①证明△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质得出AE=BD，∠AEC=∠BDC，则可得出结论；
②延长CF到N，使得FN=CF，连接BN、EN，则四边形BCEN是平行四边形，只要证明△ACD≌△NEC，可得∠NCE=∠ADC，由∠NCE+∠MCD+∠DCE=180°，推出F，C，M三点共线．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练应用这些性质是解题的关键．
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