2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(    )
A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是(    )
A. (x+4)2=−7 B. (x+4)2=−9 C. (x+4)2=7 D. (x+4)2=25
3. 在平面直角坐标系中，正比例函数y=−4x的图象经过(    )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
4. 某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程(    )
A. 800(1+2x)=1200 B. 800(1+x2)=1200
C. 800(1+x)2=1200 D. 800(1+x)=1200
5. 某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家.在整个过程中，小辉离家的距离s(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为m/min．(    )

A. 75，90 B. 80，90 C. 75，100 D. 80，100
6. 如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3,1)，(4,−2)，下列各地点中，离原点最近的是(    )

A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 在函数y=1x−1中，自变量x的取值范围是______．
8. 若x=2是一元二次方程x2+kx−2=0的一个根，则k= ______ ．
9. 如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(−4,0)，则不等式kx+b>0的解集为______ ．


10. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有______个队参加比赛．
11. 如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是______ ．


12. 如图，把菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC上的点E处，若∠BAE=40°，则∠EDC的大小为______．


13. 在△ABC中，∠C=45°,AB= 5，BC边上的高为2，则BC的长为______ ．
14. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD= ______ ．


15. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b−3.例如把(2,−5)放入其中，就会得到22+2×(−5)−3=−9.现将实数对(m,−3m)放入其中，得到实数−12，则m= ______ ．
16. 如图，点E是正方形ABCD外一点，连接BE，DE，且∠E=90°，过点C作CF⊥BE于点F，连接AF，若AB=2 13，DE=2，则AF的长为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程：x(2x−4)=5−8x．
18. (本小题6.0分)
如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2−1，c=m2+1，求证：a，b，c为勾股数．
19. (本小题6.0分)
直线y=x+2和直线y=−x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C.求△ABC的面积．
20. (本小题8.0分)
定义：在平面直角坐标系中，如果点P，Q为某个菱形相邻的两个顶点.且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，另外两个顶点中有一个点的纵坐标小于P，Q两点的纵坐标，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”.如图1所示，为点P，Q的“相关菱形”的示意图.已知点A的坐标为(1,4)，点B的坐标为(b,0)．

(1)如果b=3，在图2中画出点A，B的“相关菱形”，并求出该菱形的面积；
(2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，在图3中画出相应图形，请直接写出b的值．
21. (本小题8.0分)
已知：方程(m−2)x|m|−x+n=0是关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程无实数根，求n的取值范围．
22. (本小题8.0分)
已知：点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且AE=CF，连接BE，BF，DE，DF．

(1)如图1，求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)如图2，当EF=2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于▱ABCD面积的18．
23. (本小题10.0分)
已知：CD是Rt△ACB的斜边AB上的中线，点E在AD上，连接CE，且CE=CD．

(1)如图1，求证：3∠B−∠ACE=90°；
(2)如图2，当∠A=50°时，过点E作EF⊥AC于点F，若AB=4，求线段CF的长．
24. (本小题10.0分)
某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的进价相同，购进情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
(单位：千克)
乙种水果质量
(单位：千克)
总费用
(单位：元)
第一次
50
30
1200
第二次
30
50
1360
(1)求甲、乙两种水果每千克的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200千克，其中进价不变，且投入的资金不超过3360元.将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=x+4分别交x轴，y轴于点A，B．

(1)求∠ABO的度数；
(2)点C是线段AB上一点，连接OC，以OC为直角边作等腰直角△OCD，其中OC=OD，连接AD.设点C的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，连接BE，点F是BE的中点，连接CF并延长交x轴于点G，过点D作DH/​/CF交x轴于点H，若∠AEB−∠ADH=45°，CG=3DH，求点D的坐标．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，
故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．
故选：A．
由于矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的性质；矩形具有对角线相等这个性质，一般的平行四边形不具有，根据选项即可得到本题答案．
本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，侧重考查知识点的理解、应用能力．

2.【答案】C 
【解析】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=−9，
配方得：x2+8x+16=7，即(x+4)2=7，
故选：C．
方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：在正比例函数y=−4x中，
∵k=−40的解集是x>−4．
故答案为：x>−4．
不等式kx+b>0的解集为直线y=kx+b落在x轴上方的部分对应的x的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：x(x−1)=90，
整理得：x2−x−90=0，
解得：x=10或x=−9(舍去)．
故答案为10．  
11.【答案】5≤h≤6 
【解析】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=18−12=6(cm)．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时，AB= AC2+BC2= 122+52=13(cm)，
则h=18−13=5(cm)．
∴h的取值范围是5≤h≤6．
故答案为：5≤h≤6．
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．

12.【答案】15° 
【解析】解：∵菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC边上的点E处，
∴AB=AE，
∵∠BAE=40°，
∴∠B=∠AEB=12(180°−40°)=70°，
在菱形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠B=70°，
AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=70°，
∵AB=AE，AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠ADE=12(180°−∠DAE)=12(180°−70°)=55°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=70°−55°=15°．
故答案为：15°．
根据翻折变换的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°，根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，菱形的对角相等求出∠ADC，再求出∠DAE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE，然后根据∠EDC=∠ADC−∠ADE计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．

13.【答案】1或3 
【解析】解：分两种情况：
①如图1，当∠ABC是钝角时，

∵BC边上的高为2，即∠D=90°，
∴AD=2，
∵AB= 5，
∴BD= AB2−AD2= ( 5)2−22=1，
Rt△ACD中，∠C=45°，
∴AD=CD=2，
∴BC=1；
②如图2，当∠ABC是锐角时，

∵BC边上的高为2，即∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD=2，
∵AB= 5，
∴BD= AB2−AD2= ( 5)2−22=1，
Rt△ACD中，∠C=45°，
∴AD=CD=2，
∴BC=2+1=3，
综上，BC的长为1或3．
故答案为：1或3．
分两种情况：
①如图1，当∠ABC是钝角时，
②如图2，当∠ABC是锐角时，
先根据勾股定理计算BD的长，根据等腰直角三角形ADC可得CD的长，从而得BC的长．
本题考查了勾股定理，在解答此题时注意要分类讨论，不要漏解．

14.【答案】10 
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO= 32+42=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．

15.【答案】3 
【解析】解：由题意可得：
m2+2×(−3m)−3=m2−6m−3=−12，
则(m−3)2=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
直接利用新定义代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确正确运用新定义是解题关键．

16.【答案】2 5 
【解析】解：过点D作DG⊥CF于G，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥AB于N，

∵∠E=90°，CF⊥BE，DG⊥CF，
∴四边形DEFG为矩形，
∴FG=DE=2，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2 13，
∴CB=DC=AB=2 13，∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠FBC+∠FCD=90°，
又∵DG⊥Cf，
∴∠FCD+∠CDG=90°，
∴∠FBC=∠CDG，
在△BFC和△CDG中，
∠FBC=∠CDG∠CFB=∠DGC=90°CB=DC，
∴△BFC≌△CDG(AAS)，
∴BF=CG，
设BF=x，则CG=x，CF=CG+FD=x+2，
在Rt△BCF中，CF=x+2，BF=x，CB=2 13，
由勾股定理得：BF2+CF2=BC2，
即：x2+(x+2)2=(2 13)2，
解得：x=4或x=−6(不合题意，舍去)，
∴BF=x=4，FC=x+2=6，
∵FM⊥BC，FN⊥AB，∠ABC=90°，
∴四边形BMFN为矩形，
∴FN=BM，BN=FM，
由三角形的面积公式得：S△BCF=12CB⋅FM=12BF⋅CF，
∴FM=BF⋅CFCB=4×62 13=12 1313，
∴BN=FM=12 1313，
在Rt△BMF中，BF=4，FM=12 1313，
由勾股定理得：BM= BF2−FM2=8 1313，
在Rt△ANF中，AN=AB−BN=14 1313，FN=BM=8 1313，
由勾股定理得：AF= FN2+AN2=2 5．
故答案为：2 5．
过点D作DG⊥CF于G，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥AB于N，先证四边形EFGD是矩形，再证△DGC和CFB全等得BF=GC，进而由勾股定理求得BF，FC，然后证四边形BMFN是矩形，根据三角形的面积和勾股定理求得BM，FM，最后在Rt△ANF中利用勾股定理即可求得AF．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造矩形和全等三角形是解答此题的关键．

17.【答案】解：方程化为2x2+4x−5=0，
a=2，b=4，c=−5，
Δ=b2−4ac=42−4×2×(−5)=56>0，
方程有两个不等的实数根，
∴x=−b± b2−4ac2a=−4± 562×2=−4±2 144=−2± 142，
即x1=−2+ 142，x2=−2− 142． 
【解析】将一元二次方程整理成一般形式，然后利用公式法解方程．
本题考查公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．

18.【答案】证明：a，b，c为勾股数，理由如下：
∵a2+b2
=(2m)2+(m2−1)2
=m4+2m2+1．
又c2=(m2+1)2=m4+2m2+1，
∴a2+b2=c2．
即：a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
∴a，b，c为勾股数． 
【解析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

19.【答案】解：如图所示：

联立y=x+2y=−x+4，
解得x=1y=3，
∴点A坐标为(1,3)，
当y=x+2=0时，x=−2，
∴点B坐标为(−2,0)，
当y=−x+4=0时，x=4，
∴点C坐标为(4,0)，
∴BC=4+2=6，
∴△ABC的面积为12×6×3=9． 
【解析】在平面直角坐标系作出直线a和b，再求出点A、B和C的坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了一次函数的交点问题，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

20.【答案】解：(1)∵b=3
∴点B的坐标为(3,0)，
根据“相关菱形”的定义得：线段AB只能是点A，B“相关菱形”的一边，x轴为对角线，
过点A作AM⊥x轴于点M，在AM的延长线上截取AM=ME，
则点E为点A，B“相关菱形”的一个顶点，
在BM的延长线上截取MF=BM，
则点F为点A，B的“相关菱形”的另一个顶点，
过点A，B，E，F作四边形为所求，

则四边形ABEF为点A，B的“相关菱形”．
理由如下：
∵AN=NP，BN=NF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
又∵AE⊥BF，
∴四边形ABEF为菱形．
∵点A(1,4)，点B(3,0)，
∴AM=4，OM=1，OB=3
∴点M的坐标为(1,0)，BM=MF=OB−OM=2，
∴AM=ME=4，BM=MF=2，
∴AE=8，BF=4，
∴S菱形ABEF=12AE⋅BF=12×8×4=16．
(2)∵点B(b,0)在x轴上，点A(1,4)，
根据“相关菱形”的定义得：线段AB只能是点A，B“相关菱形”的一边，x轴为对角线，过点A作AN⊥x轴于点N，在AN的延长线上截取AN=NP，
则点P为点A，B的“相关菱形”的一个顶点，另两个顶点分别在x轴上，
∵点A(1,4)，
∴AN=PN=4，ON=1，
∴点P的坐标为(1,−4)，
分两种情况进行讨论：
①当点B在x轴的正半轴上时，

又∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴AN=BN=4，
∴OB=ON+BN=5，
在BN的延长线上截取BN=NQ=4，
∴OQ=NQ−ON=3，
∴点B的坐标为(5,0)，点Q的为坐标为(−3,0)，
过点A，B，P，Q作四边形为所求，此时b=5．
②当点B在x轴的负半轴上时，

同理可得：点Q(5,0)，点B(−3,0)，此时b=−3，
综上所述：点A，B的“相关菱形”为正方形，b的值为5或−3． 
【解析】(1)首先确定AB为菱形的一边，x轴为对角线，过点A作AM⊥x轴于点M，在AM的延长线上截取AM=ME，得到菱形的一个顶点E，在BM的延长线上截取MF=BM，得到菱形的另一个顶点F，据此可作出菱形；然后根据AE=8，BF=4，由菱形的面积公式可求出菱形的面积；
(2)首先确定AB为正方形的一边，x轴为对角线，过点A作AN⊥x轴于点N，在AN的延长线上截取AN=NE，得到正方形的一个顶点E，然后分两种情况进行讨论：①当点B在x轴的正半轴上时，根据正方形的性质可得到菱形的另两个顶点B，Q，由点B，Q的坐标可得b的值；②当点B在x轴的负半轴上时，①的点Q即为点B，点B即为点Q，由此可得b的值．
此题主要考查了点的坐标，菱形和正方形的判定和性质，解答此题的关键是理解题目中“相关菱形”的定义，熟练掌握菱形及正方形的性质．

21.【答案】解：(1)∵方程(m−2)x|m|−x+n=0是关于x的一元二次方程，
∴m−2≠0，|m|=2，
解得：m≠2，m=±2，
∴m=−2；
(2)由(1)可得方程：−4x2−x+n=0，
∵方程无实数根，
∴Δ=(−1)2−4×(−4)n