2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知(1+i)z=2i，则复数z=(    )
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2. △ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为(    )
A. 34 B. 38 C. 68 D. 616
3. 如图，在平行四边形ABCD中，12BD−AD=(    )


A. CA B. AC C. 12AC D. 12CA
4. 在△ABC中，已知A=π3，b=1，△ABC的外接圆半径为1，则s△ABC=(    )
A. 33 B. 34 C. 32 D. 6
5. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是(    )
A. A与B+C是互斥事件，也是对立事件
B. B+C与D是互斥事件，也是对立事件
C. A+B与C+D是互斥事件，但不是对立事件
D. A+C与B+D是互斥事件，也是对立事件
6. 已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是(    )


A. 150，15 B. 150，20 C. 200，15 D. 200，20
7. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3 5cm，则这个正四棱柱的表面积为(    )
A. 90cm2 B. 36 5cm2 C. 72cm2 D. 54cm2
8. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S= p(p−a)(p−b)(p−c)，p=a+b+c2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦−秦九韶公式．现在有周长为10+2 7的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3： 7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(    )
A. 8 7 B. 4 7 C. 6 3 D. 12
9. 张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(    )
A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C. 从一副不舍大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D. 张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
10. 下列关于复数的说法，其中正确的是(    )
A. 复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0
B. 复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0
C. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数
D. 若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称
11. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosBcosC=b2a−c，S△ABC=3 34，且b= 3，则(    )
A. cosB=12 B. cosB= 32 C. a+c= 3 D. a+c=3 2
12. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是(    )
A. AC⊥B1E B. B1C/​/平面A1BD
C. 三棱锥C1−B1CE的体积为13 D. 异面直线B1C与BD所成的角为45°
13. 一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的方差是______ ．
14. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°方向航行，B船沿正北方向航行，若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°处，则此时A，B两船相距______nmile．
15. 在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若AP⋅AC=6，则AP= ______ ．
16. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4 3，则这个圆锥的体积为______．


17. 设实部为正数的复数z，满足|z|=2 5，且复数(1+2i)z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，求实数m和n的值．
18. 已知向量OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)．
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
19. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？

20. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
(Ⅰ)两人都投中；
(Ⅱ)恰好有一人投中；
(Ⅲ)至少有有一人投中．
21. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．
(1)若PF=FC，求证：PA//平面BDF；
(2)若BF⊥PC，PC⊂平面PBC，求证：平面BDF⊥平面PBC．


22. 在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：sinAcosAtanA=34，条件②： 3sinA−cosA 3sinA+cosA=12，条件③：2acosA−bcosC=ccosB这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求△ABC周长的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本运算，基本知识的考查，是基础题．
直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．
【解答】
解：(1+i)z=2i，
可得z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．
故选：A．
  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
由原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图= 24，求出原三角形的面积，再求直观图△A′B′C′的面积即可．
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查．
【解答】
解：正三角形ABC的边长为1，故面积为 34，而原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图= 24，
故直观图△A′B′C′的面积为 34× 24= 616
故选D．  
3.【答案】D 
【解析】解：12BD−AD=12BA+12AD−AD=12(BA−AD)=−12(AB+AD)=12CA．
故选：D．
根据平面向量的线性运算法则计算出结果．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：由正弦定理可得：a=2RsinA=2×1×sinπ3= 3，sinB=b2R=22×1=12，
由a= 3>1=b，可得B为锐角，从而解得：B=π6．
故解得：C=π−A−B=π−π3−π6=π2．
则S△ABC=12absinC=12× 3×1×sinπ2= 32．
故选：C．
由正弦定理可求a=2RsinA= 3，sinB=b2R=12，由大边对大角a= 3>1=b，可得B为锐角，从而解得B，C，利用三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查．

5.【答案】D 
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A，B，C，D彼此互斥，则A与B+C是互斥事件，但P(A)+P(B+C)≠1，则A与B+C不是对立事件，A错误；
对于B，事件A，B，C，D彼此互斥，则B+C与D是互斥事件，但P(B+C)+P(D)≠1，则A与B+C不是对立事件，A错误；
对于C，事件A，B，C，D彼此互斥，则A+B与C+D是互斥事件，但P(A+B)+P(C+D)=1，则A与B+C是对立事件，C错误；
对于D，事件A，B，C，D彼此互斥，则A+C与B+D是互斥事件，但P(A+C)+P(B+D)=1，则A+C与B+D是对立事件，D正确；
故选：D．
根据题意，结合互斥、对立事件的定义分析选项，可得ABC错误，D正确，即可得答案．
本题考查互斥事件与对立事件，注意对立事件、互斥事件的定义、性质，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：由图1得样本容量为(350+200+450)×15%=1000×15%=150，
抽取贫困户的户数为200×15%=30户，则抽取C村贫困户的户数为30×0.5=15户．
故选：A．
将饼图中的A、B、C三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C村人口户数乘以15%，再乘以50%可得出C村贫困户的抽取的户数．
本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．

7.【答案】A 
【解析】解：设正四棱柱的高为xcm，则x2+32=(3 5)2，解得x=6．
∴这个正四棱柱的表面积=4×(6×3)+32×2=90cm2．
故选：A．
设正四棱柱的高为xcm，则x2+32=(3 5)2，解得x.即可得出这个正四棱柱的表面积．
本题考查了正四棱柱的表面积、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3： 7，∴a：b：c=2：3： 7，
∵△ABC周长为10+2 7，即a+b+c=10+2 7，
∴a=4，b=6，c=2 7，∴p=4+6+2 72=5+ 7，
∴△ABC的面积S= (5+ 7)(1+ 7)( 7−1)(5− 7)=6 3．
故选：C．
由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

9.【答案】ACD 
【解析】解：选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；
选项C中，扑克牌是红色的与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；
选项B中，张明获胜的概率是12，而李华获胜的概率是14，故游戏规则不公平，B不符合题意；
选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．
故选：ACD．
利用古典概型的概率公式，分别求出四个选项中张明获胜与李华获胜的概率，由此分析判断即可．
本题考查了概率问题的理解与应用，古典概型的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：对于选项A：复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0，所以选项A正确；
对于选项B：复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，所以选项B错误；
对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1=a+bi(a∈R,b∈R)，则z2=a−bi，所以z1z2=(a+bi)(a−bi)=a2+b2∈R，所以选项C正确；
对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1=a+bi(a∈R,b∈R)，则z2=a−bi，则它们在复平面内所对应的点分别为(a,b)和(a,−b)，关于x轴对称，所以选项D错误，
故选：AC．
利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项B错误，再利用共轭复数的定义即可判定选项C正确，选项D错误．
本题主要考查了复数的概念以及共轭复数的定义，是基础题．

11.【答案】A 
【解析】解：∵cosBcosC=b2a−c=sinB2sinA−sinC，
∴整理可得：sinBcosC=2sinAcosB−sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinAcosB，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴可得cosB=12，故A正确，B错误，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3，
∵S△ABC=3 34，且b= 3，
∴3 34=12acsinB=12×a×c× 32= 34ac，可得ac=3，
∴由余弦定理可得3=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(a+c)2−9，可得a+c=2 3，故C错误，D错误．
故选：A．
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sinA≠0，可求cosB=12，结合范围B∈(0,π)，可求B=π3，进而根据三角形的面积公式，余弦定理可求a+c，即可得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

12.【答案】AB 
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
由题意画出图形，利用线面垂直的判定和性质判断A；证明线面平行判定B；利用等积法求出体积判定C；求出两异面直线所成角判断D．
【解答】
解：如图，

∵正方体ABCD−A1B1C1D1，
∴AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，BB1、BD⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，
又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；
在正方体ABCD−A1B1C1D1，易得B1C/​/A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
∴B1C/​/平面A1BD，故B正确；
三棱锥C1−B1CE的体积为VC1−B1CE=VB1−C1CE=13×12×1×1=16，故C错误；
在正方体ABCD−A1B1C1D1，易得B1C/​/A1D，△A1DB是等边三角形，
∴∠A1DB是异面直线B1C与BD所成的角，又△A1DB是等边三角形，
∴∠A1DB=60°，
∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．
故选：AB．
  
13.【答案】8 
【解析】解：∵数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴15(2+x+4+6+10)=5，
解得x=3，
∴此组数据的方差：
S2=15[(2−5)2+(3−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(10−5)2]=8．
故答案为：8．
由数据2，x，4，6，10的平均值是5，求出x=3，由此能求出此组数据的方差．
本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．

14.【答案】20 2 
【解析】解：由题意，△ABC中，AC=40nmile，∠C=30°，∠B=135°，
由正弦定理可得ABsin30∘=ACsin135∘，∴AB=40 22×12=20 2nmile．
故答案为：20 2．
由题意，△ABC中，AC=40nmile，∠C=30°，∠B=135°，由正弦定理可得AB．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，比较基础．

15.【答案】 3 
【解析】解：设AC与BD交于点O，
∵AP⋅AC=2AP⋅AO=6，
∴AP⋅AO=3，
∵AP⊥BD，垂足为P，
∴AO在AP上的投影向量为AP，
∴AP⋅AO=|AP|2=3，
∴|AP|= 3．
故答案为： 3．
由条件作出图形并得到AP⋅AO=3，再由平面向量的投影的概念即可求得．
本题考查平面向量的数量积与投影向量，属于基础题．

16.【答案】128 2π81 
【解析】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP⋅OP′=−12，∴∠P′OP=2π3．
设底面圆的半径为r，则有2πr=2π3，解得r=43．
∴这个圆锥的高为h= 16−169=8 23，
这个圆锥的体积为V=13S h=13πr2h=13π×169×8 23=128 2π81．
故答案为：128 2π81．
作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出∠P′OP=2π3.求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．
本题考查空间几何体的表面展开图的应用，最小值的求法，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

17.【答案】解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
则a2+b2=20，
因为(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=a−2b+(2a+b)i为纯虚数，
所以a−2b=0且2a+b≠0，a>0，
解得a=4，b=2，
所以z=4+2i；
(2)由复数性质可知，z=4+2i，z−=4−2i为方程的根，
所以−m=4+2i+4−2i=8，
即m=−8，
n=(4+2i)(4−2i)=20． 
【解析】(1)由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式可求；
(2)结合复数的性质及复数的四则运算即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的性质，属于基础题．

18.【答案】解：(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与BC不共线，
由AB=(3,1)，AC=(2−m,1−m)，
知3(1−m)−(2−m)≠0，
解得m≠12，满足条件；
(若根据点A、B、C能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，
即由|AB|+|BC|>|CA|去解答，相应给分)
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，
∴AB⋅AC=0，
即3(2−m)+(1−m)=0，
解得m=74． 
【解析】(1)根据点A，B，C能构成三角形知这三点不共线，
即AB与BC不共线，由此求出m满足的条件；
(2)根据△ABC为直角三角形得出AB⊥AC，
列方程求出m的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．

19.【答案】解：(1)由(0.005+0.010+0.015×2+a+0.030)×10=1，解得a=0.025；
(2)45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71，故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；
(3)设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为[80,90)，[90,100]对应的频率分别为0.15，0.1，
所以(90−x)×0.015+0.1=0.13，解得x=88，
故受嘉奖的学生分数不低于88． 
【解析】(1)由直方图区间频率和为1求a即可；(2)根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
(3)根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．

20.【答案】解：设A表示甲命中，B表示乙命中，
则P(A)=0.8，P(B)=0.9，
(Ⅰ)则甲、乙两人各投篮一次都命中的概率为：
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72．
(Ⅱ)恰好有一人投中的概率为：
P(A−B+B−A)=P(A−B)+P(B−A)=0.2×0.9+0.8×0.1=0.26．
(Ⅲ)至少有有一人投中的概率为：P=0.72+0.26=0.98． 
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式求解即可．
本题考查概率的求法，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，属于基础题．

21.【答案】证明：(1)设AC，BD的交点为O，连接OF，
∵底面ABCD为菱形，
∴O为AC中点，
又PF=FC，
∴PA//OF，
且PA⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，
∴PA/​/平面BDF．
(2)∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴BD⊥PA，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC，
∵BF⊥PC，BD∩BF=B，BD，BF⊂平面BDF，
∴PC⊥平面BDF，
又PC⊂平面PBC，
∴平面BDF⊥平面PBC． 
【解析】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基础题．
(1)连接AC，BD与AC交于点O，连接OF，由三角形中位线定理可得OF//PA，再由线面平行的判定定理，即可得到PA//平面BDF；
(2)由已知中PA⊥平面ABCD，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，可证得BD⊥PA，AC⊥BD.由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC.再由面面垂直的判定定理得到平面BDF⊥平面PBC．

22.【答案】解：(1)选条件①：因为sinAcosAtanA=34，所以sinAcosAsinAcosA=34，即sin2A=34，
又因为△ABC为锐角三角形，所以sinA= 32，
∵A∈(0,π2)，所以A=π3；
选条件②：因为 3sinA−cosA 3sinA+cosA=12，所以2( 3sinA−cosA)= 3sinA+cosA，所以 3sinA=3cosA，
又因为A∈(0,π2)，所以A=π3；
选条件③：由正弦定理可得2sinAcosA−sinBcosC=sinCcosB，
即2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，
又因为sinA≠0，所以cosA=12，
∵A∈(0,π2)，所以A=π3；
(2)b+c=asinA(sinB+sinC)=2 32(sinB+sin(2π3−B))
=4 33(sinB+ 32cosB+12sinB)=4 33(32sinB+ 32cosB)=4sin(B+π6)，
∵C=2π3−B∈(0,π2),B∈(0,π2)，∴B∈(π6,π2),B+π6∈(π3,2π3)，
所以sin(B+π6)∈( 32,1]，即b+c∈(2 3,4],
又a=2，
∴△ABC周长的取值范围为(2+2 3,6]． 
【解析】(1)选条件①切化弦，得解；选条件②等价转换得解；选条件③由正弦定理，边化角得2sinAcosA−sinBcosC=sinCcosB，再根据诱导公式等价转化得解；
(2)由正弦定理，边化角得b+c=4sin(B+π6)，结合B的范围求解．
本题考查了诱导公式和正弦定理的应用，属于中档题．