贵州省六盘水市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

这是一份贵州省六盘水市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

贵州省六盘水市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知向量，且，则（    ）
A．-2 B． C． D．2
5．已知，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
6．乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十二生肖书法雕塑铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个文字集中概述凉都的变迁，被誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与B，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ）米.
  
A． B． C． D．
7．设，，，则，，的大小关系（    ）
A． B．
C． D．
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据：，，）
A．3 B．4 C．5 D．6

二、多选题
9．下列命题为真命题的是（    ）
A．，
B．，
C．若函数为奇函数，则
D．若，则
10．某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
学校
人数
平均运动时间
方差
甲校
2000
10
3
乙校
3000
8
2
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（    ）
A． B．
C． D．
11．把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．最小正周期为
B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为
D．图像的一条对称轴为直线
12．如图，在正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ）
  
A．，，，四点共面
B．
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．直线与直线所成角正切值的最大值为

三、填空题
13． .
14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有 人.
15．已知，，则在方向上的投影向量坐标为 .

四、双空题
16．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则 ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为 .
  

五、解答题
17．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
18．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准，月均用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：），并绘制如图所示的频率分布直方图.
  
(1)求的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；
(2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定的值（小数点后保留一位有效数字）.
19．在中，角所对的边分别为，且面积为，若.
(1)求；
(2)若，，且，求.
20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，在三棱锥中，为直角，底面.
  
(1)求证：三棱锥为“鳖臑”；
(2)若，是的中点，求与平面所成角的正弦值.
21．已知函数.
  
(1)当时，在平面直角坐标系中画出函数的图象，并求出函数在上的值域；
(2)讨论函数的定义域、奇偶性、单调性.（单调性只写结论，无需说明理由）
22．在正方体中，为上的一个动点，如图所示：
  
(1)求证：平面；
(2)若为正方体表面上一动点，且，若，求点运动轨迹的长度.

参考答案：
1．D
【分析】由集合的补集和交集的运算法则求解.
【详解】集合，，，
则，得.
故选：D
2．A
【分析】由复数的乘法化简，再由复数的几何意义求对应的点所在象限。
【详解】，则复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.
故选：A
3．B
【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的性质求解.
【详解】时，解得，不能得到；
时，则有.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．B
【分析】由向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得；
故选：B.
5．A
【分析】由同角三角函数的关系和诱导公式求值.
【详解】由，，则有，
所以.
故选：A
6．C
【分析】中，由正弦定理求出，中，由求出结果.
【详解】中，，，则，
由正弦定理，，则米，
中，米.
故选：C
7．D
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到，由对数函数的性质得到，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得，
又由指数函数的性质，可得，
由幂函数在为单调递增函数，可得，所以，
所以，即.
故选：D.
8．C
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
∴，
∴他至少经过小时才能驾驶.
故选：C.
9．AB
【分析】根据正弦函数的性质，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判定B正确；根据奇函数和，可得，可判定C、D错误.
【详解】对于A中，由正弦函数的性质，可得，，所以为真命题；
对于B中，当时，可得，所以命题，为真命题；
对于C中，函数为定义域上的奇函数，但无意义，所以C为假命题；
对于D中，当，可得，所以，则是假命题.
故选：AB.
10．BC
【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.
【详解】依题意，总平均时间为，
方差为.
故选：BC
11．ACD
【分析】先根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质逐一分析判断即可．
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，
则函数的最小正周期，故A选项正确；
区间时， ，所以，故B选项错误；
由，解得，则函数图像的对称中心为，
当时，是函数图像的一个对称中心，故C选项正确；
由，解得，所以函数图像的对称轴为直线，
当时， 函数图像的一条对称轴为直线，故D选项正确．
故选：ACD．
12．ABD
【分析】利用平行线确定唯一平面验证A选项；通过三垂线定理验证选项B；对通过转化锥体顶点来证明锥体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项．
【详解】对于A，过N作于E点，连接，如图所示，
  
则，又，四边形为平行四边形，∴，
又，且，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，则有，，，四点共面，A选项正确；
对于B，连接，正方体中，平面，平面，则，
正方形中，，
平面，，则有平面，
平面，所以，B选项正确；
对于C，连接，连接与相交于点，则为和的中点，
连接，如图所示，
  
，所以有，
由，平面，所以平面，
设四边形的面积为，则，
由，则梯形的面积为，
，
则，为定值，C选项正确；
对于D，过点N作交于点H，连接，如图所示，
  
则为直线与直线所成的角，有，其中为定值，若直线与直线所成角的正切值最大，只需最大，
设正方体边长为，则，
显然当与点重合，与点重合，与点重合，最大，最大值为，此时 ，即直线与直线所成角正切值的最大值为，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，关键是能够对给出的空间图形进行恰当的分析，从图形中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，如有正方体等特殊图形，更要充分利用好图形的结构特征．
13．
【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得.
【详解】.
故答案为：
14．100
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．
【详解】设北面共有x人，则由题意可得，解得，
所以北面共有100人.
故答案为：100．
15．
【分析】首先求出的坐标，再根据在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
16．
【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积.
【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：
  
其中，，，，
过作交于，则为的中点，
在中，，，
所以；
将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，
其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，
故此圆台体积为.
故答案为：；
17．(1)
(2)

【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题可知，，又，所以，
所以，
所以.
（2）令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
18．(1)，众数为7.5
(2)

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1求的值，利用频率分布直方图中的最高矩形求众数；
（2）分别求出前2组，前3组的频率和，估计出x的范围，再根据分位数建立方程求解．
【详解】（1）由图可知：
解得：
又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5.
（2）由图可知：居民用户月均用水量在区间的频率分别为：0.2，0.3，0.26，
又，，所以，
由，解得.
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，得到，即可求解；
（2）由，得到，进而得到，结合题意，利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）在中，因为，可得，
两边同除得，所以，即，
又因为，所以.
（2）因为，所以
又因为
则
又由，，，
所以，，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面垂直得到，，，再由，即可得到平面，从而得证；
（2）过点作的垂线，交于点，连接，即可证明平面，则为直线与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）由平面，平面，
所以，
即、为直角三角形，
又为直角三角形，则，即为直角三角形，
又，平面，则平面，
平面，所以，所以为直角三角形，
所以三棱锥为“鳖臑”.
（2）设，则，
，，
过点作的垂线，交于点，连接，
由（1）知平面，平面，则，
又在等腰三角形中，，，平面，
所以平面，即为直线与平面所成角，
又，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
  
21．(1)作图见解析，
(2)答案见解析

【分析】（1）当时，得到，作出函数的图象，结合图象求得函数的最值，即可求得函数的值域；
（2）根据函数的解析式，得到函数的定义域，再由奇偶性的判定方法，得到函数为奇函数，结合函数的性质，得出函数的单调性区间.
【详解】（1）解：当时，函数，函数的图象，如图所示，
由图象可知：当时，取最小值为
当时，取最大值为
所以函数在区间上的值域为.
  
（2）解：由，可得，所以函数的定义域，
又由，所以为奇函数，
当时，在和上为单调递增函数
在和上为单调递减函数
当时，在和上为单调递增函数
22．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由题意可证平面，平面，所以平面平面，从而可得结论；
（2）由题可知，点只能在正方形，，面上运动，若点在正方形面上，点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧，同理可得圆弧，圆弧，可得点的轨迹长度.
【详解】（1）在正方体中，连接，
又，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，
又平面，，
所以平面平面，
又平面，所以∥平面，
（2）由题可知，，点只能在正方形，，面上运动，
若点在正方形面上，
∵面，面，∴,
又，，∴,
所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧，
  
同理可得圆弧，圆弧，
所以点的轨迹长度为.