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    2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级(下)期末数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级(下)期末数学试卷
    一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样,很多大学的校徽设计也会融入数学元素,下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(    )
    A. B.
    C. D.
    2. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题,他做对的题目是(    )
    A. 3a+2a2=5a3 B. (b−a)2=b2−a2
    C. 2a3⋅3a2=6a6 D. −6a2÷3a=−2a
    3. 下列各多项式中,能因式分解的是(    )
    A. a2−4a+4 B. a2−ab+b2 C. −a2−4 D. a2+4b2
    4. 为了解初一年级700名学生的视力情况,从中抽测了50名学生的视力情况,下面的说法中正确的(    )
    A. 700名学生是总体 B. 样本容量是50
    C. 50名学生是所抽取的一个样本 D. 每个学生是个体
    5. 已知a=(−2023)0,b=(12)−1,c=π2,则这三个数按从小到大的顺序排列为(    )
    A. a 6. 如图所示,在3×3方格中做填字游戏,要求每行,每列及对角线上三个方格中的数字和都相等,则表格中x,y的值是(    )
    4x
    −1
    0

    −y
    5


    2y

    A. x=1y=−1 B. x=−1y=1 C. x=2y=−1 D. x=−2y=1
    7. 某班学生去距学校7km的地方春游,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的5倍,设骑车学生的速度为x km/h,下列方程正确的是(    )
    A. 7x−75x=20 B. 75x−7x=20 C. 75x−7x=13 D. 7x−75x=13
    8. 如图,已知△OAB≌△OA1B1,AB与A1O交于点C,AB与A1B1交于点D,则下列说法中错误的是(    )
    A. ∠A=∠A1
    B. AC=CO
    C. OB=OB1
    D. ∠A1DC=∠AOC
    9. 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E,AC的垂直平分线FG分别与AC、BC交于点F、G,EG=12BE=23CG,若△CGF的面积为3,则△ABC的面积是(    )


    A. 9 B. 10 C. 13 D. 18
    10. 蛟蛟和川川一起玩拼图游戏,蛟蛟将六块拼图拼成如图所示的矩形ABCD,其中①②③④为正方形,川川发现如果知道⑤⑥两块拼图的周长差,就可以知道其中一块正方形的边长了,那么这个正方形为(    )
    A. ①
    B. ②
    C. ③
    D. ④
    二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)
    11. 若ab=23,则分式3a+2bb= ______ .
    12. 分解因式:3x2−12=          .
    13. 在△ABC中,如果∠B=52°,∠C=68°,那么∠A的外角等于______ 度.
    14. “鹅要过河,河要渡鹅.不知是鹅渡河,还是河渡鹅”,在这句含有19个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______ .
    15. 已知关于x的分式方程3a+x2x+3=1有增根,则a的值为______ .
    16. 已知3x=4,9y=8,则33x+2y的值为______ .
    17. 如图,在△ABC中,BD为AC边上的中线,F为AB上一点,连接CF,交BD于点E,若AB=CE=4,5AF=4AB,则EF= ______ .


    18. 如图,在△ABC中,AB=BC,分别延长CA,CB至点D,E.连接DE,DB,在AC取点F,使得EF=BD,∠DBA=∠FEC,过点F作FG⊥CE,垂足为点G.若CG=23,则BE= ______ .


    三、解答题(本大题共6小题,共46.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    19. (本小题6.0分)
    计算或化简:
    (1)|2−6|+(2023−π)0−27×3−3;
    (2)(x+5)2+(2+x)(2−x).
    20. (本小题6.0分)
    已知x2+4x+1=0,求下列代数式(x−3−7x+3)÷x−4x2+3x的值.
    21. (本小题8.0分)
    学校对七年级全体学生进行了一次体育达标测试,成绩评定分为A,B,C,D四个等级(A,B,C,D分别代表优秀、良好、合格、不合格),现从七年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩,绘制成了不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息解答下列问题;
    (1)本次调查中,一共抽取了______ 名学生的成绩;
    (2)将上面的条形统计图补充完整,求扇形统计图中等级C的圆心角度数;
    (3)如果该校七年级共有700名学生,估计在这次测试中成绩达到优秀的人数.


    22. (本小题6.0分)
    临近期末,班级想给优秀的学生准备奖品,奖品分为甲套餐与乙套餐,已知购买1个甲套餐比购买1个乙套装少用40元,用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同.
    (1)求这两种套餐的单价分别为多少元;
    (2)班级计划用1800元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品,要求每种套餐至少购进1种且刚好用完经费,请你设计进货方案.
    23. (本小题10.0分)
    定义:任意两个数a,b,按规则c=(a+1)(b+1)运算得到一个新数c,称所得的新数c为a,b的“和积数”.
    (1)若a=4,b=−2,求a,b的“和积数”c;
    (2)若ab=12,a2+b2=8,求a,b的“和积数”c;
    (3)已知a=x+1,且a,b的“和积数”c=x3+4x2+5x+2,求b(用含x的式子表示)并计算a+b的最小值.
    24. (本小题10.0分)
    【基础巩固】(1)图1,三角形△ABC中∠ABC的角BD∠ACB的外角平CD交点D,证明:∠D=12∠A;
    【尝试应用】(2)如图2,在等边三角形△ABC中,D,E分别是边AB,AC的点,且满足AD=CE,连接CD,BE,交于点M作∠ADC,∠ABE的角平分线,交于点N.
    ①证明△ACD≌△CBE;
    ②求∠DNB的度数;
    【拓展提高】(3)在(2)的条件下,连接MN,如图3,当∠DCB=40°,求∠MND的度数.


    答案和解析

    1.【答案】C 
    【解析】解:A、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    B、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    C、是轴对称图形,故此选项符合题意;
    D、不是轴对称图形,故此选项不符合题意.
    故选:C.
    根据轴对称:一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,由此问题可求解.
    本题主要考查了轴对称图形,熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

    2.【答案】D 
    【解析】解:A、3a与2a2不能合并,故A不符合题意;
    B、(b−a)2=b2−2ab+a2,故B不符合题意;
    C、2a3⋅3a2=6a5,故C不符合题意;
    D、−6a2÷3a=−2a,故D符合题意;
    故选:D.
    根据合并同类项,单项式除以单项式,单项式乘单项式的法则,完全平方公式进行计算,逐一判断即可解答.
    本题考查了整式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.

    3.【答案】A 
    【解析】解:A.a2−4a+4=(a−2)2,即多项式能因式分解,故本选项符合题意;
    B.a2−2ab+b2=(a−b)2,而a2−ab+b2不能因式分解,故本选项不符合题意;
    C.−a2−4=−(a2+4),不符合平方差公式,不能因式分解,故本选项不符合题意;
    D.a2+4b2不能用平方差公式分解因式,故本选项不符合题意;
    故选:A.
    根据因式分解的方法逐个判断即可.
    本题考查了因式分解的定义和方法,能熟记因式分解的方法是解此题的关键,①把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解,②因式分解的方法有提取公因式法,公式法,因式分解法等.

    4.【答案】B 
    【解析】解:A、700名学生的视力情况是总体,故此选项不合题意;
    B、样本容量是50,故此选项符合题意;
    C、50名学生的视力情况是所抽取的一个样本,故此选项不合题意;
    D、每个学生是个体的视力情况是个体,故此选项不合题意.
    故选:B.
    根据总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,即可求解.
    此题考查的是总体、个体、样本、样本容量.解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据,而非考查的事物.”正确理解总体、个体、样本的概念是解决本题的关键.

    5.【答案】C 
    【解析】解:∵a=(−2023)0=1,b=(12)−1=2,c=π2,
    ∴a 故选:C.
    直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简,进而得出答案.
    此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质,正确化简各数是解题关键.

    6.【答案】A 
    【解析】解:由题意得:4x−1=2y+54x−y+2y=4x−1,
    解得:x=1y=−1,
    故选:A.
    根据每行,每列及对角线上三个方格中的数字和都相等,列出的二元一次方程组,解之即可得出结论.
    本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.

    7.【答案】D 
    【解析】解:∵汽车的速度是骑车学生速度的5倍,且骑车学生的速度为x km/h,
    ∴汽车的速度为5x km/h.
    根据题意得:7x−75x=2060,
    即7x−75x=13.
    故选:D.
    根据乘车及骑车学生速度间的关系,可得出汽车的速度为5x km/h,利用时间=路程÷速度,结合乘车同学比骑车同学少用20min,即可列出关于x的分式方程,此题得解.
    本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

    8.【答案】B 
    【解析】解:∵△OAB≌△OA1B1,
    ∴∠A=∠A1,OB=OB1,故A、C正确;
    ∵∠A1+∠A1DC=∠A+∠AOC.
    ∴∠A1DC=∠AOC,故D正确;
    ∵A1B1与AO不平行,
    ∴∠A1≠∠AOC,
    ∴AC≠CO,故B错误.
    故选:B.
    由△OAB≌△OA1B1可得选项A、C是正确的,再利用外角的性质可得D是正确的,选项B是错误的.
    本题考查全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题关键.

    9.【答案】D 
    【解析】解:连接AE,AG,

    ∵AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E,AC的垂直平分线FG分别与AC、BC交于点F、G,
    ∴AD=BD,FA=FC,
    ∴S△AFG=S△CFG=3,
    ∴S△ACG=2S△CFG=6,
    ∵EG=12BE=23CG,
    ∴S△AEG=23S△ACG=4,S△ABE=43S△ACG=8,
    ∴S△ABC=S△ABE+S△AEG+S△ACG=18.
    故选:D.
    连接AE,AG,由线段的垂直平分线的定义得到AD=BD,FA=FC,根据三角形的面积计算即可得到答案.
    本题考查的是线段的垂直平分线,三角形的面积公式,掌握线段的垂直平分线的定义以及三角形的面积是解题的关键.

    10.【答案】D 
    【解析】解:设①的边长为a,②的边长为b,③的边长为c④的边长为d,

    ∴观察图片中⑤的周长为:2a+2(b+d−a),
    观察图片中⑥的周长为:2d+2(b−d),
    ⑤的周长−⑥的周长的差是:2a+2(b+d−a)−[2d+2(b−d)]=2a+2b+2d−2a−2d−2b+2d=2d,
    ∴与图片④的边长有关,
    故选:D.
    设①的边长为a,②的边长为b,③的边长为c④的边长为d,观察图中几个图形之间的边之间的数量关系,用含a、b、c、d的整式把⑤⑥的周长表示出来,然后相减看与几号图形的边长有关即可.
    本题考查了整式的加减,几个整式的相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号合并同类项,整式的加减实质就是合并同类项.

    11.【答案】4 
    【解析】解:∵ab=23,
    ∴3a+2bb
    =3ab+2
    =3×23+2
    =2+2
    =4.
    故答案为:4.
    变形分式,整体代入求值即可.
    本题考查了分式的化简求值,解题的关键是掌握整体代入求值.

    12.【答案】3(x+2)(x−2) 
    【解析】
    【分析】
    本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解.掌握因式分解的常见方法是解题的关键.
    原式提取公因式3,再利用平方差公式分解即可.
    【解答】
    解:原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2).
    故答案为:3(x+2)(x−2).  
    13.【答案】120 
    【解析】解:∵∠B=52°,∠C=68°,
    ∴∠A的外角的度数为:∠B+∠C=120°.
    故答案为:120.
    利用三角形的外角性质进行求解即可.
    本题主要考查三角形的外角性质,解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和.

    14.【答案】419 
    【解析】解:由题意得:4÷19=419,
    ∴在这句含有19个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为419,
    故答案为:419.
    根据频率=频数÷总次数进行计算,即可解答.
    本题考查了频数与频率,熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键.

    15.【答案】12 
    【解析】解:3a+x2x+3=1,
    3a+x=2x+3,
    解得:x=3a−3,
    ∵分式方程有增根,
    ∴2x+3=0,
    解得:x=−32,
    把x=−32代入x=3a−3中得:
    −32=3a−3,
    解得:a=12,
    故答案为:12.
    根据题意可得2x+3=0,从而可得:x=−32,然后把x的值代入整式方程中进行计算,即可解答.
    本题考查了分式方程的增根,根据题意求出x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键.

    16.【答案】512 
    【解析】解:∵3x=4,9y=8,
    ∴33x=43,32y=8,
    ∴33x+2y=33x⋅32y=43×8=512.
    故答案为:512.
    根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可.
    本题考查了幂的乘方和积的乘方,熟练掌握计算法则是突破本题的关键.

    17.【答案】0.8 
    【解析】解:过A点作AG//CF交BD的延长线于点G,
    ∴∠G=∠DEC,
    ∵BD是AC边上的中线,
    ∴AD=CD,
    在△ADG和△CDE中,
    ∠G=∠DEC∠ADG=∠CDEAD=CD,
    ∴△ADG≌△CDE(AAS),
    ∴AG=CE,
    ∵CE=AB=4,
    ∴∠ABG=∠G,
    ∴∠ABG=∠DEC=∠BEF,
    ∴BF=EF,
    ∵5AF=4AB,AB=4,
    ∴AF=3.2,
    ∴BF=AB−AF=0.8,
    ∴EF=0.8.
    故答案为:0.8.
    过A点作AG//CF交BD的延长线于点G,证明利用AAS证明△ADG≌△CDE可得AG=CE,结合等腰三角形的性质可证∠ABG=∠G=∠BEF,进而可得BF=EF,再根据5AF=4AB,AB=4,可求出BF的长,即可求解.
    本题主要考查等腰三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,构造全等三角形是解题的关键.

    18.【答案】43 
    【解析】解:过D点作DM⊥AB,交BA的延长线于点M,
    ∴∠BMD=90°,
    ∵FG⊥CE,
    ∴∠EGF=∠FGC=90°,
    ∴∠BMD=∠EGF,
    在△BMD和△EGF中,
    ∠BMD=∠EGF∠DBM=∠FEGBD=EF,
    ∴△BMD≌△EGF(AAS),
    ∴DM=FG,BM=EG,
    ∵AB=BC,
    ∴∠C=∠BAC=∠DAM,
    在△AMD和△CGF中,
    ∠DAM=∠C∠AMD=∠CGFDM=FG,
    ∴△AMD≌△CGF(AAS),
    ∴AM=CG,
    ∴BE+BG=EG=BM=AB+AM=BC+AM=BG+2CG,
    ∴BE=2CG=2×23=43.
    故答案为:43.
    过D点作DM⊥AB,交BA的延长线于点M,先证明△BMD≌△EGF可得DM=FG,BM=EG,再证明△AMD≌△CGF可证得BE=2CG,进而可求解.
    本题主要考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,证明△AMD≌△CGF是解题的关键.

    19.【答案】解:(1)原式=4+1−27×127
    =4+1−1
    =4;
    (2)原式=x2+10x+25+4−x2
    =10x+29. 
    【解析】(1)根据绝对值、零指数幂以及负整数指数幂的运算方法进行计算即可;
    (2)利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可.
    本题考查零指数幂,负整数指数幂以及完全平方公式、平方差公式,掌握零指数幂,负整数指数幂的运算方法以及完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提.

    20.【答案】解:原式=(x2−9x+3−7x+3)⋅x(x+3)x−4
    =(x+4)(x−4)x+3)⋅x(x+3)x−4
    =x(x+4)
    =x2+4x,
    ∵x2+4x+1=0,
    ∴x2+4x=−1,
    ∴原式=−1. 
    【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简,整体代入计算即可.
    本题考查的是分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

    21.【答案】50 
    【解析】解:(1)16÷32%=50(名),
    故答案为:50;
    (2)C等级的人数为:50−15−16−5=14(人),补全条形统计图如下:

    (3)700×1550=210(人),
    答:该校七年级700名学生中成绩达到优秀的人数大约有210人.
    (1)从两个统计图可知,样本中B等级的人数有16人,占调查人数的32%,由频率=频数总数可求出调查人数;
    (2)求出样本中C等级的人数即可补全统计图;
    (3)求出样本中,A优秀等级所占的百分比,估计总体中优秀所占的百分比,再由频率=频数总数进行计算即可.
    本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体,掌握频率=频数总数是正确解答的前提.

    22.【答案】解:(1)设甲种套餐的单价为x元,则乙种套餐的单价为(x+40)元,
    根据题意得:450x=810x+40,
    解得x=50,
    经检验,x=50是原方程的解,
    ∴x+40=50+40=90,
    ∴甲种套餐的单价为50元,乙种套餐的单价为90元;
    (2)设甲种套餐购进m套,乙种套餐购进n套,
    根据题意得50m+90n=1800,
    ∴m=36−95n,
    ∵m,n为正整数,
    ∴m=27n=5或m=18n=10或m=9n=15,
    ∴有三种进货方案:甲种套餐购进27套,乙种套餐购进5套或甲种套餐购进18套,乙种套餐购进10套或甲种套餐购进9套,乙种套餐购进15套. 
    【解析】(1)设甲种套餐的单价为x元,根据用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同得:450x=810x+40,解方程并检验可得答案;
    (2)设甲种套餐购进m套,乙种套餐购进n套,可得50m+90n=1800,求出方程的正整数解即可.
    本题考查分式方程,二元一次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列方程.

    23.【答案】解:(1)由题意得,c=(4+1)(−2+1)=−5.
    即所求a,b的“和积数”c为−5.
    (2)由题意,c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1.
    ∵ab=12,a2+b2=8,
    ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=8+1=9.
    ∴a+b=±3.
    ∴c=12+3+1=92或c=12−3+1=−32.
    ∴c=92或c=−32.
    (3)由题意,c=(a+1)(b+1),
    ∵a=x+1,c=x3+4x2+5x+2=x3+2x2+2x2+5x+2=x2(x+2)+(2x+1)(x+2)=(x+2)(x2+2x+1),
    ∴(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1).
    ①若x=−2,式子(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1)变为0⋅(b+1)=0.
    ∴b为任何数,a+b不存在最小值.
    ②若x≠−2,又(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1),
    ∴b+1=x2+2x+1.
    ∴b=x2+2x.
    ∴a+b=x2+2x+x+2=x2+2x+x+2=x2+3x+2=x2+3x+94−14=(x+32)2−14.
    ∴当x=−32时,a+b有最小值为−14. 
    【解析】(1)依据题意,根据“和积数”的定义,代入数据可以得解;
    本题主要考查了因式分解的应用,解题时要熟练掌握并灵活运用.

    24.【答案】(1)证明:延长BC到T.设∠ABD=∠DBC=x,∠ACD=∠DCT=y.

    则有2y=∠A+2xy=x+∠D,
    ∴2(x+∠D)=∠A+2x,
    ∴∠D=12∠A;

    (2)①证明:如图2中,

    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠A=∠BCE=60°,BC=AB,
    ∵AD=CE,
    ∴△ACD≌△CBE(SAS);

    ②解:∵△ACD≌△CBE(SAS),
    ∴∠ACD=∠CBE,
    ∴∠DMB=∠CBE+∠BCM=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°,
    ∵DM平分∠ADM,NB平分∠DBM,
    由(1)可知∠N=12∠DMB=30°;

    (3)解:

    ∵∠ADC=∠DCB+∠ABC.∠ABC=60°,∠DCB=40°,
    ∴∠ADC=100°,
    ∵DN平分∠ADC,
    ∴∠NDM=12∠ADC=50°,
    ∵DN平分∠ADC,NB平分∠DBN,
    ∴NM平分∠DME,
    ∵∠DME=180°−∠DMB=120°,NM平分∠DME,
    ∴∠DMN=12∠DME=60°,
    ∴∠MND=180°−∠DNM−∠DMN=180°−50°−60°=70°. 
    【解析】(1)延长BC到T.设∠ABD=∠DBC=x,∠ACD=∠DCT=y.利用三角形的外角的性质,构建方程组可得结论;
    (2)①根据SAS证明三角形全等即可;
    ②利用(1)中结论解决问题即可;
    (3)分别求出∠NDM,∠DMN,可得结论.
    本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

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