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2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列交通标识牌中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. 2× 3= 5 B. 4 2−3 2= 2
C. 2+ 4= 6 D. 6÷ 2=3
3. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是( )
A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查
C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查
4. 已知 a−3+ 2−b=0，则a+b的值是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
5. 装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(分钟)与装载速度x(吨/分钟)之间的函数关系如图所示.若要求在120分钟内(包括120分钟)装完这批货物，则x的取值范围是( )
A. x≥5
B. x≥3
C. 0
A. 四边形ADEF不一定是平行四边形
B. 当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形
C. 当AB=AC时，四边形ADEF是菱形
D. 当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF是正方形
7. 将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球.若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF，则EF的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 3 3
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若式子 x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 当x= ______ 时，分式x+2x2−1的值是0．
11. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如表数据：
抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
18
38
63
80
杯口朝上频率
0.18
0.19
0.21
0.20
估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______ (结果精确到0.1)．
12. 正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的横坐标是2，则k= ______ ．
13. 利用图中的网格比较大小： 5+1 ______ 10(填“>”、“<”或“=”)．
14. 矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置.若AB=2，则EG= ______ ．
15. 已知点A(a,m)、B(b,n)在反比例函数y=1x的图象上，且a”或“<”)．
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F、G、H是各边上的点，M、N分别是EH、GF的中点.当EF//BC，GH//AB时，MN= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 15÷ 5×2 3；
(2) 12+ 8−2 2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−2x)÷x2−4x+4x2，其中x=4．
19. (本小题8.0分)
解方程：
(1)2x+1=12x；
(2)1x−2+3=1−x2−x．
20. (本小题6.0分)
为了丰富学生的课余生活，某校开设了四门手工活动课，按照类别分为A：“剪纸”、B：“沙画”、C：“雕刻”、D：“泥塑”.为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______ ；
(2)统计图中的a= ______ ，b= ______ ，扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是______ °；
(3)该校共有1500名学生，请估计全校喜爱“沙画”的学生人数．
21. (本小题6.0分)
学校为保障学生的课外活动时间，决定增购两种体育器材：排球和篮球.已知篮球的单价比排球的单价多30元，用3500元购买的排球数量和用5000元购买的篮球数量相同.求排球和篮球的单价．
22. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，F是边AD上的一点，且AF=AB，连接EF.判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论．
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=13x+5的图象l与y轴交于点A，点B(6,m)在l上，C是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，四边形OABC是平行四边形．
(1)求m、k的值；
(2)点D(3,n)在l上．
①判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
②△OCD的面积是______ ．
24. (本小题9.0分)
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式.继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法．
示例：将分式3x−2x−1分离常数．
3x−2x−1=3(x−1)+mx−1=3+mx−1．
(1)示例中，m= ______ ；
(2)参考示例方法，将分式3x+8x+2分离常数；
(3)探究函数y=3x+8x+2的性质：
①x的取值范围是______ ，y的取值范围是______ ；
②当x变化时，y的变化规律是______ ；
③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”.求函数y=3x+8x+2图象上所有“整数点”的坐标．
25. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k>0)的图象与一次函数y=mx+b(m<0)的图象在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为CA、CB、CP．
(1)如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k=8．
SA= ______ ，SA ______ SP(填“>”、“<”或“=”)；
猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是______ ；
(2)如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m=−1，b=4．
CA= ______ ，CA ______ CP.(填“>”、“<”或“=”)；
猜想：当点P从点A运动到点B时，CP的变化规律是______ ．
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图象交于点G.若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该标识牌是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 2× 3= 6，原计算错误，不符合题意；
B、4 2−3 2= 2，正确，符合题意；
C、 2与 4不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、 6÷ 2= 3，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、全市居民每周收看新闻联播次数的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B、全市初中生每天运动时间的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C、全班学生身高的调查，适合采用普查方式，符合题意；
D、某品牌节能灯使用寿命的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
故选：C．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】C
【解析】解：∵ a−3+ 2−b=0，
∴a−3=0，2−b=0，
解得：a=3，b=2，
∴a+b=5．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：设y=kx，把(1.5,400)代入得：
400=k1.5，
解得k=600，
∴y=600x，
当y≤120时，
600 x≤120，
∴x≥5，
故选：A．
求出反比例函数的解析式，再根据题意列出x的不等式，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
A.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴DE//AF，EF//AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，故A选项不符合题意；
B.∵四边形ADEF是平行四边形，
若DE⊥BC，∠DEC=90°，∠DEF≠90°，
∴四边形ADEF不是矩形，故B选项不符合题意；
C.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF=12AB，DE=12AC，
若AB=AC，则FE=DE，
∴四边形ADEF是菱形，故C选项符合题意；
D.∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴四边形ADEF不是正方形，故D选项不符合题意；
故选：C．
根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理逐一进行判断即可．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是1，
故选：A．
根据必然事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接AC，作CG⊥AD于点G，则∠CGD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=60°，
∴AB=CB=AD=CD=6，∠D=∠B=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=∠CAF=60°，CB=CA=CD=6，DG=AG=12AD=12×6=3，
∴CG= CD2−DG2= 62−32=3 3，
∵CF≥CG，
∴CF≥3 3，
∴CF的最小值是3 3，
在△BCE和△ACF中，
CB=CA∠B=∠CAFBE=AF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴EF=CF，
∴EF的最小值为3 3，
故选：D．
连接AC，作CG⊥AD于点G，可证明△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠ACB=∠B=∠CAF=60°，CB=CA=CD=6，DG=AG=3，根据勾股定理得CG= CD2−DG2=3 3，则CF的最小值是3 3，再证明△BCE≌△ACF，得CE=CF，∠BCE=∠ACF，可推导出∠ECF=∠ACB=60°，则△ECF是等边三角形，所以EF=CF，则EF的最小值为3 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：依题意得
x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可以得到x−1是非负数，由此即可求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
10.【答案】−2
【解析】解：由题意可知：x+2=0且x2−1≠0，
∴x=−2，
故答案为：−2．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
11.【答案】0.2
【解析】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.2左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.2．
故答案为：0.2．
观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
12.【答案】8
【解析】解：∵正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的横坐标是2，
∴y=2×2=4，
∴交点坐标为(2,4)，
∴k=xy=2×4=8．
根据交点横坐标是2代入一次函数解析式求出纵坐标，交点纵横坐标之积就是k值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数上点的纵横坐标之积就是k值是本题的关键．
13.【答案】>
【解析】解：如图边长为1的格点，根据勾股定理得：AC= 5，AB= 10，
∵AC+BC>AB，
∴ 5+1> 10．
故答案为：>．
根据图示和三角形三边关系可进行比较．
本题考查了实数大小的比较，数形结合是本题的一个亮点．
14.【答案】4
【解析】解：∵矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置，
∴CE=AE=ED+DG=AB=2，
∴EG=2ED=4，
故答案为：4．
根据矩形的对角线相等且互相平分即可解决问题．
本题主要考查矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分的性质．
15.【答案】<
【解析】解：∵点A(a,m)、B(b,n)反比例函数y=1x的图象上，
∴am=bn=1，
∵mn<0，即m、n异号，
∴a、b异号，
∵a
∴点A(a,m)在反比例函数y=1x第三象限的图象上，而B(b,n)在反比例函数y=1x第一象限的图象上，
∴m<0
根据反比例函数图象的和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
16.【答案】 2
【解析】解：连接EG，取EG的中点O，连接OM，ON，
∵M、N分别是EH、GF的中点．
∴OM是△EGH的中位线，ON是△GEF的中位线，
∴OM=12GH，ON=12EF，OM//GH，ON//EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=90°，
∵EF//BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
又∠B=90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=2，∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∵GH//AB，
∴四边形ABHG是平行四边形，
又∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=2，∠AGB=90°，
∴OM=1，ON=1，
∵GH//AB，
∴EF⊥GH，
∵OM//GH，
∴EF⊥OM，
∵ON//EF，
∴ON⊥OM，
∴△OMN是等腰直角三角形，
由勾股定理得MN= 2，
故答案为： 2．
连接EG，取EG的中点O，连接OM，ON，先证出OM是△EGH的中位线，ON是△GEF的中位线，即可得出OM=12GH，ON=12EF，再证出GH=AB=2，EF=BC=2，从而得出OM=1，ON=1，再证得∠MON=90°，即可得出△OMN是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出MN的长．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 15÷ 5×2 3
= 3×2 3
=6；
(2) 12+ 8−2 2
= 22+2 2− 2
=3 22．
【解析】(1)利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答；
(2)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1−2x)÷x2−4x+4x2
=x−2x⋅x2(x−2)2
=xx−2，
当x=4时，
原式=44−2=2．
【解析】先计算括号内的减法，然后把分式的除法转换为乘法的形式，通过约分将分式化为最简形式后，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)原方程两边同乘2x(x+1)，去分母得：4x=x+1，
移项，合并同类项得：3x=1，
系数化为1得：x=13，
检验：将x=13代入2x(x+1)中得2×13×(13+1)=23×43=89≠0，
则原方程的解为：x=13；
(2)原方程两边同乘(x−2)，去分母得：1+3(x−2)=−(1−x)，
去括号得：1+3x−6=−1+x，
移项，合并同类项得：2x=4，
系数化为1得：x=2，
将x=2代入(x−2)中得2−2=0，
则x=2是原分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后并检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程后必须进行检验．
20.【答案】90 6 36 120
【解析】解：(1)18÷20%=90(人)，因此样本容量为90；
故答案为：90；
(2)b=90×40%=36，
a=90−(18+30+36)=6，
扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是360×3090=120°．
故答案为：6，36，120；
(3)1500×690=100(人)，
答：估计全校喜爱“沙画”的学生人数为100人．
(1)从两个统计图可知喜欢A类的有18人，占调查人数的20%，可求出调查人数，即样本容量；
(2)先根据总人数乘以D类的百分比得到b的值，再根据各组人数之和等于数据总数得到a的值，然后用360°乘以“C”项所占比例即可求出对应的圆心角度数；
(3)利用样本估计总体，用该校学生总数乘以样本中喜爱“沙画”的学生所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
21.【答案】解：设排球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，
根据题意得：3500x=5000x+30，
解得：x=70，
经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=70+30=100．
答：排球的单价是70元，篮球的单价是100元．
【解析】设排球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用3500元购买的排球数量和用5000元购买的篮球数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出排球的单价，再将其代入(x+30)中，即可求出篮球的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BEA=∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】由平行线的性质得到∠BEA=∠FAE，由角平分线定义得到∠BAE=∠FAE，因此∠BEA=∠BAE，推出AB=BE，又AF=AB，得到BE=AF，又AF//BE，推出四边形ABEF是平行四边形，又AB=BE，即可证明四边形ABEF是菱形．
本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出AF=BE．
23.【答案】15
【解析】解：(1)将(6,m)代入y=13x+5，即m=63+5=7，则点B的坐标为(6,7)，
∵点A在一次函数上，
∴点A的坐标为(0,5)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO//BC，OA=BC=5，
∴点C的坐标为(6,2)，
又∵点C在反比例函数y=kx上，
∴k=6×2=12；
(2)①点D不在反比例函数的图象上，理由如下：
∵点D在l上，
∴n=13×3+5=6，
∴点D的坐标为(3,6)，
由(1)知k=12，
∴反比例函数为y=12x，
把D点横坐标代入得：y=123=4，
∵6≠4，
∴点D不在反比例函数的图象上；
②作线段DC的延长线，交x轴于点E，如图：
∵C(6,2)，D(3,6)，
设CD所在的直线为y=kx+b，将C、D代入得：
2=6k+b6=3k+b，
解得：k=−43b=10，
∴CD所在直线的解析式为：y=−43x+10，
令y=0，则0=−43x+10，
解得：x=152，
∴点E的坐标为(152,0)，
∴S△OCD=S△ODE−S△OCE
=12OE⋅yD−12OE⋅yC
=12OE(yD−yC)
=12×152×(6−2)
=15，
故答案为：15．
(1)根据点B代入直线l，求得m的值，再平行四边形OABC的性质，求出点C的坐标，又根据点C在反比例函数上，进而求得k的值；
(2)①根据点D代入直线l，求得n的值，求出点D的坐标，再将点D代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则，不在图象上；
②设CD所在直线的解析式为y=kx+b，把C、D代入求得解析式为y=−43x+10，进而解得点E的坐标为(152,0)，再根据S△OCD=S△ODE−S△OCE，求出△OCD的面积．
本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解．
24.【答案】1 x≠−2 y≠3 当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小
【解析】解：(1)∵3x−2x−1=3(x−1)+1x−1=3+1x−1，
∴示例中，m=1；
故答案为：1；
(2)3x+8x+2=3(x+2)+2x+2=3+2x+2；
(3)y=3x+8x+2=3+2x+2：
①∵x+2≠0，
∴x的取值范围是x≠−2，y的取值范围是y≠3；
故答案为：x≠−2，y≠3；
②当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小；
③当x+2=−2或−1或1或2，即x=−4或−3或−1或0时，
y=2或1或5或4，
∴函数y=3x+8x+2图象上所有“整数点”的坐标为(−4,2)，(−3,1)，(−1,5)，(0,4)．
(1)根据示例计算即可得出答案；
(2)根据示例计算即可得出答案；
(3)根据函数的图象和性质分别求解即可．
本题考查分式的变形、运算，能够理解题意，根据已知条件将式子进行正确的分解，结合题中定义做出合理的推理分析是解题的关键．
25.【答案】8 < 先变大后变小 8 > 先变小后变大
【解析】解：探究一：
(1)∵A点、B点在反比例函数y=8x上，
∴SA=SB=8，
过P点作PQ⊥y轴交反比例函数图象于点Q，过点Q作QD⊥x轴交于点D，
∴SP=8+PQ⋅DQ，
设P(x,y)，则Q(8y,y)，
∴PQ⋅DQ=y(x−8y)=xy−8=x(mx+b)−8=m(x+b2m)2−8−b24m，
∵m<0，b>0，
∴在x>0时，PQ⋅DQ的值先增大后减小，
∴SP
(2)∵m=−1，b=4，
∴直线的解析式为y=−x+4，
设A点坐标为(s,t)，
∴s+t=4，
∴CA=CB=8，
过P点作PE//x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F，
∴CP=8−2PE，
设E(x,y)，则P(ky,y)，
∴PE=x−ky，
∴2PE=2x−2ky=2(4−y)−2ky=8−2(y+ky)，
∴CP=16+2(y+ky)，
∵y>0，k>0，
∴y>0时，y+ky先减小后增大，
∴CP先减小后增大，
∴CA>CP，
故答案为：8，>，先减小后增大；
探究二：
设G(x,y)，则xy=k，
∵G是OQ的中点，
∴Q(2x,2y)，
∵AQ⊥x轴，
∴A(2x,k2x)，
∵BQ⊥y轴，
∴B(k2y,2y)，
∵S△QAB=12×(2y−k2x)×(2x−k2y)
=12×(4k−k−k+k24k)
=98k
=9，
∴k=8．
探究一：(1)根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解；
(2)根据直线解析式的特点，结合图形即可求解；
探究二：设G(x,y)，则xy=k，根据题意分别得到Q(2x,2y)，A(2x,k2x)，B(k2y,2y)，再由S△QAB=12×(2y−k2x)×(2x−k2y)=98k=9，即可求k=8．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，反比例函数k的几何意义是解题的关键．
2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列交通标识牌中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. 2× 3= 5 B. 4 2−3 2= 2
C. 2+ 4= 6 D. 6÷ 2=3
3. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是( )
A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查
C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查
4. 已知 a−3+ 2−b=0，则a+b的值是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
5. 装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(分钟)与装载速度x(吨/分钟)之间的函数关系如图所示.若要求在120分钟内(包括120分钟)装完这批货物，则x的取值范围是( )
A. x≥5
B. x≥3
C. 0
A. 四边形ADEF不一定是平行四边形
B. 当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形
C. 当AB=AC时，四边形ADEF是菱形
D. 当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF是正方形
7. 将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球.若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=AF，则EF的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 3 3
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若式子 x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 当x= ______ 时，分式x+2x2−1的值是0．
11. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如表数据：
抛掷总次数
100
200
300
400
杯口朝上频数
18
38
63
80
杯口朝上频率
0.18
0.19
0.21
0.20
估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______ (结果精确到0.1)．
12. 正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的横坐标是2，则k= ______ ．
13. 利用图中的网格比较大小： 5+1 ______ 10(填“>”、“<”或“=”)．
14. 矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置.若AB=2，则EG= ______ ．
15. 已知点A(a,m)、B(b,n)在反比例函数y=1x的图象上，且a
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F、G、H是各边上的点，M、N分别是EH、GF的中点.当EF//BC，GH//AB时，MN= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 15÷ 5×2 3；
(2) 12+ 8−2 2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−2x)÷x2−4x+4x2，其中x=4．
19. (本小题8.0分)
解方程：
(1)2x+1=12x；
(2)1x−2+3=1−x2−x．
20. (本小题6.0分)
为了丰富学生的课余生活，某校开设了四门手工活动课，按照类别分为A：“剪纸”、B：“沙画”、C：“雕刻”、D：“泥塑”.为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______ ；
(2)统计图中的a= ______ ，b= ______ ，扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是______ °；
(3)该校共有1500名学生，请估计全校喜爱“沙画”的学生人数．
21. (本小题6.0分)
学校为保障学生的课外活动时间，决定增购两种体育器材：排球和篮球.已知篮球的单价比排球的单价多30元，用3500元购买的排球数量和用5000元购买的篮球数量相同.求排球和篮球的单价．
22. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，F是边AD上的一点，且AF=AB，连接EF.判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论．
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=13x+5的图象l与y轴交于点A，点B(6,m)在l上，C是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，四边形OABC是平行四边形．
(1)求m、k的值；
(2)点D(3,n)在l上．
①判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
②△OCD的面积是______ ．
24. (本小题9.0分)
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式.继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法．
示例：将分式3x−2x−1分离常数．
3x−2x−1=3(x−1)+mx−1=3+mx−1．
(1)示例中，m= ______ ；
(2)参考示例方法，将分式3x+8x+2分离常数；
(3)探究函数y=3x+8x+2的性质：
①x的取值范围是______ ，y的取值范围是______ ；
②当x变化时，y的变化规律是______ ；
③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”.求函数y=3x+8x+2图象上所有“整数点”的坐标．
25. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k>0)的图象与一次函数y=mx+b(m<0)的图象在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为CA、CB、CP．
(1)如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k=8．
SA= ______ ，SA ______ SP(填“>”、“<”或“=”)；
猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是______ ；
(2)如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m=−1，b=4．
CA= ______ ，CA ______ CP.(填“>”、“<”或“=”)；
猜想：当点P从点A运动到点B时，CP的变化规律是______ ．
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图象交于点G.若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该标识牌不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该标识牌是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 2× 3= 6，原计算错误，不符合题意；
B、4 2−3 2= 2，正确，符合题意；
C、 2与 4不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、 6÷ 2= 3，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、全市居民每周收看新闻联播次数的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B、全市初中生每天运动时间的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C、全班学生身高的调查，适合采用普查方式，符合题意；
D、某品牌节能灯使用寿命的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
故选：C．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】C
【解析】解：∵ a−3+ 2−b=0，
∴a−3=0，2−b=0，
解得：a=3，b=2，
∴a+b=5．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：设y=kx，把(1.5,400)代入得：
400=k1.5，
解得k=600，
∴y=600x，
当y≤120时，
600 x≤120，
∴x≥5，
故选：A．
求出反比例函数的解析式，再根据题意列出x的不等式，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
A.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE//AC，EF//AB，
∴DE//AF，EF//AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，故A选项不符合题意；
B.∵四边形ADEF是平行四边形，
若DE⊥BC，∠DEC=90°，∠DEF≠90°，
∴四边形ADEF不是矩形，故B选项不符合题意；
C.∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF=12AB，DE=12AC，
若AB=AC，则FE=DE，
∴四边形ADEF是菱形，故C选项符合题意；
D.∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴四边形ADEF不是正方形，故D选项不符合题意；
故选：C．
根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理逐一进行判断即可．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是1，
故选：A．
根据必然事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接AC，作CG⊥AD于点G，则∠CGD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=60°，
∴AB=CB=AD=CD=6，∠D=∠B=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=∠CAF=60°，CB=CA=CD=6，DG=AG=12AD=12×6=3，
∴CG= CD2−DG2= 62−32=3 3，
∵CF≥CG，
∴CF≥3 3，
∴CF的最小值是3 3，
在△BCE和△ACF中，
CB=CA∠B=∠CAFBE=AF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴EF=CF，
∴EF的最小值为3 3，
故选：D．
连接AC，作CG⊥AD于点G，可证明△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠ACB=∠B=∠CAF=60°，CB=CA=CD=6，DG=AG=3，根据勾股定理得CG= CD2−DG2=3 3，则CF的最小值是3 3，再证明△BCE≌△ACF，得CE=CF，∠BCE=∠ACF，可推导出∠ECF=∠ACB=60°，则△ECF是等边三角形，所以EF=CF，则EF的最小值为3 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：依题意得
x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的性质可以得到x−1是非负数，由此即可求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
10.【答案】−2
【解析】解：由题意可知：x+2=0且x2−1≠0，
∴x=−2，
故答案为：−2．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
11.【答案】0.2
【解析】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.2左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.2．
故答案为：0.2．
观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
12.【答案】8
【解析】解：∵正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的横坐标是2，
∴y=2×2=4，
∴交点坐标为(2,4)，
∴k=xy=2×4=8．
根据交点横坐标是2代入一次函数解析式求出纵坐标，交点纵横坐标之积就是k值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数上点的纵横坐标之积就是k值是本题的关键．
13.【答案】>
【解析】解：如图边长为1的格点，根据勾股定理得：AC= 5，AB= 10，
∵AC+BC>AB，
∴ 5+1> 10．
故答案为：>．
根据图示和三角形三边关系可进行比较．
本题考查了实数大小的比较，数形结合是本题的一个亮点．
14.【答案】4
【解析】解：∵矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置，
∴CE=AE=ED+DG=AB=2，
∴EG=2ED=4，
故答案为：4．
根据矩形的对角线相等且互相平分即可解决问题．
本题主要考查矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分的性质．
15.【答案】<
【解析】解：∵点A(a,m)、B(b,n)反比例函数y=1x的图象上，
∴am=bn=1，
∵mn<0，即m、n异号，
∴a、b异号，
∵a
∴点A(a,m)在反比例函数y=1x第三象限的图象上，而B(b,n)在反比例函数y=1x第一象限的图象上，
∴m<0
根据反比例函数图象的和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
16.【答案】 2
【解析】解：连接EG，取EG的中点O，连接OM，ON，
∵M、N分别是EH、GF的中点．
∴OM是△EGH的中位线，ON是△GEF的中位线，
∴OM=12GH，ON=12EF，OM//GH，ON//EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=90°，
∵EF//BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
又∠B=90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=2，∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∵GH//AB，
∴四边形ABHG是平行四边形，
又∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=2，∠AGB=90°，
∴OM=1，ON=1，
∵GH//AB，
∴EF⊥GH，
∵OM//GH，
∴EF⊥OM，
∵ON//EF，
∴ON⊥OM，
∴△OMN是等腰直角三角形，
由勾股定理得MN= 2，
故答案为： 2．
连接EG，取EG的中点O，连接OM，ON，先证出OM是△EGH的中位线，ON是△GEF的中位线，即可得出OM=12GH，ON=12EF，再证出GH=AB=2，EF=BC=2，从而得出OM=1，ON=1，再证得∠MON=90°，即可得出△OMN是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出MN的长．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 15÷ 5×2 3
= 3×2 3
=6；
(2) 12+ 8−2 2
= 22+2 2− 2
=3 22．
【解析】(1)利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答；
(2)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1−2x)÷x2−4x+4x2
=x−2x⋅x2(x−2)2
=xx−2，
当x=4时，
原式=44−2=2．
【解析】先计算括号内的减法，然后把分式的除法转换为乘法的形式，通过约分将分式化为最简形式后，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)原方程两边同乘2x(x+1)，去分母得：4x=x+1，
移项，合并同类项得：3x=1，
系数化为1得：x=13，
检验：将x=13代入2x(x+1)中得2×13×(13+1)=23×43=89≠0，
则原方程的解为：x=13；
(2)原方程两边同乘(x−2)，去分母得：1+3(x−2)=−(1−x)，
去括号得：1+3x−6=−1+x，
移项，合并同类项得：2x=4，
系数化为1得：x=2，
将x=2代入(x−2)中得2−2=0，
则x=2是原分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后并检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程后必须进行检验．
20.【答案】90 6 36 120
【解析】解：(1)18÷20%=90(人)，因此样本容量为90；
故答案为：90；
(2)b=90×40%=36，
a=90−(18+30+36)=6，
扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是360×3090=120°．
故答案为：6，36，120；
(3)1500×690=100(人)，
答：估计全校喜爱“沙画”的学生人数为100人．
(1)从两个统计图可知喜欢A类的有18人，占调查人数的20%，可求出调查人数，即样本容量；
(2)先根据总人数乘以D类的百分比得到b的值，再根据各组人数之和等于数据总数得到a的值，然后用360°乘以“C”项所占比例即可求出对应的圆心角度数；
(3)利用样本估计总体，用该校学生总数乘以样本中喜爱“沙画”的学生所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
21.【答案】解：设排球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，
根据题意得：3500x=5000x+30，
解得：x=70，
经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=70+30=100．
答：排球的单价是70元，篮球的单价是100元．
【解析】设排球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用3500元购买的排球数量和用5000元购买的篮球数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出排球的单价，再将其代入(x+30)中，即可求出篮球的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BEA=∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】由平行线的性质得到∠BEA=∠FAE，由角平分线定义得到∠BAE=∠FAE，因此∠BEA=∠BAE，推出AB=BE，又AF=AB，得到BE=AF，又AF//BE，推出四边形ABEF是平行四边形，又AB=BE，即可证明四边形ABEF是菱形．
本题考查菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出AF=BE．
23.【答案】15
【解析】解：(1)将(6,m)代入y=13x+5，即m=63+5=7，则点B的坐标为(6,7)，
∵点A在一次函数上，
∴点A的坐标为(0,5)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO//BC，OA=BC=5，
∴点C的坐标为(6,2)，
又∵点C在反比例函数y=kx上，
∴k=6×2=12；
(2)①点D不在反比例函数的图象上，理由如下：
∵点D在l上，
∴n=13×3+5=6，
∴点D的坐标为(3,6)，
由(1)知k=12，
∴反比例函数为y=12x，
把D点横坐标代入得：y=123=4，
∵6≠4，
∴点D不在反比例函数的图象上；
②作线段DC的延长线，交x轴于点E，如图：
∵C(6,2)，D(3,6)，
设CD所在的直线为y=kx+b，将C、D代入得：
2=6k+b6=3k+b，
解得：k=−43b=10，
∴CD所在直线的解析式为：y=−43x+10，
令y=0，则0=−43x+10，
解得：x=152，
∴点E的坐标为(152,0)，
∴S△OCD=S△ODE−S△OCE
=12OE⋅yD−12OE⋅yC
=12OE(yD−yC)
=12×152×(6−2)
=15，
故答案为：15．
(1)根据点B代入直线l，求得m的值，再平行四边形OABC的性质，求出点C的坐标，又根据点C在反比例函数上，进而求得k的值；
(2)①根据点D代入直线l，求得n的值，求出点D的坐标，再将点D代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则，不在图象上；
②设CD所在直线的解析式为y=kx+b，把C、D代入求得解析式为y=−43x+10，进而解得点E的坐标为(152,0)，再根据S△OCD=S△ODE−S△OCE，求出△OCD的面积．
本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解．
24.【答案】1 x≠−2 y≠3 当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小
【解析】解：(1)∵3x−2x−1=3(x−1)+1x−1=3+1x−1，
∴示例中，m=1；
故答案为：1；
(2)3x+8x+2=3(x+2)+2x+2=3+2x+2；
(3)y=3x+8x+2=3+2x+2：
①∵x+2≠0，
∴x的取值范围是x≠−2，y的取值范围是y≠3；
故答案为：x≠−2，y≠3；
②当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而减小；
③当x+2=−2或−1或1或2，即x=−4或−3或−1或0时，
y=2或1或5或4，
∴函数y=3x+8x+2图象上所有“整数点”的坐标为(−4,2)，(−3,1)，(−1,5)，(0,4)．
(1)根据示例计算即可得出答案；
(2)根据示例计算即可得出答案；
(3)根据函数的图象和性质分别求解即可．
本题考查分式的变形、运算，能够理解题意，根据已知条件将式子进行正确的分解，结合题中定义做出合理的推理分析是解题的关键．
25.【答案】8 < 先变大后变小 8 > 先变小后变大
【解析】解：探究一：
(1)∵A点、B点在反比例函数y=8x上，
∴SA=SB=8，
过P点作PQ⊥y轴交反比例函数图象于点Q，过点Q作QD⊥x轴交于点D，
∴SP=8+PQ⋅DQ，
设P(x,y)，则Q(8y,y)，
∴PQ⋅DQ=y(x−8y)=xy−8=x(mx+b)−8=m(x+b2m)2−8−b24m，
∵m<0，b>0，
∴在x>0时，PQ⋅DQ的值先增大后减小，
∴SP
(2)∵m=−1，b=4，
∴直线的解析式为y=−x+4，
设A点坐标为(s,t)，
∴s+t=4，
∴CA=CB=8，
过P点作PE//x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F，
∴CP=8−2PE，
设E(x,y)，则P(ky,y)，
∴PE=x−ky，
∴2PE=2x−2ky=2(4−y)−2ky=8−2(y+ky)，
∴CP=16+2(y+ky)，
∵y>0，k>0，
∴y>0时，y+ky先减小后增大，
∴CP先减小后增大，
∴CA>CP，
故答案为：8，>，先减小后增大；
探究二：
设G(x,y)，则xy=k，
∵G是OQ的中点，
∴Q(2x,2y)，
∵AQ⊥x轴，
∴A(2x,k2x)，
∵BQ⊥y轴，
∴B(k2y,2y)，
∵S△QAB=12×(2y−k2x)×(2x−k2y)
=12×(4k−k−k+k24k)
=98k
=9，
∴k=8．
探究一：(1)根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解；
(2)根据直线解析式的特点，结合图形即可求解；
探究二：设G(x,y)，则xy=k，根据题意分别得到Q(2x,2y)，A(2x,k2x)，B(k2y,2y)，再由S△QAB=12×(2y−k2x)×(2x−k2y)=98k=9，即可求k=8．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，反比例函数k的几何意义是解题的关键．
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