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2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x>1 C. x≥1 D. x≤1
2. 为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析.在该问题中，下列说法正确的是( )
A. 这200名学生是总体的一个样本 B. 每个学生是个体
C. 这5000名学生体重的全体是总体 D. 样本容量是200名学生
3. 袋子中装有2个黑球和1个白球，随机摸出两个球.下列事件是必然事件的是( )
A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球一个黑球
C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球
4. 将分式2xy3x+2y中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的12
5. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是( )
A. 测量得出对角线相等
B. 测量得出对角线互相平分
C. 测量得出两组对边分别相等
D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
6. 函数y1=12x−1在平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=1y1的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. (−1)2= ______ ．
8. 若分式x2−1x+1的值为0，则x= ．
9. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查.并统计产品的合格情况，如图表示的是A产品的部分质检数据：估计该厂生产的A产品合格的概率是______ .(结果精确到0.01)
10. 将 15四舍五入到个位的结果是______ ．
11. 方程2x+2−1x=0的解是 ．
12. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x
…
−2
−1
1
2
…
y
…
a
b
m
n
…
若a>b，则m ______ n.(填“>”“<”或“=”)
13. 已知x= 3−1，则代数式x2+2x+3的值为______ ．
14. 如图，菱形ABCD面积为6，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，则AC= ______ ．
15. 如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上.已知∠ABC=30°，∠BAE=35°，则x= ______ ．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(8,a)，B(3,b)，以线段AB为对角线，作正方形AOBC，则点C的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 24− 16− 6；
(2)( 48+14 6)÷ 27．
18. (本小题6.0分)
计算：
(1)mm−1−3m−1m2−1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a)．
19. (本小题6.0分)
刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg.这种大米的原价是多少？
20. (本小题6.0分)
已知a，b都是实数，k为整数，若a+b2=k，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
(1)−2与______ 是关于1的一组“关联数”；
(2) 2+1与______ 是关于3的一组“关联数”；
(3)若a= 2+1,b= 2−1，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
21. (本小题7.0分)
为了解全市中小学生体质健康情况，某市自2019年起，开展了多次全市范围的调查，以下是根据调查结果整理得到的部分信息．
注：体测优秀率是指经测试，体质健康评定为“优秀”的学生占参加测试学生的总数的百分比．
(a)2019年和2022年全市四所重点监测学校学生体测优秀率统计图如图1．
(b)2019年和2022年全市中小学生体测优秀率按性别分类统计表如表：
2019年
2022年
男生
9.0%
11.1%
女生
3.4%
6.2%
(c)2005年以来全市中小学生体测优秀率统计图如图2．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增幅最大的学校是______ ，学生体测优秀率增速最快的学校是______ ；
注：学生体测优秀率增幅=2022年学生体侧优秀率−2019年学生体测优秀率；
学生体测优秀率增速=(2022年学生体侧优秀率−2019年学生体测优秀率)÷2019年学生体测优秀率．
(2)已知在2019年的调查样本中，男女学生的比例约为1：1，则2019年该市学生体测优秀率______ %(结果保留一位小数)；由计算可知，在2022年的调查样本中，男生人数______ 女生人数(填“>”“<”或“=”号)；
(3)根据截至2022年的调查数据推断，你认为“2025年该市中小学生体测优秀率提升到10%以上”的目标能够实现吗？请说明理由．
22. (本小题7.0分)
探索发现：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14⋯
(1)填空：14×5= ______ ，1n×(n+1)= ______ ；
(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15…第n次倒出的水量是1nL的1n+1…按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？为什么？
23. (本小题7.0分)
如图，BD是▱ABCD的对角线，分别过A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F且BE<12BD.G，H分别是边AB，CD上的点，AG=CH，连接GE，EH，HF，FG．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)判断四边形EHFG能否为菱形，并说明理由．
24. (本小题7.0分)
已知反比例函数y1=kx(k≠0)的图象经过(1,2)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)已知一次函数y2=x+b，
①当b=1时，直接写出当y1>y2时对应的x的取值范围；
②当x<−1时，对于x的每一个值，其对应的y1总大于y2直接写出b的取值范围．
25. (本小题8.0分)
“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组.类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为巳学函数图象交点的问题…
(1)方程x2−2x−3=0的解可以转化为一次函数y1和反比例函数y2的图象交点问题.请直接写出一对符合要求的y1和y2的表达式；
(2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程x|x−2|=4的解的个数．
26. (本小题8.0分)
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．
(1)如图1，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称；
(2)如图2，l1是一段不规则曲线l2是以O为圆心的圆的圆周，P是圆O内一定点.过P求作直线l，使得l与l1，l2分别相交于点A，B，且PA=PB.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由 x−1在实数范围内有意义，得
x−1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、这200名学生的体重情况是总体的一个样本，故A不符合题意；
B、每个学生的体重情况是个体，故B不符合题意；
C、这5000名学生体重的全体是总体，故C符合题意；
D、样本容量是200，故D不符合题意；
故选：C．
根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、摸出两个白球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、摸出一个白球一个黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、摸出两个黑球，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：2⋅2x⋅2y3⋅2x+2⋅2y=8xy6x+4y=8xy2(3x+2y)=4xy3x+2y=2⋅2xy3x+2y，
分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵y1=12x−1=x−22，
∴y=1y1=2x−2，
∴y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位得到的，
∴A选项符合题意．
故选：A．
先求出y的函数解析式，可知y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位得到的，即可得出选项．
本题考查了一次函数、反比例函数的图象，关键是熟练掌握函数图象的平移法则．
7.【答案】1
【解析】解： (−1)2= 1=1．
故答案为：1．
根据二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
8.【答案】1
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为0的条件是：①分子为0；②分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式x2−1x+1的值为0，得
x2−1=0且x+1≠0，
解得x=±1且x≠−1，
∴x=1．
故答案为：1．
9.【答案】0.95
【解析】解：由图可知，随着取样的不断增大，产品合格的频率在0.95附近波动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
故答案为：0.95．
由表中数据可以判断频率在0.95左右摆动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
10.【答案】4
【解析】解： 15= 3× 5=1.732×2.236=3.873≈4．
把 15转换成 3× 5，然后进行计算．(计算过程中保留4个有效数字)
本题主要考查了无理数的知识、实数的知识，难度不大．
11.【答案】x=2
【解析】
【分析】
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】
解：2x+2−1x=0，
方程两边都乘以x(x+2)得：2x−(x+2)=0，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x+2)≠0，
所以x=2是原方程的解，
故答案为：x=2．
12.【答案】>
【解析】解：∵−2<−1，a>b，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
∵1<2，
∴m>n．
故答案为：>．
根据反比例函数的变化性质判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵x= 3−1，
∴x+1= 3
∴x2+2x+3=(x+1)2+2=( 3)2+2=3+2=5．
故答案为：5．
先利用已知条件得x+1= 3，将所求代数式配方，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
14.【答案】4
【解析】解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF=2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF=2×2=4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC=BD=4．
故答案为：4
连接BD利用三角形中位线得出BD=2EF，再根据正方形性质求出AC即可．
本题主要考查正方形的性质和三角形中位线定理，关键是作辅助线构建三角形．
15.【答案】25
【解析】解：过点A作AF⊥EC于F，
根据旋转的性质得：旋转角为∠CAE，AE=AC，
∴∠CAE=x°，
∵∠ABC=30°，∠BAE=35°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=65°，
∴∠EAF=90°−∠AEC=25°，
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴∠EAF=∠CAF=25°，
∴∠CAE=∠EAF+∠CAF=50°．
∴x°=25°．
故答案为：25．
过点A作AF⊥EC于F，先根据旋转的性质得∠CAE=x°，由三角形的外角定理得∠AEC=65°，进而可求出∠EAF=25°，然后根据等腰三角形的性质得∠EAF=∠CAF=25°，据此可求出旋转角的度数．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合(三线合一)．
16.【答案】(11,−5)或(11,5)
【解析】解：∵A(8,a)，B(3,b)，
∴OA2=82+a2=a2+64，OB2=32+b2=b2+9，
AB2=(8−3)2+(a−b)2=(a−b)2+25，
∵四边形AOBC为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴a2+64=b2+9，
整理得：b2−a2=55，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2=OA2+OB2，
∴(a−b)2+25=a2+64+b2+9，
整理得：ab=−24，
∴b=−24a，
将b=−24a代入b2−a2=55，得：(−24a)2−a2=55，
整理得：a4+55a2−576=0，
∴(a2+64)(a2−9)=0，
∵a2+64>0，
∴a2−9=0，
∴a=±3，
①当a=3时，b=−8，②当a=−3时，b=8，
设正方形AOBC的对角线AB，OC交于点Q，
点C(m,n)，
∵点Q既是AB的中点又是OC的中点，
12×(8+3)=12(m+0)，12(a+b)=12(n+0)，
∴m=11，n=a+b，
①当a=3时，b=−8时，n=a+b=−5，
此时点C的坐标为(11,−5)，
②当a=−3时，b=8时，n=a+b=5，
此时点C的坐标为(11,5)．
综上所述：点C的坐标为(11,−5)或(11,5)．
故答案为：(11,−5)或(11,5)．
根据点A，B坐标得OA2=a2+64，OB2=b2+9，AB2=(a−b)2+25，由正方形的性质得OA=OB得b2−a2=55，AB2=OA2+OB2，即(a−b)2+25=a2+64+b2+9，整理得ab=−24，据此解方程组得a=3，b=−8，过a=−3，b=8，设正方形AOBC的对角线AB，OC交于点Q，点C(m,n)，根据中点坐标公式得12×(8+3)=12(m+0)，12(a+b)=12(n+0)，进而可求出点C的坐标．
此题主要考查了正方形的性质，二元二次方程组的应用等，解答此题的关键是根据正方形的性质构造出关于a，b的方程，通过解方程组求出a，b的值进而确定点C的坐标．
17.【答案】解：(1) 24− 16− 6
=2 6− 66− 6
=5 66；
(2)( 48+14 6)÷ 27
= 48 27+ 64 27
=43+ 212
=16+ 212．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)mm−1−3m−1m2−1
=mm−1−3m−1(m+1)(m−1)
=m(m+1)−(3m−1)(m+1)(m−1)
=m2−2m+1(m+1)(m−1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)
=m−1m+1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a)
=a2+2a+1a÷a2−1a
=(a+1)2a⋅a(a+1)(a−1)
=a+1a−1．
【解析】(1)利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得105x+1400.8x=40，
解得：x=7．
经检验，x=7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
20.【答案】4 5− 2
【解析】解：(1)设−2与x是关于1的一组“关联数”，
∴−2+x2=1，
解得：x=4，
∴−2与4是关于1的一组“关联数”，
故答案为：4；
(2)设 2+1与y是关于3的一组“关联数”，
∴ 2+1+y2=3，
解得：y=5− 2，
∴ 2+1与5− 2是关于3的一组“关联数”，
故答案为：5− 2；
(3)a2与b2是关于3的一组“关联数”，
理由：∵a= 2+1,b= 2−1，
∴a2+b22=( 2+1)2+( 2−1)22
=3+2 2+3−2 22
=62
=3，
∴a2与b2是关于3的一组“关联数”．
(1)设−2与x是关于1的一组“关联数”，根据“关联数”的定义，进行计算即可解答；
(2)设 2+1与y是关于3的一组“关联数”，根据“关联数”的定义，进行计算即可解答；
(3)先计算出a2+b22的值，然后根据关联数”的定义，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，理解“关联数”是解题的关键．
21.【答案】B D 6.2 <
【解析】解：(1)A学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为26%−22%=4%，
B学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为25%−20%=5%，
C学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为15%−12%=3%，
D学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为8%−4%=4%，
所以四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增幅最大的学校是B，
A学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(26%−22%)÷22%≈18.2%，
B学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(25%−20%)÷20%=25%，
C学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(15%−12%)÷12%=25%，
D学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(8%−4%)÷4%=100%，
所以四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增速最快的学校是D，
故答案为：B，D；
(2)在2019年的调查样本中，男女学生的比例约为1：1，则2019年该市学生体测优秀率为9.0%×1+3.4%×11+1=6.2%，
若在2022年男女学生的比例约为1：1，则2022年该市学生体测优秀率为11.1%×1+6.2%×11+1=8.65%，而2022年该市学生体测优秀率8.50%，
∵8.65%>8.50%，而男生优秀率11.%，女生优秀率6.2%，
∴男生人数小于女生人数，
故答案为：6.2%，<；
(3)能实现目标，理由：
从2014年到2022年这8年的平均年优秀率为(8.50%−3.30%)÷8=0.65%，
所以从2022年到2025年这3年的优秀率为0.65%×3=1.90%，
∵8.50%+1.90%=10.40%，
∴能实现目标．
(1)分别计算出这四个学校的体测优秀率增幅和体测优秀率增速，比较得出答案；
(2)根据加权平均数的计算方法计算其平均数即可；
(3)计算出平均年增长率，根据时间的长短计算增长率，再作出判断即可．
本题考查条形统计图、折线统计图以及统计表，理解统计图表中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握“学生体测优秀率增幅”和“学生体测优秀率增速”的计算方法是解决问题的关键．
22.【答案】14−15 1n−1n+1
【解析】解：(1)由题意，根据所给规律可得，
14×5=14−15；1n(n+1)=1n−1n+1．
故答案为：14−15；1n−1n+1．
(2)由题意，倒n次倒出的总水量为：
12+12×3+13×4+…+1n(n+1)
=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
∵nn+1<1，
∴这1L水不可以倒完．
(1)利用拆项方法变形即可得到结果；
(2)依据题意，列出相应的式子进行化简，并对化简的结果进行分析即可得解．
本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是从而所列的代数式中找到存在的规律．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AD=BC，AD//BC，
∴∠GBF=∠HDE，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF，
∴△BFG≌△DEH(SAS)，
∴FG=EH，∠GFB=∠HED，
∴FG//EH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
(2)解：四边形EHFG不可能是菱形，理由如下：
∵CF⊥BD，
∴∠EFC=90°，
∴∠EFH=∠EFC+∠CFH>90°，
∵∠FEH<90°，
∴∠EFH≠∠FEH，
∴EH≠FH，
∴平行四边形EHFG不可能是菱形．
【解析】(1)由平行四边形的性质推出△BFG≌△DEH(SAS)，得到DE=BF，由SAS即可证明△BFG≌△DEH，得到FG=EH，∠GFB=∠HED，因此FG//EH，即可证明四边形EHFG是平行四边形；
(2)由∠EFH>90°，∠FEH<90°，得到EH≠FH，得到平行四边形EHFG不可能是菱形．
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质，推出△BFG≌△DEH(SAS)．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y1=kx(k≠0)的图象经过(1,2)．
∴k=xy=1×2=2，
∴反比例函数关系式是y=2x．
(2)①当b=1时，一次函数关系式为y2=x+1，联立方程组得：
y=2xy=x+1，
解得x=−2y=−1或x=1y=2．
当y1>y2时，0
∴x=−1时，y1=2x=−2，y2=x+b=−1+b，
∵总有y1>y2，
∴−2>−1+b，
∴b<−1．
【解析】(1)待定系数法直接代入求出k值即可；
(2)①将两个函数联立方程组，根据增减性判断即可．
②将x=−1代入两个关系式，建立关于b的不等式求出即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程组是求交点坐标的基本技能，函数值大小的比较以数形结合最为便捷．
25.【答案】(1)∵x2−2x−3=0且x≠0，
∴方程两边同时除以x得：x−2=3x，
∴y1=x−2，y2=3x，
(2)∵x|x−2|=4且x≠0，
∴方程两边同时除以x得：|x−2|=4x，
∴x−2=±4x，
∴y1=x−2，y2=4x或y3=−x+2，y4=4x，
画图可得：
由此可知：方程x|x−2|=4的解有2个．
【解析】(1)将方程x2−2x−3=0两边同时除以x得：x−2=3x即可；
(2)将方程x|x−2|=4方程两边同时除以x得：|x−2|=4x，分情况画图即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的将方程转化为两个函数表达式是解决本题的关键．
26.【答案】解：(1)如图1，连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是中心对称图形，即四边形ABCD能绕点O转180度与自身重合，
∵△ADE和△BCF都是等边三角形，且AD=BC，△ADE≌△BCF(SSS)，
∴四边形ODEA旋转180度后能与四边形OBFC重合，
∴△ADE和△BCF成中心对称；
(2)如图2，
以P为圆心，PO为半径作圆P，
连接OP并延长交⊙P与O′，
以O′为圆心，⊙O半径长为半径作圆O′，
此时⊙O于⊙O′关于点P成中心对称，
⊙O′交l1于点A，
连接AP作直线交⊙O于点B，
此时点A与点B关于点P成中心对称，
∴PA=PB．
【解析】(1)四边形ABCD是中心对称图形，即四边形ABCD能绕点O转180度与自身重合，由△ADE和△BCF都是等边三角形，得四边形ODEA旋转180度后能与四边形OBFC重合，即可解答；
(2)以P为圆心，PO为半径作圆P，连接OP并延长交⊙P与O′，以O′为圆心，⊙O半径长为半径作圆O′，⊙O′交l1于点A，连接AP作直线交⊙O于点B，此时点A与点B关于点P成中心对称，即PA=PB．
本题考查了尺规作图的应用，圆的相关性质及对称的性质的应用是解题关键．
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x>1 C. x≥1 D. x≤1
2. 为了解某校5000名学生的体重情况，随机抽取了200名学生的体重进行统计分析.在该问题中，下列说法正确的是( )
A. 这200名学生是总体的一个样本 B. 每个学生是个体
C. 这5000名学生体重的全体是总体 D. 样本容量是200名学生
3. 袋子中装有2个黑球和1个白球，随机摸出两个球.下列事件是必然事件的是( )
A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球一个黑球
C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球
4. 将分式2xy3x+2y中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的12
5. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是( )
A. 测量得出对角线相等
B. 测量得出对角线互相平分
C. 测量得出两组对边分别相等
D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
6. 函数y1=12x−1在平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=1y1的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. (−1)2= ______ ．
8. 若分式x2−1x+1的值为0，则x= ．
9. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查.并统计产品的合格情况，如图表示的是A产品的部分质检数据：估计该厂生产的A产品合格的概率是______ .(结果精确到0.01)
10. 将 15四舍五入到个位的结果是______ ．
11. 方程2x+2−1x=0的解是 ．
12. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x
…
−2
−1
1
2
…
y
…
a
b
m
n
…
若a>b，则m ______ n.(填“>”“<”或“=”)
13. 已知x= 3−1，则代数式x2+2x+3的值为______ ．
14. 如图，菱形ABCD面积为6，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，则AC= ______ ．
15. 如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上.已知∠ABC=30°，∠BAE=35°，则x= ______ ．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(8,a)，B(3,b)，以线段AB为对角线，作正方形AOBC，则点C的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 24− 16− 6；
(2)( 48+14 6)÷ 27．
18. (本小题6.0分)
计算：
(1)mm−1−3m−1m2−1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a)．
19. (本小题6.0分)
刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg.这种大米的原价是多少？
20. (本小题6.0分)
已知a，b都是实数，k为整数，若a+b2=k，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
(1)−2与______ 是关于1的一组“关联数”；
(2) 2+1与______ 是关于3的一组“关联数”；
(3)若a= 2+1,b= 2−1，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
21. (本小题7.0分)
为了解全市中小学生体质健康情况，某市自2019年起，开展了多次全市范围的调查，以下是根据调查结果整理得到的部分信息．
注：体测优秀率是指经测试，体质健康评定为“优秀”的学生占参加测试学生的总数的百分比．
(a)2019年和2022年全市四所重点监测学校学生体测优秀率统计图如图1．
(b)2019年和2022年全市中小学生体测优秀率按性别分类统计表如表：
2019年
2022年
男生
9.0%
11.1%
女生
3.4%
6.2%
(c)2005年以来全市中小学生体测优秀率统计图如图2．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增幅最大的学校是______ ，学生体测优秀率增速最快的学校是______ ；
注：学生体测优秀率增幅=2022年学生体侧优秀率−2019年学生体测优秀率；
学生体测优秀率增速=(2022年学生体侧优秀率−2019年学生体测优秀率)÷2019年学生体测优秀率．
(2)已知在2019年的调查样本中，男女学生的比例约为1：1，则2019年该市学生体测优秀率______ %(结果保留一位小数)；由计算可知，在2022年的调查样本中，男生人数______ 女生人数(填“>”“<”或“=”号)；
(3)根据截至2022年的调查数据推断，你认为“2025年该市中小学生体测优秀率提升到10%以上”的目标能够实现吗？请说明理由．
22. (本小题7.0分)
探索发现：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14⋯
(1)填空：14×5= ______ ，1n×(n+1)= ______ ；
(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的14，第4次倒出的水量是14L的15…第n次倒出的水量是1nL的1n+1…按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？为什么？
23. (本小题7.0分)
如图，BD是▱ABCD的对角线，分别过A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F且BE<12BD.G，H分别是边AB，CD上的点，AG=CH，连接GE，EH，HF，FG．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)判断四边形EHFG能否为菱形，并说明理由．
24. (本小题7.0分)
已知反比例函数y1=kx(k≠0)的图象经过(1,2)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)已知一次函数y2=x+b，
①当b=1时，直接写出当y1>y2时对应的x的取值范围；
②当x<−1时，对于x的每一个值，其对应的y1总大于y2直接写出b的取值范围．
25. (本小题8.0分)
“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组.类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为巳学函数图象交点的问题…
(1)方程x2−2x−3=0的解可以转化为一次函数y1和反比例函数y2的图象交点问题.请直接写出一对符合要求的y1和y2的表达式；
(2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程x|x−2|=4的解的个数．
26. (本小题8.0分)
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．
(1)如图1，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称；
(2)如图2，l1是一段不规则曲线l2是以O为圆心的圆的圆周，P是圆O内一定点.过P求作直线l，使得l与l1，l2分别相交于点A，B，且PA=PB.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由 x−1在实数范围内有意义，得
x−1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、这200名学生的体重情况是总体的一个样本，故A不符合题意；
B、每个学生的体重情况是个体，故B不符合题意；
C、这5000名学生体重的全体是总体，故C符合题意；
D、样本容量是200，故D不符合题意；
故选：C．
根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、摸出两个白球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、摸出一个白球一个黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、摸出两个黑球，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：2⋅2x⋅2y3⋅2x+2⋅2y=8xy6x+4y=8xy2(3x+2y)=4xy3x+2y=2⋅2xy3x+2y，
分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵y1=12x−1=x−22，
∴y=1y1=2x−2，
∴y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位得到的，
∴A选项符合题意．
故选：A．
先求出y的函数解析式，可知y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位得到的，即可得出选项．
本题考查了一次函数、反比例函数的图象，关键是熟练掌握函数图象的平移法则．
7.【答案】1
【解析】解： (−1)2= 1=1．
故答案为：1．
根据二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
8.【答案】1
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为0的条件是：①分子为0；②分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式x2−1x+1的值为0，得
x2−1=0且x+1≠0，
解得x=±1且x≠−1，
∴x=1．
故答案为：1．
9.【答案】0.95
【解析】解：由图可知，随着取样的不断增大，产品合格的频率在0.95附近波动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
故答案为：0.95．
由表中数据可以判断频率在0.95左右摆动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
10.【答案】4
【解析】解： 15= 3× 5=1.732×2.236=3.873≈4．
把 15转换成 3× 5，然后进行计算．(计算过程中保留4个有效数字)
本题主要考查了无理数的知识、实数的知识，难度不大．
11.【答案】x=2
【解析】
【分析】
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】
解：2x+2−1x=0，
方程两边都乘以x(x+2)得：2x−(x+2)=0，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x+2)≠0，
所以x=2是原方程的解，
故答案为：x=2．
12.【答案】>
【解析】解：∵−2<−1，a>b，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
∵1<2，
∴m>n．
故答案为：>．
根据反比例函数的变化性质判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵x= 3−1，
∴x+1= 3
∴x2+2x+3=(x+1)2+2=( 3)2+2=3+2=5．
故答案为：5．
先利用已知条件得x+1= 3，将所求代数式配方，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
14.【答案】4
【解析】解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF=2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD=2EF=2×2=4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC=BD=4．
故答案为：4
连接BD利用三角形中位线得出BD=2EF，再根据正方形性质求出AC即可．
本题主要考查正方形的性质和三角形中位线定理，关键是作辅助线构建三角形．
15.【答案】25
【解析】解：过点A作AF⊥EC于F，
根据旋转的性质得：旋转角为∠CAE，AE=AC，
∴∠CAE=x°，
∵∠ABC=30°，∠BAE=35°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=65°，
∴∠EAF=90°−∠AEC=25°，
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴∠EAF=∠CAF=25°，
∴∠CAE=∠EAF+∠CAF=50°．
∴x°=25°．
故答案为：25．
过点A作AF⊥EC于F，先根据旋转的性质得∠CAE=x°，由三角形的外角定理得∠AEC=65°，进而可求出∠EAF=25°，然后根据等腰三角形的性质得∠EAF=∠CAF=25°，据此可求出旋转角的度数．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合(三线合一)．
16.【答案】(11,−5)或(11,5)
【解析】解：∵A(8,a)，B(3,b)，
∴OA2=82+a2=a2+64，OB2=32+b2=b2+9，
AB2=(8−3)2+(a−b)2=(a−b)2+25，
∵四边形AOBC为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴a2+64=b2+9，
整理得：b2−a2=55，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2=OA2+OB2，
∴(a−b)2+25=a2+64+b2+9，
整理得：ab=−24，
∴b=−24a，
将b=−24a代入b2−a2=55，得：(−24a)2−a2=55，
整理得：a4+55a2−576=0，
∴(a2+64)(a2−9)=0，
∵a2+64>0，
∴a2−9=0，
∴a=±3，
①当a=3时，b=−8，②当a=−3时，b=8，
设正方形AOBC的对角线AB，OC交于点Q，
点C(m,n)，
∵点Q既是AB的中点又是OC的中点，
12×(8+3)=12(m+0)，12(a+b)=12(n+0)，
∴m=11，n=a+b，
①当a=3时，b=−8时，n=a+b=−5，
此时点C的坐标为(11,−5)，
②当a=−3时，b=8时，n=a+b=5，
此时点C的坐标为(11,5)．
综上所述：点C的坐标为(11,−5)或(11,5)．
故答案为：(11,−5)或(11,5)．
根据点A，B坐标得OA2=a2+64，OB2=b2+9，AB2=(a−b)2+25，由正方形的性质得OA=OB得b2−a2=55，AB2=OA2+OB2，即(a−b)2+25=a2+64+b2+9，整理得ab=−24，据此解方程组得a=3，b=−8，过a=−3，b=8，设正方形AOBC的对角线AB，OC交于点Q，点C(m,n)，根据中点坐标公式得12×(8+3)=12(m+0)，12(a+b)=12(n+0)，进而可求出点C的坐标．
此题主要考查了正方形的性质，二元二次方程组的应用等，解答此题的关键是根据正方形的性质构造出关于a，b的方程，通过解方程组求出a，b的值进而确定点C的坐标．
17.【答案】解：(1) 24− 16− 6
=2 6− 66− 6
=5 66；
(2)( 48+14 6)÷ 27
= 48 27+ 64 27
=43+ 212
=16+ 212．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)mm−1−3m−1m2−1
=mm−1−3m−1(m+1)(m−1)
=m(m+1)−(3m−1)(m+1)(m−1)
=m2−2m+1(m+1)(m−1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)
=m−1m+1；
(2)(a+2+1a)÷(a−1a)
=a2+2a+1a÷a2−1a
=(a+1)2a⋅a(a+1)(a−1)
=a+1a−1．
【解析】(1)利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得105x+1400.8x=40，
解得：x=7．
经检验，x=7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．
20.【答案】4 5− 2
【解析】解：(1)设−2与x是关于1的一组“关联数”，
∴−2+x2=1，
解得：x=4，
∴−2与4是关于1的一组“关联数”，
故答案为：4；
(2)设 2+1与y是关于3的一组“关联数”，
∴ 2+1+y2=3，
解得：y=5− 2，
∴ 2+1与5− 2是关于3的一组“关联数”，
故答案为：5− 2；
(3)a2与b2是关于3的一组“关联数”，
理由：∵a= 2+1,b= 2−1，
∴a2+b22=( 2+1)2+( 2−1)22
=3+2 2+3−2 22
=62
=3，
∴a2与b2是关于3的一组“关联数”．
(1)设−2与x是关于1的一组“关联数”，根据“关联数”的定义，进行计算即可解答；
(2)设 2+1与y是关于3的一组“关联数”，根据“关联数”的定义，进行计算即可解答；
(3)先计算出a2+b22的值，然后根据关联数”的定义，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，理解“关联数”是解题的关键．
21.【答案】B D 6.2 <
【解析】解：(1)A学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为26%−22%=4%，
B学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为25%−20%=5%，
C学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为15%−12%=3%，
D学校从2019年到2022年学生体测优秀率增幅为8%−4%=4%，
所以四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增幅最大的学校是B，
A学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(26%−22%)÷22%≈18.2%，
B学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(25%−20%)÷20%=25%，
C学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(15%−12%)÷12%=25%，
D学校从2019年到2022年学生体测优秀率增速为(8%−4%)÷4%=100%，
所以四所重点监测学校中，从2019年到2022年，学生体测优秀率增速最快的学校是D，
故答案为：B，D；
(2)在2019年的调查样本中，男女学生的比例约为1：1，则2019年该市学生体测优秀率为9.0%×1+3.4%×11+1=6.2%，
若在2022年男女学生的比例约为1：1，则2022年该市学生体测优秀率为11.1%×1+6.2%×11+1=8.65%，而2022年该市学生体测优秀率8.50%，
∵8.65%>8.50%，而男生优秀率11.%，女生优秀率6.2%，
∴男生人数小于女生人数，
故答案为：6.2%，<；
(3)能实现目标，理由：
从2014年到2022年这8年的平均年优秀率为(8.50%−3.30%)÷8=0.65%，
所以从2022年到2025年这3年的优秀率为0.65%×3=1.90%，
∵8.50%+1.90%=10.40%，
∴能实现目标．
(1)分别计算出这四个学校的体测优秀率增幅和体测优秀率增速，比较得出答案；
(2)根据加权平均数的计算方法计算其平均数即可；
(3)计算出平均年增长率，根据时间的长短计算增长率，再作出判断即可．
本题考查条形统计图、折线统计图以及统计表，理解统计图表中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握“学生体测优秀率增幅”和“学生体测优秀率增速”的计算方法是解决问题的关键．
22.【答案】14−15 1n−1n+1
【解析】解：(1)由题意，根据所给规律可得，
14×5=14−15；1n(n+1)=1n−1n+1．
故答案为：14−15；1n−1n+1．
(2)由题意，倒n次倒出的总水量为：
12+12×3+13×4+…+1n(n+1)
=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
∵nn+1<1，
∴这1L水不可以倒完．
(1)利用拆项方法变形即可得到结果；
(2)依据题意，列出相应的式子进行化简，并对化简的结果进行分析即可得解．
本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是从而所列的代数式中找到存在的规律．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，AD=BC，AD//BC，
∴∠GBF=∠HDE，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF，
∴△BFG≌△DEH(SAS)，
∴FG=EH，∠GFB=∠HED，
∴FG//EH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
(2)解：四边形EHFG不可能是菱形，理由如下：
∵CF⊥BD，
∴∠EFC=90°，
∴∠EFH=∠EFC+∠CFH>90°，
∵∠FEH<90°，
∴∠EFH≠∠FEH，
∴EH≠FH，
∴平行四边形EHFG不可能是菱形．
【解析】(1)由平行四边形的性质推出△BFG≌△DEH(SAS)，得到DE=BF，由SAS即可证明△BFG≌△DEH，得到FG=EH，∠GFB=∠HED，因此FG//EH，即可证明四边形EHFG是平行四边形；
(2)由∠EFH>90°，∠FEH<90°，得到EH≠FH，得到平行四边形EHFG不可能是菱形．
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质，推出△BFG≌△DEH(SAS)．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y1=kx(k≠0)的图象经过(1,2)．
∴k=xy=1×2=2，
∴反比例函数关系式是y=2x．
(2)①当b=1时，一次函数关系式为y2=x+1，联立方程组得：
y=2xy=x+1，
解得x=−2y=−1或x=1y=2．
当y1>y2时，0
∴x=−1时，y1=2x=−2，y2=x+b=−1+b，
∵总有y1>y2，
∴−2>−1+b，
∴b<−1．
【解析】(1)待定系数法直接代入求出k值即可；
(2)①将两个函数联立方程组，根据增减性判断即可．
②将x=−1代入两个关系式，建立关于b的不等式求出即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程组是求交点坐标的基本技能，函数值大小的比较以数形结合最为便捷．
25.【答案】(1)∵x2−2x−3=0且x≠0，
∴方程两边同时除以x得：x−2=3x，
∴y1=x−2，y2=3x，
(2)∵x|x−2|=4且x≠0，
∴方程两边同时除以x得：|x−2|=4x，
∴x−2=±4x，
∴y1=x−2，y2=4x或y3=−x+2，y4=4x，
画图可得：
由此可知：方程x|x−2|=4的解有2个．
【解析】(1)将方程x2−2x−3=0两边同时除以x得：x−2=3x即可；
(2)将方程x|x−2|=4方程两边同时除以x得：|x−2|=4x，分情况画图即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的将方程转化为两个函数表达式是解决本题的关键．
26.【答案】解：(1)如图1，连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是中心对称图形，即四边形ABCD能绕点O转180度与自身重合，
∵△ADE和△BCF都是等边三角形，且AD=BC，△ADE≌△BCF(SSS)，
∴四边形ODEA旋转180度后能与四边形OBFC重合，
∴△ADE和△BCF成中心对称；
(2)如图2，
以P为圆心，PO为半径作圆P，
连接OP并延长交⊙P与O′，
以O′为圆心，⊙O半径长为半径作圆O′，
此时⊙O于⊙O′关于点P成中心对称，
⊙O′交l1于点A，
连接AP作直线交⊙O于点B，
此时点A与点B关于点P成中心对称，
∴PA=PB．
【解析】(1)四边形ABCD是中心对称图形，即四边形ABCD能绕点O转180度与自身重合，由△ADE和△BCF都是等边三角形，得四边形ODEA旋转180度后能与四边形OBFC重合，即可解答；
(2)以P为圆心，PO为半径作圆P，连接OP并延长交⊙P与O′，以O′为圆心，⊙O半径长为半径作圆O′，⊙O′交l1于点A，连接AP作直线交⊙O于点B，此时点A与点B关于点P成中心对称，即PA=PB．
本题考查了尺规作图的应用，圆的相关性质及对称的性质的应用是解题关键．
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