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2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学（含解析）
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这是一份2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的倒数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下列运算正确的是( )
A. a3+a3=a6 B. (−ab)2=a2b
C. 2aa−1−2a−1=2 D. 2a6a3=2a2
3. 如图，直线AB与CD相交于点E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM//AB.当∠DEB=10°时，∠F的度数是( )
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 85°
4. 一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积为( )
A. 10cm² B. 20cm² C. 12.5cm² D. 25cm²
5. 若实数a满足0
6. 下列说法正确的是( )
A. “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B. 数据4，3，5，5，0的中位数和众数都是5
C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数x甲.=x乙.=10，方差s甲2=1.25，s乙2=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定
7. 已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+c4=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的负实根 D. 有两个不相等的正实根
8. 观察图寻找规律，在“□”处填上的数字是( )
A. 128
B. 136
C. 162
D. 188
9. 我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 30x−301.2x=20 B. 30x−30x−20=1.2
C. 301.2x−30x=20 D. 30x−20−30x=1.2
10. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 如图，P为正方形ABCD内一点，PC=1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
12. 如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，下列判断正确个数为( )
①ab<0；
②b−3a=0；
③ax2+bx≥m−2；
④点(−4.5,y1)和点(1.5,y2)都在此函数图象上，则y1=y2；
⑤9a=8−4m．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 把多项式2x3+4x2y+2xy2分解因式的结果是______ ．
14. 如果 x+5+(y−6)2=0，那么x+2y的算术平方根为______．
15. 在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为______.(结果保留π)
16. 关于x的不等式组x−a>03−2x>−1整数解有2个，则a的取值范围是______．
17. 如图，正比例函数y=−x与反比例函数y=kx的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，若△ABD的面积为6，则k= ______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算： 4+(1+π)0−2cos45°+|1− 2|．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)，其中a= 5+1，b= 5−1．
20. (本小题8.0分)
在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，点A、B、F三点共线，且BC//EF，同一时刻，光线与旗杆的夹角为30°，斜坡CE的坡比为1： 3，旗杆的高度为多少米？(结果保留根号)
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有四个标记为1、2、3的小球(材质、形状、大小等完全相同)，甲先从中随机取出一个小球，记下数字为x后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x,y)．
(1)请用列表或画树状图的方法写出点P所有可能的坐标；
(2)求点P在函数y=−x2+2的图象上的概率．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
(1)共有______名同学参与问卷调查；
(2)补全条形统计图和扇形统计图；
(3)全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，点E在线段AC上，且ED=EA．
(1)求证：ED是⊙O的切线．
(2)若ED= 3,∠B=60°，求⊙O的半径．
25. (本小题8.0分)
据气象局预报，12月初重庆市将有一次强降温雨雪天气.某服装店决定购进A、B两种品牌鹅绒服.购进A种品牌鹅绒服8件，B种品牌鹅绒服3件，需9200元；若购进A种品牌鹅绒服5件，B种品牌鹅绒服6件，需9050元．
(1)求购进A、B两种品牌鹅绒服每件各需多少元？
(2)元旦临近，服装店决定再次购买A、B两种品牌鹅绒服共20件，且A种品牌鹅绒服的数量不超过B种品牌鹅绒服数量的4倍，A种品牌鹅绒服以每件350元的利润销售，B种品牌鹅绒服按照进价提高25%进行销售，怎样进货才能使该服装店在销售完这批品牌鹅绒服时获利最多，最多为多少元？(用函数知识解决)
26. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5,−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的倒数是−2，
故选：A．
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、(−ab)2=a2b2，故B不符合题意；
C、2aa−1−2a−1=2(a−1)a−1=2，故C符合题意；
D、2a6a3=2a3，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，分式的加减法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠DEB=10°，
∴∠AEC=10°，
∴∠BEC=180°−10°=170°，
∵EN平分∠CEB，
∴∠2=85°，
∵FM//AB，
∴∠F=∠2=85°，
故选：D．
由对顶角求得∠AEC=10°，由角平分线的定义求得∠2=85°，根据平行线的性质即可求得结果．
本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由长方体的主视图和左视图得长方体的长为4cm，宽为2.5cm，
故俯视图的面积=4×2.5=10(cm2).
故选：A．
主视图可得长方体的长与高，左视图可得长方体的宽与高，俯视图的面积=长×宽．
本题考查了由三视图判断几何体，解决本题的难点是根据所给视图得到长方体的长与宽，关键是理解俯视图的面积等于长方体的长×宽．
5.【答案】B
【解析】解：∵0
=a+1+1−a
=2．
故选：B．
直接利用a的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故A选项错误；
B、数据4，3，5，5，0的中位数是4，众数是5，故B选项错误；
C、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故C选项错误；
D、∵方差s甲2>s乙2，
∴乙组数据比甲组数据稳定正确，故D选项正确．
故选：D．
根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
7.【答案】C
【解析】解：在此方程中Δ=b2−4ac=(a+b)2−4c×c4=(a+b)2−c2，
∵a，b，c是△ABC三条边的长，
∴a>0，b>0，c>0.cc2，
∴Δ=(a+b)2−c2>0，
故方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是−a+bc<0，两根的积是14>0，
∴方程cx2+(a+b)x+c4=0的根的情况是有两个不相等的负根．
故选：C．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
此题考查了根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8.【答案】C
【解析】解：26+48+88=162．
故选：C．
由图中看出，从2开始，每相邻3个数的和等于第4个数，那么所求的数是26+48+88=162．
解决本题的关键的根据所给的数得到四个数之间的规律．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴30x−301.2x=20．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积=12×4×1=2．
故选：A．
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
本题考查了作图−基本作图，熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．也考查了交平分线的性质．
11.【答案】B
【解析】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCD=∠PCE=90°，PC=CE=1，
∴PE= PC2+CE2= 1+1= 2，
故选：B．
由旋转的性质可得∠BCD=∠PCE90°，PC=CE=1，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−32，
∴b=3a<0，
∴ab>0，故①错误；
由上述可知，b=3a，
∴b−3a=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=−32时，y取得最大值为m，
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m−2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−32=−1.5，−1.5−(−4.5)=1.5−(−1.5)，
∴y1=y2，故④正确；
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴94a−32b+2=m，
整理得：9a−6b+8=4m，
∵b=3a，
∴9a−18a+8=4m，
∴9a=8−4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故选：C．
根据抛物线的开口方向得a<0，由顶点坐标可得b=3a<0，b−3a=0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x=−32时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标(−32,m)代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题．
13.【答案】2x(x+y)2
【解析】解：原式=2x(x2+2xy+y2)
=2x(x+y)2．
故答案为：2x(x+y)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】 7
【解析】解：由题意得，x+5=0，y−6=0，
∴x=−5，y=6，
∴x+2y=−5+12=7，
∴x+2y的算术平方根为 7．
故答案为： 7．
先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
15.【答案】4π3
【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，∠BAC=60°，
由旋转的性质得，∠BAB′=∠BAC=60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为60π⋅4180=4π3，
故答案为：4π3．
由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论．
本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，含30度直角三角形的性质，熟记弧长公式是解决问题的关键．
16.【答案】−1≤a<0
【解析】解：x−a>0①3−2x>−1②，
解①得x>a，
解②得x<2．
不等式组有2个整数解，则整数解是0，1．
故−1≤a<0．
故答案是：−1≤a<0．
首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】−6
【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、C两点，
∴A、C两点关于原点对称，
∴OA=OC，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴OB=OD，即O为线段BD的中点，
∴△AOB的面积=12△ABD的面积=3，
∵△AOB的面积=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
首先由正比例函数y=−x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、C两点，可得O为线段AC的中点，O为线段BD的中点，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOB的面积等于12|k|，从而求出k的值．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式．做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
18.【答案】解： 4+(1+π)0−2cos45°+|1− 2|
=2+1−2× 22+ 2−1
=2+1− 2+ 2−1
=2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)
=aba−b÷a−b+2b(a+b)(a−b)
=aba−b⋅(a+b)(a−b)a+b
=ab，
当a= 5+1，b= 5−1时，原式=( 5+1)( 5−1)
=5−1
=4．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：作DG⊥AF于G，CH⊥DG于H，
则四边形BGHC为矩形，
∴BG=CH，GH=BC=6，
设CH=x米，
∵斜坡CE的坡比为1： 3，
∴DH= 3x，
由勾股定理得，CH2+DH2=CD2，即x2+( 3x)2=42，
解得，x=2，
则BG=CH=2，DH=2 3，
∴DG=GH+HD=6+2 3，
在Rt△AGD中，tanA=DGAG，
则AG=DGtanA=6 3+6，
∴AB=AG−BG=6 3+4，
答：旗杆的高度为(6 3+4)米．
【解析】作DG⊥AF于G，CH⊥DG于H，设CH=x米，根据坡度的概念用x表示出DH，根据勾股定理求出x，根据正切的定义求出AG，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)列表法
乙 甲
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
解法2：树状图
由表格(或树状图)得，点P所有可能的坐标为：
(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)
(2)把以上9个点分别代入函数解析式y=−x2+2得，只有(1,1)在该函数的图象上，
所以P（点P在函数式y=-x 2+2的图象上）=19．
答：点P在函数y=−x2+2的图象上的概率为19．
【解析】(1)根据列表分与树形图法即可写出结果；
(2)把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解．
本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或树形图．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM，
AM=DM∠A=∠DAB=CD，
∴△ABM≌△DCM(SAS)；
(2)解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF=90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM=DM=AB，
∴AD=2AB，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．
【解析】(1)求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；
(2)求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】100
【解析】解：(1)参与问卷调查的学生人数为(8+2)÷10%=100人，
故答案为：100；
(2)读4本的女生人数为100×15%−10=5人，
读2本人数所占百分比为20+18100×100%=38%，
补全图形如下：
(3)估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
(1)由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
(2)总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
(3)总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：连接OD．
∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ACB=90°，BC为直径，
∴AC是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∵ED= 3，
∴ED=EC=EA= 3．
∴AC=2 3，
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=2．
∴⊙O的半径为1．
【解析】(1)连接OD.根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据切线的性质得到ED=EC，求得ED=EC=EA= 3.根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设购进A种品牌鹅绒服每件需x元，购进B种鹅绒服每件需y元，
根据题意得：8x+3y=92005x+6y=9050，
解得：x=850y=800，
答：购进A种品牌鹅绒服每件需850元，购进B种鹅绒服每件需800元．
(2)设购进A种品牌鹅绒服a件，购进B种鹅绒服(20−a)件，获得的利润为Q，
根据题意可知，获得的利润Q=350a+(800×25%)(20−a)0
解不等式得：0
∴a可以是1，2，3，4，
∵函数Q=150a+4000为增函数，
∴当a=4时，即购进A种品牌鹅绒服4件，购进B种鹅绒服16件时，获利最多为4600元．
【解析】(1)设购进A种品牌鹅绒服每件需x元，购进B种鹅绒服每件需y元，根据题意列方程组求解即可；
(2)设购进A种品牌鹅绒服a件，购进B种鹅绒服(20−a)件，根据题意列方程，利用函数性质和不等式求出最大值．
本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，根据题意列方程，找到解后，再利用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就是可行的方案个数，再利用函数性质找到最大值．
26.【答案】解：(1)∵直线l：y=−x−1过点A，
∴A(−1,0)，
又∵D(5,−6)，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：−1−b+c=0−25+5b+c=−6，
解得b=3c=4．
∴抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4．
(2)如图，
设点P(x,−x2+3x+4)，
∵PE//x轴，PF//y轴，
则E(x2−3x−5,−x2+3x+4)，F(x,−x−1)，
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴−1
∴PE+PF=2(−x2+4x+5)=−2(x−2)2+18．
∵−1
(3)由(1)可求NC=5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NC−//PM，设点p(t,−t2+3t+4)，则M(t,−t−1)，
由题意知：|yP−yM|=5，即|−t2+3t+4+t+1|=5．
化简得：t2−4t=0或t2−4t−10=0，
解得：t1=0(舍去)，t2=4，t3=2+ 14，t4=2− 14．
则符合条件的M点有三个：M1(4,−5),M2(2+ 14,−3− 14)，M3(2− 14,−3+ 14)．
【解析】(1)由直线l：y=−x−1可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
(2)PE+PF=2PF=2(−x2+3x+4+x+1)=−2(x−2)2+18，即可求解；
(3)分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的倒数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 下列运算正确的是( )
A. a3+a3=a6 B. (−ab)2=a2b
C. 2aa−1−2a−1=2 D. 2a6a3=2a2
3. 如图，直线AB与CD相交于点E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM//AB.当∠DEB=10°时，∠F的度数是( )
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 85°
4. 一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积为( )
A. 10cm² B. 20cm² C. 12.5cm² D. 25cm²
5. 若实数a满足0
6. 下列说法正确的是( )
A. “明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B. 数据4，3，5，5，0的中位数和众数都是5
C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数x甲.=x乙.=10，方差s甲2=1.25，s乙2=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定
7. 已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+c4=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的负实根 D. 有两个不相等的正实根
8. 观察图寻找规律，在“□”处填上的数字是( )
A. 128
B. 136
C. 162
D. 188
9. 我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 30x−301.2x=20 B. 30x−30x−20=1.2
C. 301.2x−30x=20 D. 30x−20−30x=1.2
10. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 如图，P为正方形ABCD内一点，PC=1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
12. 如图，函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，下列判断正确个数为( )
①ab<0；
②b−3a=0；
③ax2+bx≥m−2；
④点(−4.5,y1)和点(1.5,y2)都在此函数图象上，则y1=y2；
⑤9a=8−4m．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 把多项式2x3+4x2y+2xy2分解因式的结果是______ ．
14. 如果 x+5+(y−6)2=0，那么x+2y的算术平方根为______．
15. 在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为______.(结果保留π)
16. 关于x的不等式组x−a>03−2x>−1整数解有2个，则a的取值范围是______．
17. 如图，正比例函数y=−x与反比例函数y=kx的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，若△ABD的面积为6，则k= ______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算： 4+(1+π)0−2cos45°+|1− 2|．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)，其中a= 5+1，b= 5−1．
20. (本小题8.0分)
在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，点A、B、F三点共线，且BC//EF，同一时刻，光线与旗杆的夹角为30°，斜坡CE的坡比为1： 3，旗杆的高度为多少米？(结果保留根号)
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有四个标记为1、2、3的小球(材质、形状、大小等完全相同)，甲先从中随机取出一个小球，记下数字为x后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x,y)．
(1)请用列表或画树状图的方法写出点P所有可能的坐标；
(2)求点P在函数y=−x2+2的图象上的概率．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
23. (本小题8.0分)
八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
(1)共有______名同学参与问卷调查；
(2)补全条形统计图和扇形统计图；
(3)全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，点E在线段AC上，且ED=EA．
(1)求证：ED是⊙O的切线．
(2)若ED= 3,∠B=60°，求⊙O的半径．
25. (本小题8.0分)
据气象局预报，12月初重庆市将有一次强降温雨雪天气.某服装店决定购进A、B两种品牌鹅绒服.购进A种品牌鹅绒服8件，B种品牌鹅绒服3件，需9200元；若购进A种品牌鹅绒服5件，B种品牌鹅绒服6件，需9050元．
(1)求购进A、B两种品牌鹅绒服每件各需多少元？
(2)元旦临近，服装店决定再次购买A、B两种品牌鹅绒服共20件，且A种品牌鹅绒服的数量不超过B种品牌鹅绒服数量的4倍，A种品牌鹅绒服以每件350元的利润销售，B种品牌鹅绒服按照进价提高25%进行销售，怎样进货才能使该服装店在销售完这批品牌鹅绒服时获利最多，最多为多少元？(用函数知识解决)
26. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5,−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的倒数是−2，
故选：A．
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、(−ab)2=a2b2，故B不符合题意；
C、2aa−1−2a−1=2(a−1)a−1=2，故C符合题意；
D、2a6a3=2a3，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，分式的加减法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠DEB=10°，
∴∠AEC=10°，
∴∠BEC=180°−10°=170°，
∵EN平分∠CEB，
∴∠2=85°，
∵FM//AB，
∴∠F=∠2=85°，
故选：D．
由对顶角求得∠AEC=10°，由角平分线的定义求得∠2=85°，根据平行线的性质即可求得结果．
本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由长方体的主视图和左视图得长方体的长为4cm，宽为2.5cm，
故俯视图的面积=4×2.5=10(cm2).
故选：A．
主视图可得长方体的长与高，左视图可得长方体的宽与高，俯视图的面积=长×宽．
本题考查了由三视图判断几何体，解决本题的难点是根据所给视图得到长方体的长与宽，关键是理解俯视图的面积等于长方体的长×宽．
5.【答案】B
【解析】解：∵0
=a+1+1−a
=2．
故选：B．
直接利用a的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故A选项错误；
B、数据4，3，5，5，0的中位数是4，众数是5，故B选项错误；
C、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故C选项错误；
D、∵方差s甲2>s乙2，
∴乙组数据比甲组数据稳定正确，故D选项正确．
故选：D．
根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
7.【答案】C
【解析】解：在此方程中Δ=b2−4ac=(a+b)2−4c×c4=(a+b)2−c2，
∵a，b，c是△ABC三条边的长，
∴a>0，b>0，c>0.c
∴Δ=(a+b)2−c2>0，
故方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是−a+bc<0，两根的积是14>0，
∴方程cx2+(a+b)x+c4=0的根的情况是有两个不相等的负根．
故选：C．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
此题考查了根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8.【答案】C
【解析】解：26+48+88=162．
故选：C．
由图中看出，从2开始，每相邻3个数的和等于第4个数，那么所求的数是26+48+88=162．
解决本题的关键的根据所给的数得到四个数之间的规律．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴30x−301.2x=20．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积=12×4×1=2．
故选：A．
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
本题考查了作图−基本作图，熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．也考查了交平分线的性质．
11.【答案】B
【解析】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCD=∠PCE=90°，PC=CE=1，
∴PE= PC2+CE2= 1+1= 2，
故选：B．
由旋转的性质可得∠BCD=∠PCE90°，PC=CE=1，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−32，
∴b=3a<0，
∴ab>0，故①错误；
由上述可知，b=3a，
∴b−3a=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x=−32时，y取得最大值为m，
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m−2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−32=−1.5，−1.5−(−4.5)=1.5−(−1.5)，
∴y1=y2，故④正确；
∵函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点为(−32,m)，
∴94a−32b+2=m，
整理得：9a−6b+8=4m，
∵b=3a，
∴9a−18a+8=4m，
∴9a=8−4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故选：C．
根据抛物线的开口方向得a<0，由顶点坐标可得b=3a<0，b−3a=0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x=−32时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标(−32,m)代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题．
13.【答案】2x(x+y)2
【解析】解：原式=2x(x2+2xy+y2)
=2x(x+y)2．
故答案为：2x(x+y)2．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】 7
【解析】解：由题意得，x+5=0，y−6=0，
∴x=−5，y=6，
∴x+2y=−5+12=7，
∴x+2y的算术平方根为 7．
故答案为： 7．
先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
15.【答案】4π3
【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，∠BAC=60°，
由旋转的性质得，∠BAB′=∠BAC=60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为60π⋅4180=4π3，
故答案为：4π3．
由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论．
本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，含30度直角三角形的性质，熟记弧长公式是解决问题的关键．
16.【答案】−1≤a<0
【解析】解：x−a>0①3−2x>−1②，
解①得x>a，
解②得x<2．
不等式组有2个整数解，则整数解是0，1．
故−1≤a<0．
故答案是：−1≤a<0．
首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】−6
【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、C两点，
∴A、C两点关于原点对称，
∴OA=OC，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴OB=OD，即O为线段BD的中点，
∴△AOB的面积=12△ABD的面积=3，
∵△AOB的面积=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
首先由正比例函数y=−x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、C两点，可得O为线段AC的中点，O为线段BD的中点，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOB的面积等于12|k|，从而求出k的值．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式．做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
18.【答案】解： 4+(1+π)0−2cos45°+|1− 2|
=2+1−2× 22+ 2−1
=2+1− 2+ 2−1
=2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)
=aba−b÷a−b+2b(a+b)(a−b)
=aba−b⋅(a+b)(a−b)a+b
=ab，
当a= 5+1，b= 5−1时，原式=( 5+1)( 5−1)
=5−1
=4．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：作DG⊥AF于G，CH⊥DG于H，
则四边形BGHC为矩形，
∴BG=CH，GH=BC=6，
设CH=x米，
∵斜坡CE的坡比为1： 3，
∴DH= 3x，
由勾股定理得，CH2+DH2=CD2，即x2+( 3x)2=42，
解得，x=2，
则BG=CH=2，DH=2 3，
∴DG=GH+HD=6+2 3，
在Rt△AGD中，tanA=DGAG，
则AG=DGtanA=6 3+6，
∴AB=AG−BG=6 3+4，
答：旗杆的高度为(6 3+4)米．
【解析】作DG⊥AF于G，CH⊥DG于H，设CH=x米，根据坡度的概念用x表示出DH，根据勾股定理求出x，根据正切的定义求出AG，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)列表法
乙 甲
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
解法2：树状图
由表格(或树状图)得，点P所有可能的坐标为：
(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)
(2)把以上9个点分别代入函数解析式y=−x2+2得，只有(1,1)在该函数的图象上，
所以P（点P在函数式y=-x 2+2的图象上）=19．
答：点P在函数y=−x2+2的图象上的概率为19．
【解析】(1)根据列表分与树形图法即可写出结果；
(2)把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解．
本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或树形图．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM，
AM=DM∠A=∠DAB=CD，
∴△ABM≌△DCM(SAS)；
(2)解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF=90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM=DM=AB，
∴AD=2AB，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．
【解析】(1)求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；
(2)求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】100
【解析】解：(1)参与问卷调查的学生人数为(8+2)÷10%=100人，
故答案为：100；
(2)读4本的女生人数为100×15%−10=5人，
读2本人数所占百分比为20+18100×100%=38%，
补全图形如下：
(3)估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
(1)由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
(2)总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
(3)总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：连接OD．
∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ACB=90°，BC为直径，
∴AC是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∵ED= 3，
∴ED=EC=EA= 3．
∴AC=2 3，
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=2．
∴⊙O的半径为1．
【解析】(1)连接OD.根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据切线的性质得到ED=EC，求得ED=EC=EA= 3.根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设购进A种品牌鹅绒服每件需x元，购进B种鹅绒服每件需y元，
根据题意得：8x+3y=92005x+6y=9050，
解得：x=850y=800，
答：购进A种品牌鹅绒服每件需850元，购进B种鹅绒服每件需800元．
(2)设购进A种品牌鹅绒服a件，购进B种鹅绒服(20−a)件，获得的利润为Q，
根据题意可知，获得的利润Q=350a+(800×25%)(20−a)0
解不等式得：0
∴a可以是1，2，3，4，
∵函数Q=150a+4000为增函数，
∴当a=4时，即购进A种品牌鹅绒服4件，购进B种鹅绒服16件时，获利最多为4600元．
【解析】(1)设购进A种品牌鹅绒服每件需x元，购进B种鹅绒服每件需y元，根据题意列方程组求解即可；
(2)设购进A种品牌鹅绒服a件，购进B种鹅绒服(20−a)件，根据题意列方程，利用函数性质和不等式求出最大值．
本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，根据题意列方程，找到解后，再利用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就是可行的方案个数，再利用函数性质找到最大值．
26.【答案】解：(1)∵直线l：y=−x−1过点A，
∴A(−1,0)，
又∵D(5,−6)，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：−1−b+c=0−25+5b+c=−6，
解得b=3c=4．
∴抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4．
(2)如图，
设点P(x,−x2+3x+4)，
∵PE//x轴，PF//y轴，
则E(x2−3x−5,−x2+3x+4)，F(x,−x−1)，
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴−1
∴PE+PF=2(−x2+4x+5)=−2(x−2)2+18．
∵−1
(3)由(1)可求NC=5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NC−//PM，设点p(t,−t2+3t+4)，则M(t,−t−1)，
由题意知：|yP−yM|=5，即|−t2+3t+4+t+1|=5．
化简得：t2−4t=0或t2−4t−10=0，
解得：t1=0(舍去)，t2=4，t3=2+ 14，t4=2− 14．
则符合条件的M点有三个：M1(4,−5),M2(2+ 14,−3− 14)，M3(2− 14,−3+ 14)．
【解析】(1)由直线l：y=−x−1可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
(2)PE+PF=2PF=2(−x2+3x+4+x+1)=−2(x−2)2+18，即可求解；
(3)分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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