2022-2023学年四川省泸州市合江县马街中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市合江县马街中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省泸州市合江县马街中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知z(2+i)=1，则复数z的虚部为(    )
A. −15 B. 15 C. −15i D. 15i
2. 已知函数f(x)=3x2+bx+c(b,c∈R)，若Δx→0limf(b+△x)−f(b)△x=14，则b=(    )
A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
3. x<2是x2−3x+2<0成立的(    )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 圆x2+y2−2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是(    )
A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离
5. 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(    )
A. 101 B. 808 C. 1212 D. 2012
6. 已知随机变话ξ服从正态分布N(1,1)，若p(ξ>−1)=0.9772，则P(−1<ξ<3)=(    )
A. 0.6827 B. 0.8522 C. 0.9544 D. 0.9772
7. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l的方程为y=bx+a.则下列说法正确的是(    )
A. a>0，b<0
B. a>0，b>0
C. a<0，b<0
D. a<0，b>0
8. 已知x=m时，函数f(x)=x3−12x取得极大值，则m=(    )
A. −4 B. −2 C. 4 D. 2
9. 2006年世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为(    )
A. 64 B. 72 C. 60 D. 56
10. 已知A与B是互斥事件，且P(A−)=0.4，P(B)=0.2，则P(A∪B)=(    )
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.0
11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 3，则p=(    )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
12. 设a=2ln2120，b=ln1110，c= 1.2−1，则(    )
A. a 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ( x2−1 x)6的展开式的中间一项为______．
14. 函数f(x)=sinx−12x,x∈(0,π)的单调增区间是______ ．
15. 已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，则x0= ______ ．
16. 已知函数f(x)=x3−3x2+3，有下列命题：
①函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为3x+y−4=0；
②函数y=f(x)有3个零点；
③函数y=f(x)在x=2处取得极大值；
④函数y=f(x)的图象关于点(1,1)对称．
上述命题中，正确命题的序号是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xlnx−ax2−x+1，a∈R．
(1)若函数f(x)在x=e处的切线与直线y=x+1垂直，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在定义域内是减函数，求实数a的取值范围．
18. (本小题12.0分)
在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．
(1)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；
(2)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；
(3)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC．
(1)若BA=BB1，求证：AB1⊥平面A1BC；
(2)若BA=BC=BB1=2，M是棱BC上的一动点.试确定点M的位置，使点M到平面A1B1C的距离等于 22．

20. (本小题12.0分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为12，经过点(1,32).经过F1，F2作平行直线m，n，交椭圆E于两点AB和两点C，D．
(1)求E的方程；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12ax2⋅lnx(a>0)的极小值为−12e．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)>x2ex−34(其中e=2.71828…为自然对数的底数)
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1方程为：x=t+1ty=2(t−1t)(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ−1sinθ−3cosθ=0．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P、点Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
23. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|ax−1|−(a−1)|x|．
(1)当a=2时，求不等式f(x)>2的解集；
(2)若x∈(1,2)时，f(x) 答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由z(2+i)=1可得z=12+i=2−i5=25−15i，即虚部为−15．
故选：A．
利用复数的四则运算及定义计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：函数f(x)=3x2+bx+c(b,c∈R)，
则f′(x)=6x+b，
Δx→0limf(b+△x)−f(b)△x=14，
则f′(b)=7b=14，解得b=2．
故选：D．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：解x2−3x+2<0得：1 ∵{x|x<2}⊋{x|1 故x<2是x2−3x+2<0成立的必要不充分条件，
故选：A．
解不等式x2−3x+2<0，然后利用集合法，可得答案．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：圆x2+y2−2x=0的圆心为(1,0)，半径为1，
圆x2+y2+4y=0即x2+(y+2)2=4，圆心为(0,−2)，半径为2，
所以两圆圆心距为 12+(0+2)2= 5∈(1,3)，
则两圆外交．
故选：C．
确定两圆的圆心和半径，求出圆心距，判断其与两圆半径的关系，即可得到答案．
本题考查了圆与圆位置关系的判断，圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为1296=18
样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为10118=808
故选：B．
根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．
本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了正态分布的性质，属于基础题．
依题意，根据正态分布的对称性，得P(−1<ξ<3)=1−2p(ξ≤−1)=1−2(1−p(ξ>−1))，计算结果即可．
【解答】
解：根据正态分布的对称性得P(−1<ξ<3)=1−2p(ξ≤−1)=1−2(1−p(ξ>−1))
=1−2×(1−0.9772)=0.9544．
故选：C．  
7.【答案】D 
【解析】解：由题图可知，回归直线的斜率是正数，即b>0；回归直线在y轴上的截距是负数，即a<0，
故选：D．
利用回归直线方程，判断斜率以及截距的大小，判断选项即可．
本题考查回归直线方程的判断与应用，是基本知识的考查．

8.【答案】B 
【解析】解：f(x)=x3−12x，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，
令f′(x)>0，解得：x>2或x<−2，
令f′(x)<0，解得：−2 故f(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,2)递减，在(2,+∞)递增，
故x=−2时，f(x)取极大值，则m=−2，
故选：B．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是一道常规题．

9.【答案】A 
【解析】解：先进行单循环赛，有8C42=48场，
进行第一轮淘汰赛，16个队打8场，决出4强，打4场，再分别举行2场决出胜负，两胜者打1场决出冠、亚军，两负者打1场决出三、四名，共举行：48+8+4+2+1+1=64场．
故选：A．
先进行单循环赛，再进行第一轮淘汰赛，即可得出结论．
本题考查计数原理的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

10.【答案】C 
【解析】解：根据题意，P(A−)=0.4，则P(A)=1−P(A−)=0.6，
又由A与B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.2=0.8．
故选：C．
根据题意，取出P(A)，又由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
本题考查互斥事件的概率加法公式，注意互斥事件的定义，属于基础题．

11.【答案】C 
【解析】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1，
∴双曲线的渐近线方程是y=±bax
又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=−p2，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±pb2a，双曲线的离心率为2，所以ca=2，
∴b2a2=c2−a2a2=e2−1=3则ba= 3，
A，B两点的纵坐标分别是y=±pb2a=± 3p2，
又，△AOB的面积为 3，x轴是角AOB的角平分线
∴12× 3p×p2= 3，得p=2．
故选：C．
求出双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 3，列出方程，由此方程求出p的值．
本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．

12.【答案】B 
【解析】解：∵(2120)2=441400>440400=1110，
∴ln(2120)2>ln1110，即2ln2120>ln1110，
∴a>b；①
令f(x)=ln(1+x)− 1+2x+1，0 ∵1+x= (1+x)2= 1+2x+x2> 1+2x，
∴f′(x)=11+x−1 1+2x= 1+2x−(1+x)(1+x)⋅ 1+2x<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，
∴f(x) ∴ln(1+x)− 1+2x+1<0，
故ln(1+110)< 1.2−1，即ln1110< 1.2−1，
∴b 令g(x)=2ln(1+x)− 1+4x+1(x>−14)，
则g′(x)=21+x−12⋅4 1+4x=2⋅(11+x−1 1+4x)=2⋅ 1+4x−x−1(1+x) 1+4x，
令g′(x)=0，得x=2，
当x∈(0,2)时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递增，
∴g(120)>g(0)=0，即2ln2120− 1+15+1>0，即a−c>0，故a>c；③
由①②③得a>c>b．
故选：B．
令f(x)=ln(1+x)− 1+2x+1，0−14)，同理可求得a>c，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想及运算求解能力，属于难题．

13.【答案】−52 
【解析】解：由题意可得该二项展开式共有7项，中间项为第4项，则T4=C63( x2)3(−1 x)3=−52，
故答案为：−52．
由题意可得该二项展开式共有7项，中间项为第4项，即可求出．
本题考查了二项式展开式，属于基础题．

14.【答案】(0,π3) 
【解析】解：∵f(x)=sinx−12x,x∈(0,π)，
∴f′(x)=cosx−12，
令f′(x)>0，解得：0 故f(x)在(0,π3)递增，
故答案为：(0,π3).
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．

15.【答案】2 
【解析】解：由抛物线C：y2=2x可得p=1，p2=12，准线方程x=−12．
因为A(x0,y0)是C上一点，AF=54x0，x0>0，
所以54x0=x0+p2=x0+12，解得x0=2．
故答案为：2．
由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于x0的方程求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】①②④ 
【解析】解：f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，则f′(1)=−3，又f(1)=1，
所以函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线为y−1=−3(x−1)，即3x+y−4=0，故①正确；
令f′(x)=0，可得x=0或x=2，
令f′(x)>0，可得x<0或x>2，令f′(x)<0，可得0 所以f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以f(x)在x=0处f(x)取得极大值，在x=2处取得极小值，故③错误；
极大值为f(0)=3>0，极小值为f(2)=−1<0，f(−1)=−1<0，f(3)=3>0，
所以在(−1,0)，(0,2)，(2,3)上f(x)各有一个零点，故②正确；
令g(x)=f(x+1)−1=(x+1)3−3(x+1)2+3−1=x3−3x，
则g(−x)=−x3+3x=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，关于原点对称，
所以f(x)关于点(1,1)对称，故④正确，
所以正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．
求出f(x)的导函数，求出f′(1)和f(1)，利用点斜式求得切线方程，即可判断①；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断③；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断②；令g(x)=f(x+1)−1，可得g(x)为奇函数，即可判断④．
本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数零点问题，以及函数的对称性，属于中档题．

17.【答案】解：(1)因为f(x)在x=e处的切线与直线y=x+1垂直，
所以切线斜率k=f′(e)=−1，
因为f′(x)=lnx−2ax，
所以f′(e)=lne−2ae=−1，
解得a=1e．
(2)因为函数f(x)在定义域内是减函数，
所以f′(x)=lnx−2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，且函数f(x)不为常函数，
所以2a≥lnxx在(0,+∞)上恒成立，
设g(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，
g′(x)=1−lnxx2，
令g′(x)=0，解得x=e，
所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(e)=1e，
所以2a≥1e，
所以a≥12e，
所以实数a的取值范围是[12e,+∞)． 
【解析】(1)由f(x)在x=e处的切线与直线y=x+1垂直，得切线斜率k=f′(e)=−1，即lne−2ae=−1，即可解得答案．
(2)由函数f(x)在定义域内是减函数，得f′(x)=lnx−2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，且函数f(x)不为常函数，即2a≥lnxx在(0,+∞)上恒成立，只需2a≥(lnxx)max，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

18.【答案】本小题满分(12分)
解：(1)从茎叶图可以得到：
甲班的平均分为：x甲=110(72+75+77+84+87+88+95+98+106+108)=89分，
乙班平均分为：x乙=110(78+79+86+87+88+91+92+93+95+101)=89分．
甲班的方差S甲2=110[(72−89)2+(75−89)2+(77−89)2+(84−89)2+(87−89)2+(88−89)2+(95−89)2+(98−89)2+(106−89)2+(108−89)2]=142.6，
乙班的方差S乙2=110[(78−89)2+(79−89)2+(86−89)2+(87−89)2+(88−89)2+(91−89)2+(92−89)2+(93−89)2+(95−89)2+(101−89)2]=44.4，
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．…(4分)
(本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分)
(2)事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；
事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B
则P(B/A)=P(A⋅B)P(A)=27…(8分)
(3)X的取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C61C101⋅C52C102=215，
P(X=1)=C41C101⋅C52C102+C61C101⋅C51C51C102=1945，
P(X=2)=C41C101⋅C51C51C102+C61C101⋅C52C102=1645，
P(X=3)=C41C101⋅C52C102=445，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
215
1945
1645
445
期望EX=0×25+1×1945+2×1645+3×445=75.…(12分) 
【解析】(1)从茎叶图分别求出甲、乙班的平均分和方差，从而得到甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．
(2)事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B，由此利用条件概率公式能求出有人及格的条件下乙班同学不及格的概率．
(3)X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

19.【答案】(1)证明：当BA=BB1时，AB1⊥A1B.
又∵BC⊥BA，BC⊥BB1，且BA∩BB1=B，
∴BC⊥平面ABB1．
而AB1⊂平面ABB1，∴AB1⊥BC．
∴由AB1⊥A1BAB1⊥BCA1B∩BC=B，
得到AB1⊥平面A1BC．
(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为C(0,0,2)、B1(0,2,0)、A1(2,2,0)，
设M(0,0,h)．设平面A1B1C的法向量为n=(u , v , w)，
则n⊥CB1，n⊥A1B1．
∵CB1=(0,2,−2)，A1B1=(−2 , 0 , 0)，
且n⋅CB1=0 , n⋅A1B1=0，
∴2v−2ω=0−2μ=0，∴ω=vμ=0，取ω=v=1，
得平面A1B1C的一个法向量为n=(0 , 1 , 1)，
且|n|= 2，又∵MB1=(0,2,−h)，
于是点M到平面A1B1C的距离d=|n⋅MB1||n|=|0×0+1×2−h| 2=|2−h| 2= 22⇒h=1，或h=3(舍)
所以，当点M为棱BC的中点时，点M到平面A1B1C的距离等于 22． 
【解析】(1)当BA=BB1时，AB1⊥A1B.由BC⊥BA，BC⊥BB1，且BA∩BB1=B，知BC⊥平面ABB1.由此能证明AB1⊥平面A1BC．
(2)建立空间直角坐标系，得C(0,0,2)、B1(0,2,0)、A1(2,2,0)、设M(0,0,h).设平面A1B1C的法向量为n=(u , v , w)，则n⊥CB1，n⊥A1B1.得平面A1B1C的一个法向量为n=(0 , 1 , 1)，由此能求出点M到平面A1B1C的距离．
本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．

20.【答案】解：(1)由题ca=12，所以c2=14a2，则b2=34a2，将点(1,32)代入方程得1a2+94b2=1，
解得：a2=4，b2=3，所以E的方程为x24+y23=1；
(2)当直线m的斜率存在时，设斜率为k，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又F1(−1,0)，所以直线m的方程为y=kx+k，
联立y=kx+kx24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，所以x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ (−8k23+4k2)2−4(4k2−123+4k2)=12(1+k2)3+4k2，
因为m，n之间的距离就是F2(1,0)到直线m：kx−y+k=0的距离：d=|2k| 1+k2，
所以四边形ABCD面积为：S=|AB|⋅d=12(1+k2)3+4k2×|2k| 1+k2=24|k|⋅ 1+k23+4k2，
令t=3+4k2(t≥3)，则S=6 t2−2t−3t=6 −3(1t)2−2⋅1t+1，
因为t≥3，所以0<1t≤13，所以0 当直线m的斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×2b2a=2×3=6，
综上，四边形ABCD的面积最大值为6． 
【解析】(1)利用离心率求得a，b关系，再将点坐标代入椭圆方程求得a，b即可；
(2)m斜率存在时，设出方程y=kx+k，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，再结合图形因为m，n之间的距离就是F2(1,0)到直线m：kx−y+k=0的距离：d=|2k| 1+k2，表示出S=|AB|⋅d，运用换元思想，求出S的范围；m斜率不存在时，四边形ABCD的面积为S=2c×2b2a=2×3=6，综上可得面积最大值为6．
本题是直线与椭圆的综合问题，能有图象判断出m，n之间的距离就是到直线m的距离是一个关键，属于中档题．

21.【答案】(1)解：由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞)；
f′(x)=axlnx+12ax=12ax(2lnx+1)；
令f′(x)=0，解得x=e−12；
当0 当x>e−12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
∴f(x)在(0,e−12)上单调递减；在(e−12,+∞)上单调递增．
(2)证明：令g(x)=x2ex−34，则g′(x)=x(2−x)ex；
当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
∴g(x)max=g(2)=4e2−34，
由题目知，f(x)min=−12e，
∵4e2−34−(−12e)=(8−3e)(2+e)4e2<0；
∴f(x)min>g(x)max，即f(x)>x2ex−34． 
【解析】(1)对f(x)求导，令f′(x)=0，即可判断f(x)的增减性；
(2)可令g(x)=x2ex−34，只需证f(x)min>g(x)max即可，已给出f(x)的极小值；对g(x)求导，并判断其增减性，求出极大值，即可得证．
本题考查了利用导数求函数的增减区间和极值，利用函数思想比较大小，属中档题．

22.【答案】解：(1)由曲线C2的极坐标方程为：ρ−1sinθ−3cosθ=0．
可得：ρsinθ−3ρcosθ−1=0，而x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以C2的直角坐标方程为3x−y+1=0．
(2)设P(t+1t,2(t−1t))，则P到C2的距离为：|PQ|=|3(t+1t)−2(t−1t)+1| 32+12=|t+5t+1| 10，
∵t+5t+1≥2 5+1(当且仅当t= 5时取等号)或t+5t+1≤−2 5+1(当且仅当t=− 5时取等号)，则|t+5t+1|≥2 5−1，
∴|PQ|≥10 2− 1010，即|PQ|min=10 2− 1010，此时t=− 5，则P(−6 55,−8 55)． 
【解析】(1)化简极坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化，求解即可．
(2)利用点到直线的距离公式，结合基本不等式，求解最小值即可．
本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

23.【答案】解：(1)a=2时，f(x)=|2x−1|−|x|，
当x≥12时，f(x)>2等价于2x−1−x>2，解得x>3，所以x>3；
当02等价于1−2x−x>2，解得x<−13，不符合，舍去；
当x≤0时，f(x)>2等价于1−2x+x>2，解得x<−1，所以x<−1．
综上，不等式f(x)>2的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)．
(2)x∈(1,2)时，f(x)=|ax−1|−ax+x，f(x) 所以x−ax−a−1 所以ax−1 所以2≤2+a1−2a−a≤02−4a−a≤0，解得a≥25，
故实数a的取值范围为[25,+∞)． 
【解析】(1)分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；
(2)根据所给区间去掉绝对值号转化为x−ax−a−1 本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．