(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义1.1.1 绝对值（2份打包，学生版+教师版）

这是一份(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义1.1.1 绝对值（2份打包，学生版+教师版），文件包含新高一初升高数学暑假衔接班精品讲义111绝对值教师版doc、新高一初升高数学暑假衔接班精品讲义111绝对值学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

第1.1章 数与式
1.1.1 绝对值

初中要求
1.借助数轴理解绝对值的意义，掌握求绝对值的方法，知道的含义(这里表示有理数)
高中要求
1会求含绝对值的方程与不等式；
2 理解含绝对值的函数.


1.绝对值的概念
在数轴上，一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值.
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即


2. 绝对值的性质
(1)，， ；
(2)或；
(3)，；
(4)三角不等式：，当且仅当同号或其中一个为时取等号.
3.解含绝对值的不等式
的解集是．
的解集是．(从几何的角度思考)


【题型1】 绝对值的几何意义
【典题1】 若，则 ， .
解析 依题意可得，，解得 ，.

【典题2】同学们都知道，|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对的两点之间的距离．|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求 ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理由．如果没有也要请尝试说明理由．
解析(1)|7-(-4)|=11；故答案是：11；
(2)式子可理解为：在数轴上，某点到-6所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为8，
所以满足条件的整数x可为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案为：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2．
(3)有最小值．最小值为4，
理由是：理解为，在数轴上表示x到1和5的距离之和，
∴当x在1与5间的线段上(即1≤x≤5)时：
即|x-1|+|x-5|的值有最小值，最小值为4．

变式练习
1. 若与互为相反数，则 .
答案
解析 依题意得，解得，则.
2.三个数在数轴上位置如图所示，且|a|=|b|
(1)求出各数的绝对值；
(2)比较的大小；
(3)化简．

答案(1)-c(2)-a＜a＜-c(3)-2c
解析(1)∵从数轴可知：，；
(2)∵从数轴可知：；
(3)根据题意得：，
则
3.设，求a+2b+c的最小值。
答案 6
解析 |x+1|+2|x-1|+|x+3|表示x到-1、-3的距离以及到1的距离的2倍之和，
所以当x在-1和1之间时，它们的距离之和最小，
此时a+2b+c=6；
故答案为：6．

【题型2】解含绝对值的方程
【典题1】 解方程：.
解析 当时，方程可化为，解得；
当时，方程可化为，解得；
综上，原方程的解为或.

【典题2】 方程解的个数 ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
解析 当时，方程化为，解得或，均符合；
当时，方程化为，解得或，均符合；
故方程的解是，或，有个解，故选.
变式练习
1. 解方程：.
答案 或
解析 当时，方程可化为，解得；
(注意解要检验是否符合前提)
当时，方程可化为，解得；
综上，原方程的解为或.
2.解方程：.
答案 或
解析 当时，方程可化为，解得；
当时，方程可化为，解得；
综上，原方程的解为或.
3.解方程：.
解析 当时，方程化为，解得，符合条件；
(注意解要检验是否符合前提)
当时，方程化为，无解；
当时，方程化为，解得，符合条件；
综上，原方程的解为或.


【题型3】 解含绝对值的不等式
【典题1】解不等式
解析 由解得. 故不等式的解集是.

【典题2】解不等式.
解析 不等式可化为或，解得或，
故不等式的解集是.
【典题3】解不等式.
解析 两边平方得，，
化简得，解得，
故不等式的解集是.

变式练习
1.不等式的解集是 .
解析 当时，则不等式可化为，解得，又，；
当时，则不等式可化为，解得，又，；
(此处解题过程采取或这一格式，更好理解些)
综上，可得不等式的解集是.
2.若关于的不等式的解集是，则的值是 ．
答案
解析 ，
由于解集是，所以.
3. 解不等式.
解析 不等式可化为或，解得或，
故不等式的解集是.

【题型4】含绝对值的函数
对于自变量不同的取值范围有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数.
比如狄利克雷函数函数等.
【典题1】画的函数图像，并求其最小值.
解析 ，函数图像如下图，

的最小值为。

变式练习
1.对于任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 .
答案 .
解析 表示与对应点的距离之差，画数轴易得当时，其值等于
；当时，其值等于；当时，其值在和之间；则的最小值是，故.



1. 下列叙述正确的是 ( )
A.若，则 B. 若，则
C.若，则 D. 若，则
答案
解析 当时错误；当时错误；当时错误；正确故选.
2.以下不等式中，与不等式同解的不等式是 ( )
A. B.
C. D.
答案
3.方程解的个数 ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
答案
解析 当时，方程化为，解得(舍去)或；
当时，方程化为，有一个正根一个负根，故此时有一个解；
故方程的解是个解，故选.
4. 是的三边，化简 .
答案
解析 .
5.计算 的值为 .
答案 或±4
解析 当a、b、c、中有一个数为负数时，其值为；
当a、b、c、中有两个数为负数时，其值为；
当a、b、c、中三个数都为负数时，其值为；
当a、b、c、中三个数都为正数时，其值为.
综上所述，答案为：0或±4．
6.当时，则代数式 .
答案
解析 当时，，方程无解；当，解得，
则.
7.方程的解的个数是 个.
答案 无数
解析 当时，方程化为，解得，符合；
当时，方程化为，该方程有无数个解；
故方程的解是，有无数个.
8.不等式的解集是 .
答案
解析 或或，
故不等式的解集是
9.解方程：.
答案 或
解析 当时，方程化为，解得，符合条件；
当时，方程化为，解得，不满足，舍去；
当时，方程化为，解得，符合条件；
综上，原方程的解为或.
10.解不等式：．
答案 或
解析 由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即4，解得，又，；
②若，不等式可变为，
即，不存在满足条件的；
③若，不等式可变为，
即， 解得．
又，．
综上所述，原不等式的解集为或．
11.画出分段函数的图像，并求其最小值.
解析 ，函数图像如下图，

由图可知函数的最小值为，当时取到.
12.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
(2)如果|x+1|=3，那么x= ；
(3)若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是 ．
(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|= ．
答案 (1)3，5； (2)2或-4(3)8，2(4)6．
解析 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是：2-(-3)=5，故答案为：3，5；
(2)|x+1|=3，
x+1=3或x+1=-3，
x=2或x=-4．
故答案为：2或-4；
(3)∵|a-3|=2，|b+2|=1，
∴a=5或1，b=-1或b=-3，
当a=5，b=-3时，则A、B两点间的最大距离是8，
当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，
|a+4|+|a-2|=(a+4)+(2-a)=6． 
故答案为：6．