(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.1.1 集合的含义与表示（2份打包，学生版+教师版）

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第2.1章
2.1.1 集合的含义与表示

高中要求
1了解集合的含义; ,体会元素与集合的“属于”关系;
2针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）加以描述.

元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. 
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. 
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别.
若集合，就意味且.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.
元素与集合的关系
若是集合的元素，则称属于集合，记作； 
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. 
Eg：菱形，.
常用数集 
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；
有理数集，记作；实数集，记作.
集合的分类
有限集，无限集，空集.
Eg：奇数集属于无限集，.
集合的表示方法
① 列举法 
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法 
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：. 
用符号描述法表示集合时应注意： 
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？ 
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑. 
Eg
集合
元素
化简结果

方程的解


不等式的解集


函数中取值范围(定义域)


函数中取值范围(值域)


函数的图像上的点
----
看集合先看元素类型.





【题型1】 集合元素的特征
【典题1】 下列说法正确的是 ( ) 
数学成绩较好的同学组成一个集合； 
所有小的正数组成的集合； 
集合和表示同一个集合； 
这些数组成的集合有五个元素. 
解析 由于较好、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性；
中的三个数相等，相等，故集合只有个元素；
集合具有无序性，所以是正确的；故选.


变式练习
1.下列选项能组成集合的是(　　)
A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人
答案
解析 著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；
英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；
非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；
勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；
故选．
2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案
3.下列所给的对象能构成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) ，，，．
解析 (1)能，集合元素是直角三角形；
(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；
(3)不能，“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能，集合元素是“16岁以下的学生”；
(5)不能，，有两个数字重复，不符合元素的互异性.故答案是(1)(4)

【题型2】 元素与集合的关系
【典题1】已知集合含有两个元素和，若，则实数 ．
解析 ， 或.
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合题意．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合题意．
综上所述，满足题意的实数的值为或.

变式练习
1.下列所给关系正确的个数是(　　)
① ； ② ； ③ ； ④ .
A．1　 　 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ① ②对，故选.
2.设不等式的解集为，下列关系中正确的是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 当时，，所以；
当时，，所以．
3.对于集合，若，则，那么的取值是________．
解析 当满足题意，当时，.
4.已知非空集合满足：若，则，则当时，集合的所有元素之积等于　 　．
答案
解析 依题意，得当时，有，从而，，
于是集合的元素只有，，所有元素之积等于．

【题型3】 集合的表示
【典题1】用列举法表示下列集合
(1)以内偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
解析 (1)；
(2)解方程，得，
故方程的所有实数根组成的集合为；
(3)解方程组得，
因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为．

【典题2】设集合．
(1)试判断元素与集合的关系；(2)用列举法表示集合．
解析 (1)当时，．
当时， ．因此．
(2) ，只能取．
只能取，.


【典题3】若集合则实数的取值集合为(　　)

解析 当时，不等式等价于，此时不等式无解；
当时，要使原不等式无解，应满足
即解得；
综上，的取值范围是．
故选：．

变式练习
1.集合，，，P，，
设，则有 (　　)
A． B． C． D．以上都不对
答案
解析 ，，，
设，，，，
，
又，.
2. 已知集合，且，则下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 集合，
，故错误；
又，故错误；
又，故错误；故选.
(为什么？令，
)
3.集合，其中，且，若，则中的元素之和为 .
答案
解析 因为，所以若，则集合不成立．所以．
若因为，所以，所以必有，所以．
因为，，所以或．
若，此时不成立，舍去．
若，则，成立．
所以元素之和为．
4 .用列举法表示集合　 　；
答案
解析 ；．
5. 设是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：
(1)对中任意元素都有；
(2)对中任意两个元素，满足．
则称对运算#封闭．
下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 .
① } ② ③ ④．
答案 ②③④．
解析 (1)的意思是满足结合律，(2)的意思是两个元素运算后还属于原集合的.
①中，当时，，
当时，，
故①中集合对加法和乘法都不封闭，
②中集合满足：(1)对中任意元素都有；
(2)对中任意两个元素，满足．
故②中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；
③中集合，整数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，整数加整数，整数乘以整数还是整数，满足第二点，故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；
④中集合，有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数，有理数乘以有理数还是整数，满足第二点，故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：②③④
6.用描述法表示下列集合：
(1) 大于且小于的所有自然数组成的集合；
(2) 不等式的解集；
(3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)
答案 (1) 用描述法表示为；
(2) 用描述法表示为；
(3)用描述法表示为.
7.若集合至多有一个元素，求的取值范围．
答案
解析 集合至多有一个元素，
或解得或
的取值范围是．
故答案为：．



1.下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
答案
解析 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的，故能构成集合；选项不满足集合的互异性．故选：．
2.集合中的不能取得值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
解析 根据集合元素的互异性，，可以把四个选项代入集合用排除法.
3.已知集合，且，，则(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 ，，，解得，故选：．
4.已知集合，那么下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
解析 都不是的解，则，故选：．
5.若集合则集合中的元素个数为(　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
答案
解析 通过列举，可知的数对共9对，
即共9种，

易得满足
集合中的元素个数共个．故选：．
6.已知且，则由的值构成的集合是 .
答案
解析 ，；
或，解得，
故答案：．
7.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则　 　．
答案
解析 根据题意，由可得或，
又由的意义，则必有
则，
则有即或
集合中则必有
则.
8.试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整数组成的集合．
解析 (1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，
因此，用描述法表示为；
方程的根是，因此，用列举法表示为．
(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，
因此，用描述法表示为；
大于且小于的整数有，因此，用列举法表示为．
9.设集合.
(1)试判断元素与集合的关系；(2)用列举法表示集合.
答案 (1) ； (2)
解析 (1)当时，满足，而，故；
当时，满足，且，故；
(2)根据题意，，，
又因，，且是的整数倍，
或或，或或，
集合．
10.若集合至多有一个元素，求的取值范围．
答案
解析 集合至多有一个元素，
或解得或
的取值范围是．
故答案为：．
11.已知由实数构成的集合满足条件：若则则集合中至少有几个元素？证明你的结论．
答案 四
解析 设集合中有元素，
，则，
进而有又有

假设则，矛盾，
类似方法可证、、和四个数互不相等，
这就证得集合中至少有四个元素．