(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.3.1 等式性质与不等式性质（2份打包，学生版+教师版）

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第2.3章 一元二次函数、方程与不等式
2.3.1 等式性质与不等式性质

高中要求
1 掌握等式性质；
2掌握等式性质.

1等式的性质
(1)如果，那么；
(2)如果，，那么；
(3)如果，那么；
(4)如果，那么；
(5)如果，，那么.
2不等式关系与不等式
① 不等式的性质
(1) 传递性：；
(2) 加法法则：；
(3) 乘法法则：；
(4) 倒数法则：；
(5) 乘方法则：.
② 比较大小
(1) 作差法(与的比较)

(2) 作商法(与比较)

【题型1】 不等式性质的运用
【典题1】 已知且，则 ( )
A、 B、
C、 D、
解析 且，，
，，又，，
，，又, ，
成立，故选.

【典题2】已知，，求证：.
证明 ，
，，
，，即，.
，即.


变式练习
1.下列不等式中，正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案
解析 若，则，故错，
设，则，，错，故选．
2.若，则下列命题中正确的是 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 由题已知，，根据不等式的性质，选项数的正负不明，错误；
由同向不等式的可加性可知，已知时有，正确.
3.若，则下列不等式中不成立的是(　　)

答案
，，．因此不正确．故选：．
4.证明：若，，则.
证明 若，，则,,
，即.
5.已知，，求证：.
解：由，得
所以，所以.


【题型2】 比较大小
【典题1】 设，则有( )
A B C. D
解析
恒成立，
所以．故正确．

【典题2】 已知，试比较与的大小．
解析 方法1 作差法
，
(作差法，确定差，由于，只需要判断)
当时，，，则，即；
当时，，则，即．
综上可得时，；时，．
方法2 作商法
，
(确定与的大小只需要确定与的大小)
当时，，则；
当时，，则．
综上可得时，；时，．

【典题3】若，，则的大小关系为　 　．
解析 ，，
由，可得，

变式练习
1.已知，，则(　　)

的大小与的取值有关
答案
，
故，故选：．
2.设，那么的大小关系是________.
答案
解析
3.比较大小：　 　用或符号填空)．
答案
解析
，
故，
故，
故答案为：
4.已知，，判断与的大小．
答案
解析 因为，，
所以，所以，
所以
又因为，所以.
5.比较下列各组中两个代数式的大小：
与；
(2)已知为正数，且，比较与的大小．
解析
.

，
，，且，
，.
，
即.
6.已知，，且，，比较与的大小．


因为，，，，
当时，；
当时，，)，
所以；
当b>a>0时，，，
所以.
综上所述，.

1.已知，那么下列不等式中正确的是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由题根据不等式的性质，选项，数的正负不明，错误；而选项，无论取任何数都成立.
2.对于实数，下列结论中正确的是 ( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则D.若，，则
答案
解析 对于，，若，则，故错；
对于，，取，即，故错；
对于，，取，即，故错；
对于，若，则，又，所以
所以，又，所以，故正确.
3.已知，那么下列不等式中正确的是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由题根据不等式的性质，选项，数的正负不明，错误；
而选项，无论取任何数都成立.
4.若，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
答案
解析 因为，所以 ，
则，且，故选项正确，
而，故错误.
5.若，，则的大小关系是(　　)
A． B．
C．或 D．
答案
解析：因为，所以.
答案：B
6.已知，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
答案
解析

7.已知，且，则的取值范围是________(用区间表示)．
答案
解析：因为，
所以，
所以的取值范围是．
答案：
8.设，则的大小关系为 ．
答案
解析 ，，
，．
9.比较下列各组中两个代数式的大小：
与；
(2)已知为正数，且，比较与的大小．
解析 ，
.

，
，，且，
，.
，
即.
10.已知，比较与的大小．
解析 ，，>0，
，
.