(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.3.3 一元二次函数、方程与不等式（2份打包，学生版+教师版）

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第2.3章 一元二次函数、方程与不等式
2.3.3 一元二次函数、方程与不等式

高中要求
1掌握一元二次函数、方程与不等式的关系；
2 会求解一元二次不等式.

1一元二次函数、方程与不等式
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以为例)
判别式




二次函数
 
的图象



一元二次方程

的根
有两个相异实数根


有两个相等实数根

没有实数根
一元二次不等式

的解集



一元二次不等式

的解集



② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.


【题型1】 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 填表
方程
方程根的情况
二次函数图像
解不等式





















解析
方程
方程根的情况
二次函数图像
解不等式




或










无解






【典题2】 若不等式的解集是，则不等式的解集
是 .
解析 不等式的解集是，
和是方程的两个实数根，
由韦达定理得，解得，，
故不等式，即，解得，
所以所求不等式的解集是，
故选：．

变式练习
1. 不等式的解集为(　　)
A． B．
C． D．
答案
解析 ，
故选.
2.下等式的解集为的是(　　)

答案
解析 恒成立，
所以不等式的解集为，正确．
故选：．
3.若不等式的解集是，则的范围是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由解集为，即为恒成立，
可得：当时；成立；
当时；成立；
当时；不成立.
综上可得实数的取值范围.
4. 已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
答案
解析 集合，
，
，，，
实数的取值范围为．
故选：．
5.不等式的解集为 .
答案
解析 原不等式等价于，即，整理得，
不等式等价于，解得．
6.若不等式的解集为是，
(1)求的值 (2)求不等式 的解集．
解析 (1)由已知可知 不等式的解集是
所以和是方程的两个根
由韦达定理得 解得
(2) 不等式 即为
不等式可化为，解得
所以所求不等式的解集是

【题型2】 求含参一元二次不等式
【典题1】 解不等式
解析
当时，不等式为，解集为；
当时，
解得方程两根；
当时，解集为；
当时, 解集为}.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时, 解集为}.

【典题2】解不等式：.
解析 原不等式可化为：
令，得；
当时，即时，解集为；
当时，即或时，解集为；
当时，即或时，解集为}.
综上，当时，解集为；
当或时，解集为；
当或时，解集为}.

变式练习
1.解关于的不等式: .
解析 方程
，即方程两根为，
(1)当时，，不等式的解集是；
(2)当时，，不等式的解集是；
(3)当时，，不等式的解集
2,解关于的不等式．
解析 关于的不等式等价于；
当时，不等式化为，解得解集为；
当时，不等式等价于，
解得不等式的解集为；
当时，不等式等价于，
若，则，解得不等式的解集为(；
若，则，不等式化为，此时不等式的解集为∅；
若，则，解得不等式的解集为．
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．



1.下列不等式的解集是空集的是 ( )
A． B． C． D．
答案
2.二次不等式的解集是的条件是(　　)
．
答案
解析 由题意可知二次不等式，
对应的二次函数开口向下，所以
二次不等式的解集是，所以．
故选：．
3.若不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是(　　)

答案
解析 当时，满足题意；
当时，，解得；
实数的取值范围是．故选：．
4.若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案
解析 由题意可知恒成立，当时成立，
当时需满足，代入求得，
所以实数的取值范围是.
5.已知关于的不等式的解集是，则下列结论中错误的是(　　)

答案
解析 由关于的不等式的解集是，
，是一元二次方程．
，．
．
由，可得：是错误的．
故选：．
6.（多选）关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的取值可以是(　　)

答案
解析 设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示；

若关于的一元二次不等式0的解集中有且仅有个整数，则
，即，解得，又，
所以．
故选：．
7. 解关于的不等式 ．
解析 方程中，
①当即时，不等式的解集是，
②当，即时，不等式的解集是，
③当即时，
由解得：，
时，不等式的解集是，
综上，时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是．
8.若不等式的解集是
(1)求不等式的解集．
(2)已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
答案 (1) (2)
解析 (1)因为等式的解集是}，
所以和是一元二次方程的两根，
，解得，
不等式可化为，即，
，解得，
所以不等式的解集为；
(2)由(1)知，二次不等式的解集为，
和是一元二次方程的两根，
，，解得，，
所以不等式可化为：，
即，解得．
所以关于的不等式的解集为．
9.若不等式的解集是
(1)求不等式的解集．
(2)已知二次不等式的解集为，
求关于的不等式的解集．
解析 (1)因为等式的解集是}，
所以和是一元二次方程的两根，
，解得，
不等式可化为，即，
，解得，
所以不等式的解集为；
(2)由(1)知，二次不等式的解集为，
和是一元二次方程的两根，
，，解得，，
所以不等式可化为：，
即，解得．
所以关于的不等式的解集为．