(新高一)初升高数学暑假衔接班精品讲义2.5.4 对数（2份打包，学生版+教师版）

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第2.5章 基本初等函数
2.5.4 对数

高中要求
1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然（常用)对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

1对数的概念
概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作
(底数，真数，对数)
两个重要对数
常用对数以为底的对数，记为；
自然对数以无理数为底的对数的对数，记为．
对数式与指数式的互化

对数式 指数式
【例】(1) 计算，(2)解方程.
解 （1）设，则，，即；
（2）。
结论
(1)负数和零没有对数 (2)
特别地，，，
2 对数的运算性质
如果，，，有
① ②
③ ④
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
指数
对数






特别注意：，.
【例1】证明.
证明 设，，则，
，.
【例2】计算
(1) ；(2) ；(3) 已知，，求．
解 (1)；
(2)；
(3)
.
3 换底公式
(1)公式

(2)公式推导
设，则，
，，.
(3)推论
① ② ③
证明 ① ；
② ；
③ .
【例】求的值.
解 .


【题型1】 对数式与指数式的互换
【典题1】 求下列各式中的值：
(1) ； (2) ．
解析 (1)，．．
(2) ．

变式练习
1.完成下表指数式与对数式的转换．
题号
指数式
对数式
(1)


(2)


(3)


答案 (1) (2) (3) ．
解析 (1) ．
(2) ．
(3) ．
2.若，则的值为　 　．
答案 6
解析 ，．
，．
则．
3.已知，若，则　　．
答案
解析 ，，
，，.


【题型2】 对数的化简、求值问题
【典题1】 化简求值
(1) ；
(2) ；
解析
(1)

．
(2)


.

变式练习
1.若，则(　　
A． B． C． D．
答案 A
解析 ，，
则，故选：．
2.若，则　　(用表示).
答案
解析 由，得，
所以
．
3.已知，，则　　；　　．
答案 ，
解析 因为，所以，
又，则．
4.已知，则 　　．(用表示)
答案
解析 由换底公式得．
5.已知，则　　．
答案
解析 根据题意，，
则，，则，
则.
6.求．
答案
解析 原式．


1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
答案
解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于，或．故选．
2.下列四个等式：
①；②；③若，则；④若，则．
其中正确的是　　
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
答案
解析 因为，所以，故正确；，故正确；
由可得，故错误；由可得，故错误；
故选：．
3.设，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 因为，则，则
则，
故选：．
4.若，，则等于(　　)
． ． ． ．
答案
解析 ==，
，，=，故选：．
5.若，则 ( )
A． B． C． D．
答案
解析 ，，，
，
故选：．
6.　 　．
答案
解析 原式.
7.已知函数，则 .
答案
解析 ，．则．
8.若，则　　(用表示)
答案
解析 由，得，
所以
．
9.计算：　 　．
答案
解析 .
10.化简．
答案
解析
．