精品解析：贵州省六盘水市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

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六盘水市2022-2023学年度第二学期期末教学质量监测
高二年级数学试题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. 或3 B. C. 3 D. 或3或6
【答案】A
【解析】
【分析】根据子集关系结合集合中元素的互异性即可求解.
【详解】由得，所以或，
故选：A
2. 已知复数（是虚数单位，，），则（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等的充要条件可得，进而利用复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.
【详解】由得，
所以，
故选：B
3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由共线向量基本定理求解.
【详解】由题意，由，得，
解得，选项A正确.
故选：A
4. 已知一个球的体积与表面积的数值之比为2∶1，则其半径（ ）
A. 12 B. 6 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由球的体积和表面积公式即可求解.
【详解】球的体积为，表面积为，
依题意有，即，解得.
故选：B
5. 红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”．据统计，六盘水市某种植基地红心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布，则单果重量在的概率约为（ ）（附：若，则，，）
A. 0.9545 B. 0.6827 C. 0.2718 D. 0.1359
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】根据正态分布可知，
所以,
故选：D
6. 第八届中国凉都·六盘水夏季马拉松将于2023年7月16日在六盘水市开跑．本次赛事以“清凉马拉松·激情六盘水”为主题，设有马拉松（42.195公里）、半程马拉松（21.0975公里）、大众健身跑三个项目．现从六盘水市某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务一个项目，每个项目至少安排一个志愿者，则不同的分配方案有（ ）种．
A. 12 B. 24 C. 36 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】按先分组再分配的方法求解即可.
【详解】可将这4名志愿者先分成3组，每组至少1个志愿者，共有种分法，
再将这3组志愿者分配给三个项目，每个项目分配1组志愿者，共有种分配法，
故不同的分配方案有种.
故选：C
7. 已知数列的前项和（为常数），则“为等比数列”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】因为数列的前项和（为常数），
所以当时，，
当时，，
若数列为等比数列，则，解得，
当时，，满足，此时数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以“为等比数列”是“”的充要条件，
故选：C
8. 已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点，若的面积为，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】联立方程得根与系数的关系，求导得切线方程，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积.
【详解】由得，．
因为，，，故．
由，则，抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，同理得到抛物线经过点的切线方程是．
解方程组得，所以．
所以到直线的距离，
的面积，
所以

故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列，，下列说法正确的有（ ）
A. 若是等差数列，则 B. 若，，则为等比数列
C. 若，则为递减数列 D. 若是等比数列，且公比，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由等差数列的通项公式即性质判断选项A、C；由等比数列的定义及性质判断选项B、D.
【详解】若是等差数列，
由，得，故选项A正确；
若，，则，
由等比数列的定义可知为等比数列，故选项B正确；
若，则为首项为4，公差为3的等差数列，是递增数列，
故选项C错误；
若是等比数列，且公比，但首项时，，
故选项D错误.
故选：AB
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若变量关于的经验回归方程为且，，则
B. 若随机变量，则
C. 在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好
D. 若随机变量的方差，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据回归直线经过样本中心即可判断A，根据二项分布的期望公式即可判断B，根据决定系数的定义即可判断C，根据方差的性质即可判断D.
【详解】对于A,将，代入得，故A正确，
对于B, ,则，故B错误，
对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确，
对于D，,故D错误，
故选：AC
11. 现有来自某校高三年级的3袋专项计划审查表，第一袋有4个男生和2名女生的高校专项审查表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审查表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审查表．现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审查表，设“抽到第袋”（，2，3），“随机抽取一份，抽到女生的审查表”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A和B，利用古典概率公式即可判断出结果正误；对于选项C，利用条件概率公式即可求出，从而判断出结果的正误；选项D，先求出，，，再利用全概率公式即可求，从而判断出结果的正误.
【详解】选项A，易知，故选项A正确；
选项B，因为，故选项B错误；
选项C，因为，所以，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，
故选项D正确.
故选：ACD
12. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】记，，利用导数判断函数的单调性，从而可得，， ，由此能判断，，的大小关系．
【详解】记则，所以在单调递增，
故，
记，则，
令，解得，故在上单调递减，
故,即，即，
故，
记，
则，
故当时，，故在上是增函数，
故，即，故，
故，
故选：BD
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式大小问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为____________．
【答案】32
【解析】
【分析】令可得展开式各项系数之和，即可求出，从而得到其二项式系数之和.
【详解】令可得的展开式中，各项系数之和为，解得，
所以二项式的展开式中，二项式系数之和.
故答案为：
14. 已知圆：，直线：，则圆上的点到直线的距离最小值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由圆心到直线的距离减去半径可得结果.
【详解】由，得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最小值为.
故答案为：.
15. 已知，其中，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】设，结合，两式平方相加，化简即可得答案.
【详解】因为，所以，
设①
②，
①的平方与②的平方相加可得：
，
解得，因为，
所以，即，
故答案为：
16. 若有且只有1个零点，则实数____________．
【答案】
【解析】
【分析】先讨论函数的零点情况，再由，令得，结合的零点情况即可求解.
【详解】设，则，
①当时，显然恒成立，无零点；
②当时，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，无零点；
③当时，，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，当且仅当时取等号，有唯一零点；
④当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
由③可知，即恒成立，可得，即恒成立，
所以，
又因为，，
所以分别在，上存在唯一零点，此时共有两个零点；
综上所述，当时，无零点；
当时，有唯一零点为1；
当时，有两个零点.
令，得，
即，令，则，
因有且只有1个零点，由上分析可知，
只有且方程只有一个实根满足题意，即有唯一实根，
令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，当且仅当时，
所以只有时满足题意.
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且，，成等差数列，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可求出，再根据的范围即可得到答案；
（2）根据等差数列定义得，再利用正弦定理进行角换边得，结合余弦定理即可求出，最后即可求出周长.
【小问1详解】
由，得，
又由，得，
所以或，因为，
所以，所以．
【小问2详解】
因为，，成等差数列，
所以，
由正弦定理可得：
①
由余弦定理可得：
②
由①②可得，
所以
所以.
所以的周长为．
18. “村”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．为了解外地观众对“村超”赛事的满意度，从中随机抽取了200名进行调查，得到满意率为80%．
（1）根据所给数据，完成2×2列联表；
性别
满意度
合计
满意
不满意
男性

20

女性
40


合计




（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附，．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6635
7.879
10.828

【答案】（1）答案见解析
（2）小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
【解析】
【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求.
（2）计算卡方，与临界值比较即可求解.
【小问1详解】
成2×2列联表如下
性别
满意度
合计
满意
不满意
男性
120
20
140
女性
40
20
60
合计
160
40
200
【小问2详解】零假设：性别与满意度无关联

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
（1）求的标准方程；
（2）经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将已知点代入方程，再由离心率的定义可求方程；
（2）因为直线过原点，设，，，由斜率公式化简可得.
【小问1详解】
依题意得：
，
解得．
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
因为直线过原点，设，，．
所以，，
所以
又因为，，
所以
所以是定值．
20. 如图，在长方体中，，，点在长方体内（含表面）且满足．

（1）当时，证明：平面；
（2）当时，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在， 点为的中点
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到点在，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以点在，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，，
，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，所以平面的一个法向量为．
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以
所以，解得或，
因为点在长方体内，所以，所以，
所以，存在点为的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为．

21. 已知函数的最小值为1．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
函数的定义域为，且，
当时，，则函数在上单调递增，不存在最小值．
当时，令，则，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
设，
则，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
令，则，
所以，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，
所以，即，
由（1）知，，且当时等号成立，
所以，当时等号成立，
所以，此时.
22. 已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得答案；
（2）由（1）可知，设的前项和为，利用错位相减可得，再求出等比数列的前项和可得答案.
【小问1详解】
当时，；
当时，
所以，
又，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，
设的前项和为，则
，
，
两式相减得，
，
，
两式相减得，
，

，
又因为的前项和是，
所以．