精品解析：黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 在中，已知，则的形状一定是， 下列各复数中，模长为1的有等内容，欢迎下载使用。

2022~2023学年度下学期高一期末联考试卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法运算、复数分类可得答案.
【详解】依题意，由于是纯虚数，
所以，解得
故选：A.
2. 某企业职工有高级职称共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A. 150 B. 130 C. 120 D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】由条件，根据分层抽样的性质列方程求该企业职工人数.
【详解】设该企业职工人数为，
由分层抽样性质可得，
解得，
所以该企业职工人数为.
故选：A.
3. （理科）在正方体中，E，F分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】E，F分别为棱BC和棱的中点，则，为异面直线AC和EF所成的角或其补角，在三角形中求解即可．
【详解】如图，连接，因为E，F分别为棱BC和棱的中点，∴，又正方体中，∴，∴为异面直线AC和EF所成的角或其补角，
而是正三角形，即，
所以异面直线AC和EF所成的角是．
故选：B.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．
4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据因为向量与向量共线，由求解.
【详解】解：因为向量与向量共线，
所以，即，
因为，是两个不共线的向量，
所以，解得 ，
故选：C
5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. “大于3点”与“不大于3点”
B. “大于3点”与“小于2点”
C. “大于3点”与“小于4点”
D. “大于3点”与“小于5点”
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等，
事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，
所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误；
对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等，
所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确；
对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，
所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，
所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误；
对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等，
事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生，
所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误；
故选：B.
6. 已知三个不同的平面和直线，若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面平行的性质定理，可判断充分性；反之，当时，可能相交，故必要性不成立．
【详解】根据面面平行的性质定理，可知当“”时，有“”，故充分性成立；
反之，当时，可能相交（如图），故必要性不成立．

所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，同时考查面面平行的性质定理，属于基础题．
7. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与夹角为钝角，则
D. 若，则在上的投影向量为
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的坐标运算可判断A；由向量共线的坐标运算可判断B；由向量夹角的坐标运算可判断C；计算出 ， ，再计算在上的投影向量可判断D．
【详解】平面向量，，
对于A，当时，，因此，A错误；
对于B，，则有，解得，B错误；
对于C，与的夹角为钝角，则且与不共线，当时，，解得，由B选项知，当时，与不共线，因此且，C错误；
对于D，当时，，而，因此在上的投影向量为，D正确．
故选：D．
8. 在中，已知，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可得，再根据A、的范围可得答案．
【详解】由，得，
即，又因为A，，所以，，所以，得，
所以一定为直角三角形．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各复数中，模长为1的有（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数模的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D正确．
故选：AD．
10. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）

A. 的值为0.05
B. 估计成绩低于60分的有25人
C. 估计这组数据的众数为75
D. 估计这组数据的第85百分位数为86
【答案】CD
【解析】
【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.
【详解】对于A，由，得.故A错误；
对于B，估计成绩低于60分的有人.故B错误；
对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确；
对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则，
解得：，故D正确.
故选：CD
11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A. B. 的取值范围是
C. D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三角形的正弦定理和两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质化简可得，可判断AC；再由锐角三角形的定义可判断B；再由正弦定理和二倍角的正弦公式，结合余弦函数的性质可判断D．
【详解】因为，
由正弦定理可得，
即，
即有，
因为为锐角三角形，
，
所以，即，故正确，C错误；
由，，且，
解得，故B正确；
而，故D正确．
故选：ABD．
12. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥．设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点．下列说法正确的是（ ）

A. 存在某个位置，使
B. 存在某个位置，使
C. 当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D. 当AB＝AD时，CM+FM的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用面面垂直的性质定理即可判断A；先假设存在，利用线面垂直的判定定理可得平面ABD，可得，即△ACD是以CD为斜边的直角三角形，通过计算发现，互相矛盾，即可判断B；由三棱锥体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角，即可判断C；由侧面展开图及余弦定理可判断D
【详解】解：对于A：存在平面平面，使得，证明如下：
因为平面平面， 平面平面，，平面，
则平面，因为平面，所以，
故存在平面平面，使，故A正确，
对于B：若，又平面，
则平面ABD，因为平面ABD，则，则是以CD为斜边的直角三角形，
因为，所以，，
又由题意知，故不存在某个位置，使，故B错误；
对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，即AE是三棱锥的高，

又，平面平面BCD＝BC，平面BCD，所以平面ABC，
所以∠DAC是直线AD与平面ABC所成的角，
所以，故C正确；
对于D：当时,因为为的中点，
所以，则，
又因为的中点，所以，
又，所以，
所以，
如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，
则当三点共线时，最小，
即最小值为，
在中，，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以的最小值为，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用对立事件概率公式和概率乘法公式求解即可.
【详解】设事件“第一次检测零件合格”为，事件“第二次检测零件合格”为，
则事件“零件报废”可表示为，
由已知，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 在中，，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】，，
即，，．
故答案为：.
15. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解.
【详解】如图，在中，，
则，
因为，所以，
在中，，
则，所以，
则.
故答案为：.

16. 四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，CD=BC=2，若二面角A-CD-B的大小为60°，则四面体ABCD的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出棱AB长，再确定几何体的外接球球心，求出球半径即可计算作答.
【详解】因AB⊥平面BCD，平面，即有，而，，
平面，
则平面，平面，，因此是二面角的平面角，即，
则，而，有，取AD中点O，连接OB，OC，如图，

由于都是以AD为斜边的直角三角形，因此有，
即四面体ABCD的外接球是以点O为球心，为半径的球，
所以四面体ABCD的外接球体积是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球面性质求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，，与的夹角为.
（1）若，求；
（2）若与垂直，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得或，按向量数量积定义计算即可；
（2）两向量垂直则数量积为，列出方程即可求得进而求得.
【小问1详解】
∵，∴或，
当时，；
当时，.
∴.
【小问2详解】
∵与垂直，∴，即，
即，∴，
又，∴.
18. 某小区所有248户家庭人口数分组表示如下：
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
家庭数
21
29
49
50
46
35
18

（1）求该小区家庭人口数的中位数；
（2）求该小区家庭人口数的方差.（精确到0.1）
【答案】（1）4 （2）2.8
【解析】
【分析】（1）利用中位数的定义求解；
（2）利用方差的定义求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以该小区家庭人口数的中位数为4；
【小问2详解】
解：该小区家庭人口数平均为，
该小区家庭人口数的方差为：.
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若的面积为，求a的最小值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角可得.然后根据两角和的正弦公式化简整理可得，根据的范围，即可得出答案；
（2）根据已知可求得.进而根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出的范围.
【小问1详解】
由，得.
又，所以，
所以，
整理得，
因为，所以，故，
又，所以.
【小问2详解】
因为的面积，所以.
由余弦定理可得，
当且仅当时等号成立.
即，.
故的最小值为3.
20. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体的体积；
（3）求证：平面平面AB1D．
【答案】（1）多面体不是棱柱，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；
（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；
（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明.
【小问1详解】
多面体不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.
【小问2详解】
易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
故多面体的体积．
【小问3详解】
因为D，E分别是，AC的中点，所以，
所以四边形为平行四边形
所以．又平面，平面，所以平面．
易知，得四边形为平行四边形．
所以，又平面，平面，所以平面．
而，BE，平面，
所以平面平面．
21. 一只口袋里有形状、大小、质地都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1，2，3，4．甲、乙、丙三名学生约定：
（i）每人不放回地随机摸取一个球；
（ii）按照甲、乙、丙的次序依次摸取；
（iii）谁摸取的球的数字最大，谁就获胜．
用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的球的数字是1，乙摸取的球的数字是4，丙摸取的球的数字是3．
（1）列出样本空间，并指出样本空间中样本点的总数；
（2）求甲获胜的概率；
（3）写出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关．
【答案】（1）样本空间见解析，24
（2）
（3），甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关
【解析】
【分析】（1）一一列举出所有的基本事件即可，
（2）找到事件“甲获胜”所包含的基本事件，根据古典概型的概率公式计算即可，
（3）求出乙、丙获胜的概率，即可判断．
【小问1详解】
解：样本空间．
样本点的总数是．
【小问2详解】
解：记“乙获胜”为事件，则，共8个，
故甲获胜的概率为．
【小问3详解】
解：记“甲获胜”为事件，则，共个，
故乙获胜的概率为．
同理可得丙获胜的概率也为，所以甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.
22. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝PD＝2，，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD．

（1）求证：AC⊥平面POB；
（2）设平面PAB与平面PCD的交线为l．
①求证：；
②求l与平面PAC所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）由已知线面垂直得线线垂直，再在底面中证明AC⊥BO，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）①由线面平行判定定理证明线面平行，然后由性质定理得线线平行；
②转化求与平面所成的角，用体积法求得B到平面PAC的距离，再根据线面角的定义得结论．
【小问1详解】
证明：在中，，在中，，
则∠ACB＝∠ABO，
于是，所以AC⊥BO．
因为PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则AC⊥PO．
又，PO，OB平面POB，所以AC⊥平面POB．
【小问2详解】
①证明：因，平面PCD，CD平面PCD，
所以平面PCD．
又平面PAB平面PCD＝l，AB平面PAB，所以．
②解：因为，所以l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值，
连接OC，则PO⊥OC．
易知，，则．
因为O为AD中点，PO⊥AD，所以PA＝PD＝2．
因为，所以∠APC＝90°，所以的面积．
设B到平面PAC的距离为h，
则三棱椎B－PAC的体积，即，．
设AB与平面PAC所成的角为，则，
又因为，所以l与平面PAC所成角为．