还剩19页未读，
继续阅读
精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）
展开
这是一份精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年高一下学期期未数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知、和均为非零向量，
①若，则；
②若，则；
③若，则．
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律逐一判断即可.
【详解】对于①，当时，
，
满足，故①错误；
对于②，若，则，
则或与垂直，故②错误；
对于③，若，
则，即，
所以，又，所以或，
所以，故③正确，
所以真命题个数是1个.
故选：B.
2. 在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数量、位置关系，结合加减法的几何意义用表示出，即可得答案.
【详解】
，
所以，故，则.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】复数的基本运算
【详解】因为，所以．
故选：A.
4. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人
【答案】D
【解析】
【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为，所以.因为，所以.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为.
故选：D
5. 为平行四边形两条对角线的交点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】．
故选: D．
6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】ABD均可举出反例，
由线面垂直的性质可得得到C正确.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.
故选：C.
7. 函数的零点为，且，，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为在上单调递增，
又，
所以，
故选：A
8. 某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据五点法结合图象可得，进而即得.
【详解】由题知，则，又，
则，所以当时，，
则，又，
则，因此，
所以当时，，
当时，，
因此ABC正确，D错误，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选的得2分.有选错的得0分.
9. 已知点向量则（ ）
A. 时与方向相同
B. 时与方向相同
C. 时与方向相反
D. 时与方向相反
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算求解.
【详解】可得
又
可得解得
当时，，则，
所以与方向相反，
当时，，，则，
与方向相同.
故选:BD.
10. 已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A. 的实部与虚部之和为 B.
C. 是纯虚数 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由复数的乘法求解，根据复数的特征、共轭复数、复数的模逐项判断即可．
【详解】对于A，由题意可得，的实部与虚部之和为，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，不是纯虚数，故C错误；
对于D，，故D错误．
故选：AB.
11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）
A. 直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D. 若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误.
详解】
对于A，直四棱柱在点A处的离散曲率为，
在A点处的离散曲率为，两者不一定相等，A项错误；
对于B，，则四边形为正方形，直四棱柱在点A处的离散曲率为，B项正确；
对于C，因为直四棱柱中，四边形为菱形，，所以直四棱柱侧面均为正方形，
四面体在点处的离散曲率为，
则，则为正三角形，，所以，四边形为正方形，直四棱柱为正方体，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，又因为平面，所以，
同理可得，，平面，平面，，
所以平面，C项正确；
对于D，直四棱柱在点A处的离散曲率为，
则，设，交于点O，
则，，
由选项C知，，因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，，
所以平面，即与平面所成的角，
，所以与平面所成的角的正弦值为，D项正确；
故选：BCD.
12. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】当时，即可判断A；当，即可判断C；根据不等式的基本性质即可判断C，D．
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，由，则，，故B正确；
对于C，当，则，故C错误；
对于D，由，，则，所以，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知平面向量，若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算得出.
【详解】，
因为，所以，解得.
故答案为：.
14. 已知复数满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.
【详解】方法一：因为，
所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为4的点的集合，如图所示．
由图象可知，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是．
方法二：因为，
又,
所以．
故答案为: .
15. 在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.
【详解】如图所示，作中点，连接、，
在上作的中心，
过点作平面的垂线，
在垂线上取一点，使得，
因为三棱锥底面是等边三角形，
是的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，
又因，则即为球心，
因为平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
设球的半径为，
则，
，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】三棱锥外接球表面积的问题，从以下几个角度考虑：
（1）三棱锥的性质的应用；
（2）通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径；
（3）推理能力的应用；
（4）数形结合，化归与转化思想的应用.
16. 若，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，圆心为C的定圆的半径为3，A，B为圆C上的两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若的最小值为2，求的值；
（3）若G为的重心，直线l过点G交边于点P，交边于点Q，且，.证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出AB，利用向量的垂直及数量积的运算建立方程求解即可；
（2）利用向量模的运算及数量积的运算律建立函数，利用二次函数求解最值即可求解；
（3）利用重心向量表示及向量共线的结论，结合平面向量基本定理即可得到结论.
【小问1详解】
因为，，
所以由余弦定理得，即，所以，
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
【小问2详解】
设，与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值2时，；
【小问3详解】
因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以为定值.
【点睛】方法点睛：解决向量问题常用的方法有：
1.利用定义求解：定义法是解决相关问题的最基本的方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，数量积就知道了；
2.利用基底求解：基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转化到题中已知的两个不共线向量来求解；
3.利用坐标求解：就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解，坐标法有时更能解决较为复杂的问题.
18. 设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
（1）已知，求实数x的值；
（2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
【答案】（1）或
（2）①是真命题，②是假命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；
（2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可.
【小问1详解】
由定义，有
即，整理得，，
或.
【小问2详解】
①设，，则，
，所以
①是真命题.
②设，，则，
所以，则是其一组解，
故得不到或.
②是假命题.
19. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求的值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，得到，再证明DE⊥平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据线面角列方程即可得解.
【小问1详解】
取的中点F，连接EF，DF，DC，
因为平面ABC，平面ABC，所以，同理，
又，结合题设，可得，
易知，
所以，则．
因，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面．
【小问2详解】
以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，则
设直线与平面所成的角为，
则
化简得，解得或．
当时，点E与点重合，此时，不符合题意．
所以，即的值为.
20. 已知函数.
（1）若在上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先分和两种情况讨论，由其当时，利用二次函数的对称轴与区间的关系，列式求实数m的取值范围；
（2）首先不等式化简为，再分，，，，四种情况求解不等式.
【小问1详解】
当，即时，在上是单调递增函数，符合题意；
当，即时，二次函数对称轴为，要想函数在上是单调函数，只需①或②，
解①得：或，
解②得，
∴，
综上：实数m的取值范围是
【小问2详解】
不等式，
变形为，，
当时，，解得：，
当时，，的两根为和1，
当时，，此时，解得：，
当时，原不等式即可化为，解得，
当时，，解得，
综上所述：当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21. 已知函数定义域为.
（1）求的最大值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意求得，变形，然后利用基本不等式求解即可；
（2）利用二次函数的性质或基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为的定义域为，即关于的不等式在上恒成立，
所以，
当时，取得最小值1，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4.
【小问2详解】
方法一：
，
因为，所以当时，有最大值为.
方法二：
由（1）知：且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
22. 某地有四家工厂，分别位于矩形ABCD的四个顶点．已知，．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L（单位：km）．现有以下两种建设方案．
（1）第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L的最小值；
（2）第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点，试确定该方案下L取得最小值时，分叉点P、Q的位置．
【答案】（1）km
（2）L的最小值为km，此时点P、点Q位于过点O平行于AB且以点O为中点处
【解析】
【分析】（1）根据两点之间线段最短可求得结果.
（2）运用余弦定理可求得，根据对称性将问题转化为一动点到三定点距离和的最小值，分类讨论①当点P、Q分别在△AOB、△COD中与②当点P、Q分别在△AOD、△BOC中时L的最小值即可（即：证明两种情况下的费马点）.
【小问1详解】
如图所示，
则，
所以根据两点之间线段最短可知，污水厂O建在AC与BD的交点处时铺设管道的总长度最短，
又因为，
所以，
即：L的最小值为km.
【小问2详解】
取AB的中点H，连接OE，则，，，
∴，
∴在△AOB中由余弦定理得：，
又∵，
∴，
∴，
①当点P、Q分别在△AOB、△COD中时，如图所示，
由对称性可知，，，，
所以，
以点O为中心，旋转△OPB到△，连接，如图所示，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当点P在点O时取等号，
∴当点P、Q分别在△AOB、△COD中时，不符合题意.
②当点P、Q分别在△AOD、△BOC中时，如图所示，
由对称性可知，，
作等边△BCE、等边△BPF，如图所示，
则，，，，
∴，
∴，
∴，当且仅当O、P、F、E四点共线时取等号.
∴，当且仅当O、P、F、E四点共线时取等号
当O、P、F、E四点共线时，OE交BC于点M，
如图所示，
∵
∴平分、，垂直平分BC，平分，
∴，，
又∵，
∴在中，，
在中，，
∴，，
∴，，
综述：L的最小值为km，此时点P、点Q位于过点O平行于AB且以点O为中点处.
2023年高一下学期期未数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知、和均为非零向量，
①若，则；
②若，则；
③若，则．
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律逐一判断即可.
【详解】对于①，当时，
，
满足，故①错误；
对于②，若，则，
则或与垂直，故②错误；
对于③，若，
则，即，
所以，又，所以或，
所以，故③正确，
所以真命题个数是1个.
故选：B.
2. 在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数量、位置关系，结合加减法的几何意义用表示出，即可得答案.
【详解】
，
所以，故，则.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】复数的基本运算
【详解】因为，所以．
故选：A.
4. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人
【答案】D
【解析】
【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为，所以.因为，所以.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为.
故选：D
5. 为平行四边形两条对角线的交点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】．
故选: D．
6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】ABD均可举出反例，
由线面垂直的性质可得得到C正确.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.
故选：C.
7. 函数的零点为，且，，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为在上单调递增，
又，
所以，
故选：A
8. 某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 当时， D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据五点法结合图象可得，进而即得.
【详解】由题知，则，又，
则，所以当时，，
则，又，
则，因此，
所以当时，，
当时，，
因此ABC正确，D错误，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选的得2分.有选错的得0分.
9. 已知点向量则（ ）
A. 时与方向相同
B. 时与方向相同
C. 时与方向相反
D. 时与方向相反
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算求解.
【详解】可得
又
可得解得
当时，，则，
所以与方向相反，
当时，，，则，
与方向相同.
故选:BD.
10. 已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A. 的实部与虚部之和为 B.
C. 是纯虚数 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由复数的乘法求解，根据复数的特征、共轭复数、复数的模逐项判断即可．
【详解】对于A，由题意可得，的实部与虚部之和为，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，不是纯虚数，故C错误；
对于D，，故D错误．
故选：AB.
11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）
A. 直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D. 若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误.
详解】
对于A，直四棱柱在点A处的离散曲率为，
在A点处的离散曲率为，两者不一定相等，A项错误；
对于B，，则四边形为正方形，直四棱柱在点A处的离散曲率为，B项正确；
对于C，因为直四棱柱中，四边形为菱形，，所以直四棱柱侧面均为正方形，
四面体在点处的离散曲率为，
则，则为正三角形，，所以，四边形为正方形，直四棱柱为正方体，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，平面，平面，，
所以平面，又因为平面，所以，
同理可得，，平面，平面，，
所以平面，C项正确；
对于D，直四棱柱在点A处的离散曲率为，
则，设，交于点O，
则，，
由选项C知，，因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，，
所以平面，即与平面所成的角，
，所以与平面所成的角的正弦值为，D项正确；
故选：BCD.
12. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】当时，即可判断A；当，即可判断C；根据不等式的基本性质即可判断C，D．
【详解】对于A，当时，则，故A错误；
对于B，由，则，，故B正确；
对于C，当，则，故C错误；
对于D，由，，则，所以，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知平面向量，若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算得出.
【详解】，
因为，所以，解得.
故答案为：.
14. 已知复数满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.
【详解】方法一：因为，
所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为4的点的集合，如图所示．
由图象可知，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是．
方法二：因为，
又,
所以．
故答案为: .
15. 在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.
【详解】如图所示，作中点，连接、，
在上作的中心，
过点作平面的垂线，
在垂线上取一点，使得，
因为三棱锥底面是等边三角形，
是的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，
又因，则即为球心，
因为平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
设球的半径为，
则，
，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】三棱锥外接球表面积的问题，从以下几个角度考虑：
（1）三棱锥的性质的应用；
（2）通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径；
（3）推理能力的应用；
（4）数形结合，化归与转化思想的应用.
16. 若，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，圆心为C的定圆的半径为3，A，B为圆C上的两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若的最小值为2，求的值；
（3）若G为的重心，直线l过点G交边于点P，交边于点Q，且，.证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出AB，利用向量的垂直及数量积的运算建立方程求解即可；
（2）利用向量模的运算及数量积的运算律建立函数，利用二次函数求解最值即可求解；
（3）利用重心向量表示及向量共线的结论，结合平面向量基本定理即可得到结论.
【小问1详解】
因为，，
所以由余弦定理得，即，所以，
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
【小问2详解】
设，与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值2时，；
【小问3详解】
因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以为定值.
【点睛】方法点睛：解决向量问题常用的方法有：
1.利用定义求解：定义法是解决相关问题的最基本的方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，数量积就知道了；
2.利用基底求解：基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求的两个向量转化到题中已知的两个不共线向量来求解；
3.利用坐标求解：就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解，坐标法有时更能解决较为复杂的问题.
18. 设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：.
（1）已知，求实数x的值；
（2）现给出如下有关复数新运算性质的两个命题：
①；
②若，则或.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
【答案】（1）或
（2）①是真命题，②是假命题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；
（2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可.
【小问1详解】
由定义，有
即，整理得，，
或.
【小问2详解】
①设，，则，
，所以
①是真命题.
②设，，则，
所以，则是其一组解，
故得不到或.
②是假命题.
19. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求的值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，得到，再证明DE⊥平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据线面角列方程即可得解.
【小问1详解】
取的中点F，连接EF，DF，DC，
因为平面ABC，平面ABC，所以，同理，
又，结合题设，可得，
易知，
所以，则．
因，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面．
【小问2详解】
以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，则
设直线与平面所成的角为，
则
化简得，解得或．
当时，点E与点重合，此时，不符合题意．
所以，即的值为.
20. 已知函数.
（1）若在上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）首先分和两种情况讨论，由其当时，利用二次函数的对称轴与区间的关系，列式求实数m的取值范围；
（2）首先不等式化简为，再分，，，，四种情况求解不等式.
【小问1详解】
当，即时，在上是单调递增函数，符合题意；
当，即时，二次函数对称轴为，要想函数在上是单调函数，只需①或②，
解①得：或，
解②得，
∴，
综上：实数m的取值范围是
【小问2详解】
不等式，
变形为，，
当时，，解得：，
当时，，的两根为和1，
当时，，此时，解得：，
当时，原不等式即可化为，解得，
当时，，解得，
综上所述：当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21. 已知函数定义域为.
（1）求的最大值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意求得，变形，然后利用基本不等式求解即可；
（2）利用二次函数的性质或基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为的定义域为，即关于的不等式在上恒成立，
所以，
当时，取得最小值1，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4.
【小问2详解】
方法一：
，
因为，所以当时，有最大值为.
方法二：
由（1）知：且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
22. 某地有四家工厂，分别位于矩形ABCD的四个顶点．已知，．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L（单位：km）．现有以下两种建设方案．
（1）第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L的最小值；
（2）第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点，试确定该方案下L取得最小值时，分叉点P、Q的位置．
【答案】（1）km
（2）L的最小值为km，此时点P、点Q位于过点O平行于AB且以点O为中点处
【解析】
【分析】（1）根据两点之间线段最短可求得结果.
（2）运用余弦定理可求得，根据对称性将问题转化为一动点到三定点距离和的最小值，分类讨论①当点P、Q分别在△AOB、△COD中与②当点P、Q分别在△AOD、△BOC中时L的最小值即可（即：证明两种情况下的费马点）.
【小问1详解】
如图所示，
则，
所以根据两点之间线段最短可知，污水厂O建在AC与BD的交点处时铺设管道的总长度最短，
又因为，
所以，
即：L的最小值为km.
【小问2详解】
取AB的中点H，连接OE，则，，，
∴，
∴在△AOB中由余弦定理得：，
又∵，
∴，
∴，
①当点P、Q分别在△AOB、△COD中时，如图所示，
由对称性可知，，，，
所以，
以点O为中心，旋转△OPB到△，连接，如图所示，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，当且仅当点P在点O时取等号，
∴当点P、Q分别在△AOB、△COD中时，不符合题意.
②当点P、Q分别在△AOD、△BOC中时，如图所示，
由对称性可知，，
作等边△BCE、等边△BPF，如图所示，
则，，，，
∴，
∴，
∴，当且仅当O、P、F、E四点共线时取等号.
∴，当且仅当O、P、F、E四点共线时取等号
当O、P、F、E四点共线时，OE交BC于点M，
如图所示，
∵
∴平分、，垂直平分BC，平分，
∴，，
又∵，
∴在中，，
在中，，
∴，，
∴，，
综述：L的最小值为km，此时点P、点Q位于过点O平行于AB且以点O为中点处.
相关试卷
湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）： 这是一份湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知集合满足， 若1∈{x，x2}，则x=， 已知集合， 设集合，，下列说法正确的是， 集合，则实数的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期入学考试数学试题含解析： 这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期入学考试数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了 命题“”的否定是， 已知复数满足，则， 已知，则， 已知直线， 设函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期入学考试数学试题 PDF版： 这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期入学考试数学试题 PDF版，共20页。
