数学（新教材）高一暑假作业之巩固练习5 立体几何（二）含答案解析

这是一份数学（新教材）高一暑假作业之巩固练习5 立体几何（二）含答案解析，共21页。试卷主要包含了单选题．，多选题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

暑假练习05
立体几何（二）




一、单选题．
1．下列命题正确的是（ ）
A．没有公共点的两条直线是平行直线
B．互相垂直的两条直线是相交直线
C．既不平行又不相交的两条直线是异面直线
D．不在同一平面内的两条直线是异面直线
2．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
3．已知直线和平面，下列说法正确的是（ ）
A．若//，//，则// B．若//，，则//
C．若//，，，则// D．若//，//，则//
4．下列命题中正确的个数为（ ）
①存在与两条异面直线都平行的平面；
②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；
③若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；
④若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
⑤空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（ ）

A．2 B． C． D．
6．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则下列各选项正确的是（ ）

A．直线与平面平行，直线与平面相交
B．直线与平面相交，直线与平面平行
C．直线、都与平面平行
D．直线、都与平面相交
7．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）

A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
8．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）

A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
9．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（ ）
A． B．
C． D．

二、多选题．
10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）

A．直线与为异面直线 B．平面
C． D．三棱锥的体积为
11．香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（ ）

A．AB⊥DE B．直线CD与直线EF所成的角为45°
C．该六面体的体积为 D．该六面体内切球的表面积是
12．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（ ）
A．直线始终与直线垂直
B．存在点，使得直线与平面平行
C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为
D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等

三、填空题．
13．如图，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中正确的序号是________．

①，，，四点共面；②；③；④四边形为梯形．
14．正方体中，分别是的中点，如图，则与平面的位置关系是________．

15．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．


四、解答题．
16．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：
（1），O，M三点共线；
（2）E，C，，F四点共面．










17．如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．









18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．
（1）证明：平面；
（2）求A到平面的距离．




答案与解析



一、单选题．
1．【答案】C
【解析】对A：没有公共点的两条直线可以平行，也可以是异面直线，故A错误；
对B：互相垂直的两条直线可以相交直线，也可以是异面直线，故B错误；
对C：既不平行又不相交的两条直线是异面直线，故C正确；
对D：不在同一任意一个平面内的两条直线是异面直线，故D错误，
故选C．
2．【答案】C
【解析】解：连接，，

在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
，是异面直线与所成角（或所成角的补角），
，，
异面直线与所成角的大小是，故选C．
3．【答案】C
【解析】对A：若//，//，则//或，故A错误；
对B：若//，，则//或，故B错误；
对C：若//，，，则//，故C正确；
对D：若//，//，则可以平行，可以相交，也可以是异面直线，
故D错误，
故选C．
4．【答案】C
【解析】对于①，可取不在两条异面直线上的点P，过P分别作与两条异面直线平行的两条相交直线，可得一个平面与两条异面直线都平行，故①正确；
对于②，若空间一点在两条异面直线中的一条上，则不能作一个平面与两条异面直线都平行，故②错误；
对于③，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，
所以这三点必在平面ABC与的交线上，即P，Q，R三点共线，所以③正确；
对于④，因为，所以a与b确定一个平面，
而上有A、B两点在该平面上，所以，即a、b、l三线共面于α；
同理a、c、l三线也共面，不妨设此平面为β．
而α和β有两条公共的直线a、l，所以α与β重合，故这些直线共面，所以④正确；
对于⑤，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以⑤错误，
故正确的个数为3个，故选C．
5．【答案】D
【解析】取的中点，的中点，连接，

因为该几何体为正四棱柱，∴，
故四边形为平行四边形，所以，
又，∴，
同理，且，
所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，
所以该菱形的面积为，故选D．
6．【答案】A
【解析】取的中点H，则从而四边形为平行四边形，
所以．
易知，则四边形为平行四边形，
从而平面．
又平面，所以平面．
易知，则四边形为平行四边形，从而与相交，
所以直线与平面相交，故选A．

7．【答案】C
【解析】如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选C．

8．【答案】A
【解析】原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，
又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；
由上知，，故D错误；
由原图知与不垂直，故C错误，
故选A．
9．【答案】B
【解析】由题意高，则，
，即，解得，
故选B．


二、多选题．
10．【答案】ABC
【解析】对于A，直线平面，平面，直线，则易得直线与为异面直线，故A正确；
对于B，因为平面平面，
所以平面，故B正确；
对于C，连接，因为正方体中，，
所以平面，所以，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D错误，
故选ABC．

11．【答案】AD
【解析】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合．

对于A：取的中点，连接，则．
又，平面，
又平面，，故正确；
对于B：由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为，
故错误；
对于C：连接，过点作平面，
则垂足在上，且，，
，
该六面体的体积，
故C错误；
对于D：该六面体的各棱长相等，其内切球的球心必在公共面上，
又为正三角形，
点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切，
过点作，则就是内切球的半径．
在中，，，
该内切球的表面积为，故D正确，
故选AD．
12．【答案】BC
【解析】对于A，当点与点重合时，即，易知，且与不垂直，故A不正确；
对于B，连接，因为，分别为，的中点，，
而正方体中易知，所以，
连接，则，，，四点共面，当是棱的中点时，
由与平行且相等，与平行且相等，得与平行且相等，
从而是平行四边形，所以，平面，平面，
所以平面，即平面，故B正确；
对于C，当是棱的中点时，取的中点，连接，，
由都与平行得，所以或其补角为异面直线与所成的角，（注意异面直线所成角的范围）
易得，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，当是棱的中点时，连接，假设点与点到平面的距离相等，
即平面将平分，则平面必过的中点，
设交于点，易知不是的中点，则假设不成立，故D错误，
故选BC．


三、填空题．
13．【答案】①②③
【解析】由中位线定理，易知，，，．
对于①，由公理4易得，所以，，，四点共面，故①正确；
对于②，根据等角定理，得，故②正确；
对于③，由等角定理，知，，所以，故③正确；
由三角形的中位线定理及公理4知，
所以且，所以四边形为平行四边形，故④不正确，
故答案为①②③．
14．【答案】平行
【解析】如图，取的中点，连接．
∵为的中点，∴为的中位线，
则，且．
∵为的中点，∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
而平面，平面，
∴平面．

15．【答案】（或）
【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF．
由已知可得，
设斜边AB1上的高为h，则DE＝h．
又，所以，．
在中，．
在中，由面积相等得，解得，
即线段B1F的长为，
故答案为．

四、解答题．
16．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，
所以三点共线．
（2）连接EF、、，

因为E、F分别为AB、的中点，所以，
又正方体，所以，所以，
因为两平行直线可确定一个平面，所以E，C，，F四点共面．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在中，，，
，，
是的中点，，，

在三棱锥中，取的中点，连接，
分别是棱的中点，
，，连接，
满足，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面．
（2）翻折前，翻折后，，，，
平面，
平面，，
，是中点，
，，平面，
与平面的所成角为，
，与平面的所成角等于与平面的所成角，
，，
．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在四棱锥中，底面，平面，
则，
在中，，，
而，即有，
则有，
因为，平面，
所以平面．
（2）由（1）可得，，
因，则，
，，
令到平面的距离为h，
由，即，得，解得，
因为，平面，平面，于是得平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离．