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2022-2023学年河南省洛阳市汝阳县七年级（下）期末数学试卷-普通用卷
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这是一份2022-2023学年河南省洛阳市汝阳县七年级（下）期末数学试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省洛阳市汝阳县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏 捂口鼻 B. 喷嚏后 慎揉眼
C. 勤洗手 勤通风 D. 戴口罩 讲卫生
2. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是( )
A. 若a=b，则ac=bc B. 若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=b
C. 若x=y，则x−3=y−3 D. 若a=b，则ac2=b22
3. 某超市正在热销一种商品，其标价为每件10元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为( )
A. 4元 B. 5元 C. 6元 D. 7元
4. △ABC中，AD是BC边上的中线，下列五种说法：①AD把∠BAC分成相等的两部分；②AD是线段BC分成相等的两部分；③AD把△ABC分成形状相同的两个三角形；④AD把△ABC分成周长相等的两个三角形；⑤AD把△ABC分成面积相等的两个三角形.其中正确的说法有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为( )
A. 100° B. 105° C. 200° D. 210°
6. 《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为( )
A. 145钱 B. 150钱 C. 155钱 D. 160钱
7. 若一个三角形的两边长分别为3cm、7cm，则它的第三边的长可能是( )
A. 2cm B. 3cm C. 8cm D. 11cm
8. 已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b−c|−|b−a−c|−|2b|的结果是( )
A. −2a B. −2b C. −2c D. 以上都不对
9. 利用图形分析问题是一种直观方法.请你自己画图分析下面问题.在△ABC中，∠ACB=90°，BC
10. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE//BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为( )
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处.若EC=2，BE=8，则CF的长为______ ．
12. 如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 ．
13. 若关于x的方程3x−kx+2=0的解为2，则k的值为 ．
14. 我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
15. 如图，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置.若∠BFC′=60°，则∠AED′的大小是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解方程或方程组
(1)x−32−4x+15=1；
(2)4(x−y−1)=3(1−y)−2x2+y3=2．
17. (本小题8.0分)
如图，在由小正方形组成的10×12的网格中，点O、M和四边形ABCD的顶点都在格点上．
(1)画出与四边形ABCD关于直线OM对称的图形；
(2)平移四边形ABCD，使其顶点B与点M重合，画出平移后的图形；
(3)把四边形ABCD绕点O逆时针旋转180°，画出旋转后的图形．
18. (本小题8.0分)
解不等式组x−32(x−2)≤51+3x2>2x−1，并在数轴上把不等式的解集表示出来．
19. (本小题9.0分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15°，∠BAD=25°，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
20. (本小题9.0分)
我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
(1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
(2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
21. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
22. (本小题10.0分)
阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x−y①，2x+3y②，求x−4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8则x−y=______，x+y=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
23. (本小题11.0分)
如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．
(1)若∠C=35°，∠D=29°，求∠P的度数；
(2)直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系；
(3)若∠CAD与∠CBD的大小发生变化，(2)的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的概念是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、若a=b，则ac=bc，不符合题意．
B、若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=b，不符合题意．
C、若x=y，则x−3=y−3，不符合题意．
D、若c=±2时，ac2=b22才成立，符合题意．
故选：D．
根据等式的性质解答即可．
本题主要考查了等式的性质：
性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
3.【答案】C
【解析】解：设该商品每件的进价为x元，
根据题意得x+2=10×810，
解得x=6，
∴该商品每件的进价为6元，
故选：C．
设该商品每件的进价为x元，则该商品每件的售价为(x+2)元，根据进价加利润等于售价列方程求出x的值即可．
此题重点考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示该商品每件的售价是解是的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点D只是BC的中点，不平分角，故①错误；
②正确；
AD把△ABC分成的两个三角形的形状也不一定相同，故③错误；
AD把△ABC分成的两个三角形，其周长不一定相等，故④错误；
⑤正确．
故选：A．
三角形的中线是三角形一边上的中点与所对顶点连接的线段，根据中线的定义可知．
注意，在三角形中，只要等底等高的三角形，它们的面积一定相等．
5.【答案】D
【解析】解：∵五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∵∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°−30°=510°，
∵六边形BCDEMN的内角和为(6−2)×180°=720°，
即∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=720°，
∴∠1+∠2=720°−510°=210°，
故选：D．
根据多边形内角和的计算方法分别求出五边形、六边形的内角和，进而求出∠1与∠2的和．
本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：设今有x人合伙买羊，
根据题意得：5x+45=7x+3，
解得：x=21，
∴5x+45=5×21+45=150，
∴题中羊价为150钱．
故选：B．
设今有x人合伙买羊，根据“每人出5钱，还差45钱若每人出7钱，还差3钱”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入(5x+45)中，即可求出羊的价格．
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：7−3
故选：C．
在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得第三边长度的范围．
此题主要考查了三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+b>c，a+c>b，b>0，
∴|a+b−c|−|b−a−c|−|2b|
=a+b−c+b−a−c−2b
=−2c．
故选：C．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可解决问题．
本题考查绝对值，三角形三边关系，关键是掌握绝对值的意义，三角形的三边关系定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
BC=CE，
∠AEF=∠CED=∠B，
故选项A、B、C错误，
∵∠B+∠A=90°，∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠AFE=90°，
故选：D．
先根据旋转的性质得出AC=DE，BC=CE，∠AEF=∠CED=∠B，再由∠B+∠A=90°，∠A=∠D即可解答，
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC//DE，
∴∠CFA=∠D=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
故选：C．
设AD与BC交于点F，根据平行线的性质得出∠CFA=∠D=90°，再根据三角形的外角性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，旋转的性质是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE=CF=8，
故答案为：8．
利用平移的性质得到BE=CF即可得到结论．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
12.【答案】12
【解析】
【分析】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角，首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【解答】
解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°=12，
故答案为：12．
13.【答案】4
【解析】解：∵关于x的方程3x−kx+2=0的解为2，
∴3×2−2k+2=0，
解得：k=4．
故答案为：4．
直接把x=2代入进而得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．
14.【答案】240x=150×(x+12)
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x=150×(x+12)．
故答案为：240x=150×(x+12)．
设快马x天可以追上慢马，根据两马所走的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：由已知可得，
∠CFE=∠C′FE，∠FED=∠FED′，
∵∠BFC′=60°，∠CFB=180°，
∴∠CFE=120°，
∵AD//BC，
∴∠CFE+∠FED=180°，
∴∠FED=60°，
∴∠FED′=60°，
∴∠AED′=60°，
故答案为：60°．
根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得∠FED和∠FED′的度数，从而可以得到∠AED′的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】解：(1)x−32−4x+15=1，
5(x−3)−2(4x+1)=10，
5x−15−8x−2=10，
5x−8x=10+15+2，
−3x=27，
x=−9；
(2)将原方程组化简整理可得：4x−y=5①3x+2y=12②，
①×2得：8x−2y=10③，
②+③得：11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入①中得：8−y=5，
解得：y=3，
∴原方程组的解为：x=2y=3．
【解析】(1)按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)先将原方程组进行化简整理可得：4x−y=5①3x+2y=12②，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)所画图形如下所示，四边形A′B′C′D′即为所求；
(2)所画图形如下所示，A″MC″D″即为所求；
(3)所画图形如下所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
【解析】(1)找出四边形ABCD各顶点关于直线OM对称的对应点，然后顺次连接即可；
(2)平移后顶点B与点M重合，可知其平移规律为向上平移2个单位，并向左平移5个单位，继而根据平移规律找出各顶点的对应点，然后顺次连接；
(3)原图形与旋转后的图形成中心对称，对称中心为点O．
本题考查了轴对称变换、平移变换及旋转变换作图的知识，解题关键是找出变换后各点的对应点，难度一般．
18.【答案】解：x−32(x−2)≤5①1+3x2>2x−1②，
由①得x≥−4，
由②得x<3，
所以原不等式组的解集为−4≤x<3，
数轴表示：
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，∠BED是△ABE的一个外角
∵∠ABE=15°，∠BAD=25°
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+25°
=40°；
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD=12×30=15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=12×15=152，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE=12⋅BD⋅EF，
∴12⋅BD×5=152，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【解析】(1)根据三角形内角与外角的性质解答即可；
(2)根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=152，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
本题涉及到三角形外角的性质及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．
20.【答案】解：(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，
依题意，得：20x+15y=205010x+20y=1900，
解得：x=50y=70．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，
依题意，得：50(50−m)+70m≤3210，
解得：m≤3512．
又∵m为整数，
∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
【解析】(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，根据“如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，根据总价=单价×数量结合预算总费用不超过3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=40°+90°=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=12∠CBD=65°；
(2)∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=∠ACB−∠CBE=90°−65°=25°．
∵DF//BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【解析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
(1)先根据三角形外角的性质求出∠CBD=∠A+∠ACB=130°，再根据角平分线定义即可求出∠CBE=12∠CBD=65°；
(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB=∠ACB−∠CBE=90°−65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
22.【答案】−1 5
【解析】解：(1)2x+y=7①x+2y=8②，
①−②得x−y=−1，
①+②得3x+3y=15，
∴x+y=5，
故答案为：−1，5；
(2)设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
根据题意，得：20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，
①×2−②，得：x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=5×6=30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
(1)分别①−②，①+②即可求得；
(2)设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2−②求得x+y+z=6，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，
∴180°−(∠C+∠CAE)=180°−(∠P+∠PBE)，
180°−(∠D+∠DBF)=180°−(∠P+∠PAF)，
∴∠C+∠CAE=∠P+∠PBE① ∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，
①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，
∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，
∴∠CAE=∠PAF，∠DBF=∠PBE，
∴∠C+∠D=2∠P，
∴∠P=12(∠C+∠D)=12(35°+29°)=32°；
(2)∠P=12(∠C+∠D)，
理由同(1)；
(3)∵∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，
∴180°−(∠C+∠CAE)=180°−(∠P+∠PBE)，
180°−(∠D+∠DBF)=180°−(∠P+∠PAF)，
∴∠C+∠CAE=∠P+∠PBE① ∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，
①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，
∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，
∴∠CAE=∠PAF，∠DBF=∠PBE，
∴∠C+∠D=2∠P，
此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关，
∴∠P=12(∠C+∠D)，
即(2)的结论仍然成立．
【解析】(1)根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，利用三角形的内角和定理可得∠C+∠CAE=∠P+∠PBE①，∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C+∠D=2∠P，从而求出∠P；
(2)根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，利用三角形的内角和定理可得∠C+∠CAE=∠P+∠PBE①，∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C+∠D=2∠P，从而证出结论；
(3)由(1)中的解析可得∠C+∠D=2∠P，此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关，所以∠P=12(∠C+∠D)，即(2)的结论仍然成立．
此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．
2022-2023学年河南省洛阳市汝阳县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏 捂口鼻 B. 喷嚏后 慎揉眼
C. 勤洗手 勤通风 D. 戴口罩 讲卫生
2. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是( )
A. 若a=b，则ac=bc B. 若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=b
C. 若x=y，则x−3=y−3 D. 若a=b，则ac2=b22
3. 某超市正在热销一种商品，其标价为每件10元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为( )
A. 4元 B. 5元 C. 6元 D. 7元
4. △ABC中，AD是BC边上的中线，下列五种说法：①AD把∠BAC分成相等的两部分；②AD是线段BC分成相等的两部分；③AD把△ABC分成形状相同的两个三角形；④AD把△ABC分成周长相等的两个三角形；⑤AD把△ABC分成面积相等的两个三角形.其中正确的说法有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为( )
A. 100° B. 105° C. 200° D. 210°
6. 《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为( )
A. 145钱 B. 150钱 C. 155钱 D. 160钱
7. 若一个三角形的两边长分别为3cm、7cm，则它的第三边的长可能是( )
A. 2cm B. 3cm C. 8cm D. 11cm
8. 已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b−c|−|b−a−c|−|2b|的结果是( )
A. −2a B. −2b C. −2c D. 以上都不对
9. 利用图形分析问题是一种直观方法.请你自己画图分析下面问题.在△ABC中，∠ACB=90°，BC
10. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE//BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为( )
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处.若EC=2，BE=8，则CF的长为______ ．
12. 如果一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 ．
13. 若关于x的方程3x−kx+2=0的解为2，则k的值为 ．
14. 我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
15. 如图，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置.若∠BFC′=60°，则∠AED′的大小是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解方程或方程组
(1)x−32−4x+15=1；
(2)4(x−y−1)=3(1−y)−2x2+y3=2．
17. (本小题8.0分)
如图，在由小正方形组成的10×12的网格中，点O、M和四边形ABCD的顶点都在格点上．
(1)画出与四边形ABCD关于直线OM对称的图形；
(2)平移四边形ABCD，使其顶点B与点M重合，画出平移后的图形；
(3)把四边形ABCD绕点O逆时针旋转180°，画出旋转后的图形．
18. (本小题8.0分)
解不等式组x−32(x−2)≤51+3x2>2x−1，并在数轴上把不等式的解集表示出来．
19. (本小题9.0分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
(1)∠ABE=15°，∠BAD=25°，求∠BED的度数；
(2)若△ABC的面积为30，EF=5，求CD．
20. (本小题9.0分)
我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
(1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
(2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
21. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
22. (本小题10.0分)
阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x−y①，2x+3y②，求x−4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8则x−y=______，x+y=______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
23. (本小题11.0分)
如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．
(1)若∠C=35°，∠D=29°，求∠P的度数；
(2)直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系；
(3)若∠CAD与∠CBD的大小发生变化，(2)的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的概念是解题关键．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、若a=b，则ac=bc，不符合题意．
B、若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=b，不符合题意．
C、若x=y，则x−3=y−3，不符合题意．
D、若c=±2时，ac2=b22才成立，符合题意．
故选：D．
根据等式的性质解答即可．
本题主要考查了等式的性质：
性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
3.【答案】C
【解析】解：设该商品每件的进价为x元，
根据题意得x+2=10×810，
解得x=6，
∴该商品每件的进价为6元，
故选：C．
设该商品每件的进价为x元，则该商品每件的售价为(x+2)元，根据进价加利润等于售价列方程求出x的值即可．
此题重点考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示该商品每件的售价是解是的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点D只是BC的中点，不平分角，故①错误；
②正确；
AD把△ABC分成的两个三角形的形状也不一定相同，故③错误；
AD把△ABC分成的两个三角形，其周长不一定相等，故④错误；
⑤正确．
故选：A．
三角形的中线是三角形一边上的中点与所对顶点连接的线段，根据中线的定义可知．
注意，在三角形中，只要等底等高的三角形，它们的面积一定相等．
5.【答案】D
【解析】解：∵五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∵∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°−30°=510°，
∵六边形BCDEMN的内角和为(6−2)×180°=720°，
即∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=720°，
∴∠1+∠2=720°−510°=210°，
故选：D．
根据多边形内角和的计算方法分别求出五边形、六边形的内角和，进而求出∠1与∠2的和．
本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：设今有x人合伙买羊，
根据题意得：5x+45=7x+3，
解得：x=21，
∴5x+45=5×21+45=150，
∴题中羊价为150钱．
故选：B．
设今有x人合伙买羊，根据“每人出5钱，还差45钱若每人出7钱，还差3钱”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入(5x+45)中，即可求出羊的价格．
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：7−3
故选：C．
在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得第三边长度的范围．
此题主要考查了三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+b>c，a+c>b，b>0，
∴|a+b−c|−|b−a−c|−|2b|
=a+b−c+b−a−c−2b
=−2c．
故选：C．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可解决问题．
本题考查绝对值，三角形三边关系，关键是掌握绝对值的意义，三角形的三边关系定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
BC=CE，
∠AEF=∠CED=∠B，
故选项A、B、C错误，
∵∠B+∠A=90°，∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠AFE=90°，
故选：D．
先根据旋转的性质得出AC=DE，BC=CE，∠AEF=∠CED=∠B，再由∠B+∠A=90°，∠A=∠D即可解答，
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC//DE，
∴∠CFA=∠D=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
故选：C．
设AD与BC交于点F，根据平行线的性质得出∠CFA=∠D=90°，再根据三角形的外角性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，旋转的性质是解题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE=CF=8，
故答案为：8．
利用平移的性质得到BE=CF即可得到结论．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
12.【答案】12
【解析】
【分析】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角，首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【解答】
解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°=12，
故答案为：12．
13.【答案】4
【解析】解：∵关于x的方程3x−kx+2=0的解为2，
∴3×2−2k+2=0，
解得：k=4．
故答案为：4．
直接把x=2代入进而得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．
14.【答案】240x=150×(x+12)
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x=150×(x+12)．
故答案为：240x=150×(x+12)．
设快马x天可以追上慢马，根据两马所走的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：由已知可得，
∠CFE=∠C′FE，∠FED=∠FED′，
∵∠BFC′=60°，∠CFB=180°，
∴∠CFE=120°，
∵AD//BC，
∴∠CFE+∠FED=180°，
∴∠FED=60°，
∴∠FED′=60°，
∴∠AED′=60°，
故答案为：60°．
根据折叠的性质和平行线的性质，可以求得∠FED和∠FED′的度数，从而可以得到∠AED′的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】解：(1)x−32−4x+15=1，
5(x−3)−2(4x+1)=10，
5x−15−8x−2=10，
5x−8x=10+15+2，
−3x=27，
x=−9；
(2)将原方程组化简整理可得：4x−y=5①3x+2y=12②，
①×2得：8x−2y=10③，
②+③得：11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入①中得：8−y=5，
解得：y=3，
∴原方程组的解为：x=2y=3．
【解析】(1)按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)先将原方程组进行化简整理可得：4x−y=5①3x+2y=12②，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)所画图形如下所示，四边形A′B′C′D′即为所求；
(2)所画图形如下所示，A″MC″D″即为所求；
(3)所画图形如下所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
【解析】(1)找出四边形ABCD各顶点关于直线OM对称的对应点，然后顺次连接即可；
(2)平移后顶点B与点M重合，可知其平移规律为向上平移2个单位，并向左平移5个单位，继而根据平移规律找出各顶点的对应点，然后顺次连接；
(3)原图形与旋转后的图形成中心对称，对称中心为点O．
本题考查了轴对称变换、平移变换及旋转变换作图的知识，解题关键是找出变换后各点的对应点，难度一般．
18.【答案】解：x−32(x−2)≤5①1+3x2>2x−1②，
由①得x≥−4，
由②得x<3，
所以原不等式组的解集为−4≤x<3，
数轴表示：
．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，∠BED是△ABE的一个外角
∵∠ABE=15°，∠BAD=25°
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+25°
=40°；
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD=12×30=15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=12×15=152，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE=12⋅BD⋅EF，
∴12⋅BD×5=152，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【解析】(1)根据三角形内角与外角的性质解答即可；
(2)根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=152，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
本题涉及到三角形外角的性质及三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．
20.【答案】解：(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，
依题意，得：20x+15y=205010x+20y=1900，
解得：x=50y=70．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，
依题意，得：50(50−m)+70m≤3210，
解得：m≤3512．
又∵m为整数，
∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
【解析】(1)设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，根据“如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m个乙种规格的足球，则购买(50−m)个甲种规格的排球，根据总价=单价×数量结合预算总费用不超过3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=40°+90°=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=12∠CBD=65°；
(2)∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=∠ACB−∠CBE=90°−65°=25°．
∵DF//BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【解析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
(1)先根据三角形外角的性质求出∠CBD=∠A+∠ACB=130°，再根据角平分线定义即可求出∠CBE=12∠CBD=65°；
(2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB=∠ACB−∠CBE=90°−65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
22.【答案】−1 5
【解析】解：(1)2x+y=7①x+2y=8②，
①−②得x−y=−1，
①+②得3x+3y=15，
∴x+y=5，
故答案为：−1，5；
(2)设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
根据题意，得：20x+3y+2z=32①39x+5y+3z=58②，
①×2−②，得：x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=5×6=30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
(1)分别①−②，①+②即可求得；
(2)设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2−②求得x+y+z=6，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，
∴180°−(∠C+∠CAE)=180°−(∠P+∠PBE)，
180°−(∠D+∠DBF)=180°−(∠P+∠PAF)，
∴∠C+∠CAE=∠P+∠PBE① ∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，
①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，
∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，
∴∠CAE=∠PAF，∠DBF=∠PBE，
∴∠C+∠D=2∠P，
∴∠P=12(∠C+∠D)=12(35°+29°)=32°；
(2)∠P=12(∠C+∠D)，
理由同(1)；
(3)∵∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，
∴180°−(∠C+∠CAE)=180°−(∠P+∠PBE)，
180°−(∠D+∠DBF)=180°−(∠P+∠PAF)，
∴∠C+∠CAE=∠P+∠PBE① ∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，
①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，
∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，
∴∠CAE=∠PAF，∠DBF=∠PBE，
∴∠C+∠D=2∠P，
此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关，
∴∠P=12(∠C+∠D)，
即(2)的结论仍然成立．
【解析】(1)根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，利用三角形的内角和定理可得∠C+∠CAE=∠P+∠PBE①，∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C+∠D=2∠P，从而求出∠P；
(2)根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEP，∠BFD=∠AFP，利用三角形的内角和定理可得∠C+∠CAE=∠P+∠PBE①，∠D+∠DBF=∠P+∠PAF②，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得∠C+∠D=2∠P，从而证出结论；
(3)由(1)中的解析可得∠C+∠D=2∠P，此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关，所以∠P=12(∠C+∠D)，即(2)的结论仍然成立．
此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键．
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